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第一部分 第三章 3.3 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

时间:


3.3

知识点一

3.3.1
第 三 章 不 等 式 二元一 次不等 式(组) 与简单 二元一 次不等 式(组)

理解教材新知

知识点二

考点一

把握热点考向

考点二 考点三

的线性

划问 题

与平面
区域 应用创新演练

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观察下列不等式: (1)x+y-1>0;(2)x+2y-1>0且2x-3y+2<0. 问题1:以上不等式,各有几个未知数?并且未知数 的次数是几? 提示:各有两个未知数,且未知数的次数均为1.

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问题2:满足(1)、(2)的实数x、y存在吗?若存在,
有多少对? 提示:存在.有无数对,如满足(1)的x、y有(2,0), (2,1),……满足(2)的x、y有(0,2),(0,3),……

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1.二元一次不等式 含有 1 未知数,并且未知数的次数是 两个 的不

等式称为二元一次不等式. 2.二元一次不等式组

由 几个二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一
次不等式组.

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3.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成

的 有序数对(x、y) ,叫做二元一次不等式(组)的
解,所有这样的 有序数对(x、y) 构成的集合称 为二元一次不等式(组)的解集.

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已知直线l:x-y-1=0. 问题1:点A(1,0)、B(1,1)、C(1,2)、D(0,-2)、 E(1,-2)与直线l有何位置关系? 提示:点A在直线l上,点B、C、D、E均不在直线l上.

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问题2:通过作图可以发现,点B、C、D、E分别在直线 l的哪个方向的区域内? 提示:点B、C在直线l的左上方,点D、E在直线l的右下方.

问题3:点B、C、D、E的坐标分别满足下列哪个不等式?
(1)x-y-1<0;(2)x-y-1>0.

提示:点B、C的坐标满足(1),D、E的坐标满足(2).

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1.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+ Ax+By+C=0 C>0表示直线 虚线 面区域,把直线画成 某一侧所有点组成的平

以表示区域不包括边界.

不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 实线 把边界画成



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2.二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)直线Ax+By+C=0同一侧的所有点的坐标(x,y) 相同 代入Ax+By+C,所得的符号都



(2)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点

(x0,y0),由 Ax0+By0+C 的符号可以断定Ax+By+C>
0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

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1.二元一次不等式中主要强调两点:一是不等式 中只含有两个未知数,多于两个或少于两个均不能称

为二元不等式.二是未知数的最高次数是1.
2.二元一次不等式的解集是一些有序数对(x,y),

它的解集不能用数轴来表示,它是平面上的一个区
域.又因为有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐

标,所以,二元一次不等式(组)的解集还可以看成直角
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坐标系内的点构成的集合,即
二元一次不等 直角坐标平面 ―→ 数对?x、y? ―→ 式?组?的解 内点的坐标

3.二元一次不等式组表示的平面区域则是各个 不等式所表示的平面区域的公共部分.

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[例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域.
?x-y+5≥0, ? (1)2x+y-10<0;(2)?x+y+1≥0, ?x≤3. ?

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[思路点拨]

(1)先在直角坐标系内作出二元一次不

等式对应方程所表示的直线,然后取特殊点,判断不等 式所表示的平面区域. (2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示 的平面区域的公共部分.

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[精解详析]

(1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线).

取原点(0,0),代入2x+y-10. ∵2×0+0-10<0, ∴原点在2x+y-10<0表示的平面区域内,不等式

2x+y-10<0表示的区域如图①所示.

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(2)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的 点的集合;x+y+1≥0表示直线x+y+1=0上及右上方 的点的集合;x≤3表示直线x=3上及左方的点的集 合.所以不等式组表示的平面区域如图②所示.

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[一点通]

(1)在画二元一次不等式表示的平面区域时,

应先画出每个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即
可.其步骤为:①画线;②定侧;③求“交”;④表示. (2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只 需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0), 从Ax0+By0+C的正负判定.

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1.不等式2x-y-6>0表示的平面区域在直线2x-y-6 =0的 A.左上方 C.左下方 B.右上方 D.右下方 ( )

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解析:画出直线2x-y-6=0(如图), 将(0,0)代入方程左边知, 2×0-0-6=-6<0.

∴不等式2x-y-6>0表示的平面区
域位于直线2x-y-6=0的右下方.

答案:D

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?x+y≤5, ? 2. 画出不等式组?x-2y>3, ?x+2y≥0 ?

表示的平面区域.

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解:不等式x+y≤5表示直线x+y-5=0及左下方的区域.
不等式x-2y>3表示直线x-2y-3=0右下方的区域. 不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0及右上方的区域. 所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示:

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[例2] 画出以A(3,-1),B(-1,1),C(1,3)为顶点的△ABC的 区域(包括边界),写出该区域所表示的二元一次不等式组. [思路点拨] 利用直线方程的点斜式,可求得边界所在的

直线方程,取△ABC内的特殊点检验,可得所求不等式组.

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[精解详析]

作图,如图所示,

则直线AB、BC、CA所围成的

区域就是所求△ABC的区域,
直线AB、BC、CA的方程分别 为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0. 在△ABC内取一点P(1,1),代入x+2y-1,得1+2×1-1= 2>0.所以直线x+2y-1=0对应的不等式为x+2y-1>0.

