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【优化方案】2012高中数学 第3章3.2.2一元二次不等式及其解法习题课课件 新人教A版必修5


3.2.2 一元二次不等式及其解法习题课 .

3.2.2 一元 二次 不等 式及 其解 法习 题课

课堂互动讲练

知能优化训练

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考点突破 一元二次不等式恒成立问题

不等式对任意实数恒成立, 不等式对任意实数恒成立,就是不等式的解集为

R,对于一元二次不等式 ax2+bx+c>0,它的解 , + > ,
?a>0 > 集为 R 的条件为? ;ax2+bx+c<0 的解集 + < < ??<0 ?a<0 < . 为 R 的条件为? < ??<0

例1

关于x的不等式 关于 的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的不等式 - - <

的解集为R,求实数 的取值范围 的取值范围. 的解集为 ,求实数a的取值范围.

【思路点拨】 思路点拨】
2

a2-1=0时转化不等式求解 → = 时转化不等式求解
2

a -1≠0时数形结合转化 → 解不等式组 → 得解 ≠ 时数形结合转化

【解】 ①若 a -1=0, 即 a=±1 时, = = 若 a=1,不等式化为-1<0,解集为 R; = ,不等式化为- < , ; =-1, 若 a=- ,不等式变为 2x-1<0,解集为 =- - < ,解集为{x|x 1 < }.∴a=1 时满足条件. . = 时满足条件. 2

②若 a2-1≠0,即 a≠±1 时, ≠ , ≠ 原不等式解集为 R 的条件是 ?a2-1<0, < , ? ?=[-(a-1)]2+4(a2-1)<0, ( ) , ? =- - ) 3 解得- 解得- <a<1. < 5 3 综上所述, 综上所述,当- <a≤1 时,原不等式解集为 R. ≤ 5

互动探究

本例若把不等式改为“(a 本例若把不等式改为 2-1)x2-(a

的取值范围. -1)x+1>0”,求a的取值范围. + > , 的取值范围

解:①当 a -1=0,即 a=±1 时, = , = 若 a=1,则原不等式化为 1>0,恒成立. = , > ,恒成立. =-1, 若 a=- ,则原不等式化为 2x+1>0, =- + > , 1 不符合题意,舍去. 即 x>- ,不符合题意,舍去. >- 2

2

②当 a2-1≠0,即 a≠±1 时, ≠ , ≠ 原不等式解集为 R 的条件是 ?a2-1>0 > ? ’ 2 2 =- - ) ( ) ??=[-(a-1)] -4(a -1)<0 5 解得 a<- 或 a>1. <- > 3 5 综上所述, 综上所述,当 a<- 或 a≥1 时,原不 <- ≥ 3 等式解集为 R.

一元二次不等式的实际应用 解与一元二次不等式有关的应用题的关键是设未 知数,然后根据题目中的不等关系构造一元二次 知数, 不等式,解之即可. 不等式,解之即可.

例2 国家为了国民的身体健康,加强对烟酒生产 国家为了国民的身体健康,

的宏观调控,实行征收附加税政策, 的宏观调控,实行征收附加税政策,现知某种酒 每瓶70元 不加收附加税时,每年大约产销 每瓶 元,不加收附加税时,每年大约产销100万 万 瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税 元 元要征税R元 若政府征收附加税,每销售 元要征税 (叫做税率 叫做税率R%),则每年的销售将减少 万瓶, 叫做税率 ,则每年的销售将减少10R万瓶, 万瓶 要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万 要使每年在此项经营中所收附加税金不少于 万 应怎样确定? 元,问R应怎样确定? 应怎样确定

【思路点拨】 思路点拨】

该题中要明确关系式:销量× 该题中要明确关系式:销量×单

价=收入;收入×税率=税金.问题中的主框架 收入;收入×税率=税金. 是不等关系“每年在此项经营中所收附加税金不少 是不等关系 每年在此项经营中所收附加税金不少 万元”,所以解决问题的关键是把“每年在此 于112万元 ,所以解决问题的关键是把 每年在此 万元 项经营中所收附加税金”用 正确地表示出来 正确地表示出来, 项经营中所收附加税金 用R正确地表示出来,然 后解所得不等式. 后解所得不等式.

设产销量为每年x 万瓶, 【解】 设产销量为每年 万瓶, 则销售收入为每年70x万元, 万元, 则销售收入为每年 万元 从中征收的税金为70x·R%万元, 万元, 从中征收的税金为 万元 其中x= 其中 =100-10R, - , 由题意, 由题意,得70(100-10R)R%≥112, - , 整理, 整理,得R2-10R+16≤0.∵?=36>0, + ∵ = > , 方程R 的两个实数根为x 方程 2-10R+16=0的两个实数根为 1=2,x2=8. + = 的两个实数根为 , 然后画出二次函数y= 的图象, 然后画出二次函数 =R2-10R+16的图象, + 的图象 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 由图象得不等式的解集为 . 所以当2≤R≤8时,每年在此项经营中所收附加税金 所以当 时 不少于112万元 万元. 不少于 