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把 P(1,1)代入 x-y+2,得 1-1+2>0; 代入 2x+y-5,得 2×1+1-5<0. 因此对应的不等式分别为 x-y+2>0,2x+y-5<0. 又因为所求区域包括边界, ?x+2y-1≥0, ? 所以所求区域的不等式组为?x-y+2≥0, ?2x+y-5≤0. ?

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[一点通] 骤一般是

已知平面区域,用不等式(组)表示,其步

(1)求出边界的直线方程; (2)确定不等号,在所有直线外任取一点,将其坐 标代入直线方程即可.

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3.写出表示下列平面区域的二元一次不等式:

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解:(1)由图①可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴 的截距均为 1, x y ∴其直线方程为1+1=1,即 x+y-1=0. 将原点(0,0)坐标代入直线方程 x+y-1=0 的左边得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0.

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x y (2)由图②知,其边界所在的直线方程为 + =1, -2 1 即 x-2y+2=0. 将(0,2)代入 x-2y+2, 得 0-2×2+2<0. 故所求的不等式为 x-2y+2<0.

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(3)设图③的边界所在的直线方程为 y=kx, 将(2,-1)代入,得-1=2k, 1 即 k=-2, 1 ∴边界所在的直线方程为 y=-2x,即 x+2y=0.

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将(1,0)代入 x+2y 得 1+2×0>0, 故所求的不等式为 x+2y≥0. 综上:①x+y-1≤0;②x-2y+2<0;③x+2y≥0.

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4.试用不等式组表示由x+y+2=0,x+2y+1=0和 2x+y+1=0围成的三角形区域(包括边界).
解:直线 x+y+2=0,x+2y+1 =0,2x+y+1=0 表示的三角形区域如图阴影部分所示. 3 取区域内的点(-2,0)验证:

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3 1 -2+0+2=2>0, 3 1 -2+0+1=-2<0, 3 2×(-2)+0+1=-2<0. ?x+y+2≥0, ? ∴所求区域用不等式组表示为 ?x+2y+1≤0, ?2x+y+1≤0. ?

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[例3] (12分)一工厂生产甲、乙两种产品,生产每种1 t 产品的资源需求如下表: 品种 甲 电力/kW· h 2 煤/t 3 工人/人 5



8

5

2

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该厂有工人200人,每天只能保证160 kW· h的用电额度, 每天用煤不得超过150 t,请在直角坐标系中画出每天甲、

乙两种产品允许的产量的范围.
[思路点拨] 设分别生产甲、乙两种产品x t和y t,根据

题意写出关于x,y的不等式(组),然后画出不等式组表示的
平面区域即可.

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[精解详析]

设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t,生

产x t甲产品和y t乙产品的用电量是

(2x+8y) kW· h,根据条件,有2x+8y≤160;用煤量为
(3x+5y) t,根据条件有3x+5y≤150;用工人数为(5x+ 2y)≤200;另外,还有x≥0,y≥0.
?2x+8y≤160, ? ?3x+5y≤150, 综上所述,x、y 应满足不等式组? ?5x+2y≤200, ?x≥0,y≥0. ?

(6分)

?

(8 分)

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甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域, 即如图所示的阴影部分(含边界): (12分)

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[一点通]

用二元一次不等式(组)表示的平面区域来

表示实际问题的步骤 (1)根据问题的需要选取起关键作用的两个量用字母 表示(即设变量).进而问题中所有的量都用这两个字母表 示出来.

(2)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量
均有实际意义写出所有的不等式. (3)将这些不等式组成不等式组,并画出不等式组表 示平面区域. 返回

5.某厂使用两种零件A、B装配甲、乙两种产品,该厂

的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件,每月生
产乙产品最多1 200件,而且装一件甲产品需要4个 A,6个B,装一件乙产品需要6个A,8个B.2008年1月, 该厂能用的A最多有14 000个,B最多有12 000个,用 不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来, 并画出相应的平面区域.

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解:设每月生产甲产品 x 件,每月生产乙产品 y 件, ?0≤x≤2 500, ? ?0≤y≤1 200, 则 x、y 满足? ?4x+6y≤14 000, ?6x+8y≤12 000, ? ?0≤x≤2 500, ? ?0≤y≤1 200, 即? ?2x+3y≤7 000, ?3x+4y≤6 000. ?

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在平面直角坐标系中,画出上述不等式组表示的平面区域,
如下图的阴影部分所示.

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6.一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用 餐费的最低标准是240元,又知其他费用最少需支出 180元,而每月可用来支配的资金为500元,这名新员

工各种费用之间的关系?用不等式(组)表示出来,并
画出对应的平面区域.

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解:设用餐费为 x 元,其他费用为 y 元,由题意知 x 不 小于 240,y 不小于 180,x 与 y 的和不超过 500,用不 ?x+y≤500, ? 等式组表示就是?x≥240, ?y≥180. ? 影部分所示.

对应的平面区域如图阴

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1.画平面区域的步骤是 (1)画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如 果原不等式中带等号,则画成实线,否则,画成虚线).

(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入
不等式,根据“直线定界、特殊点定域”的规律确定不等式 所表示的平面区域在直线的哪一侧;常用的特殊点为(0,0)、 (±1,0)、(0,±1).

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(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的,则 在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公 共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域. 2.点与不等式和点与区域的关系

(1)点M(x0,y0)在Ax+By+C>0表示的平面区域内
?Ax0+By0+C>0. (2)点M(x0,y0)不在Ax+By+C>0表示的平面区域内 ?Ax0+By0+C≤0.

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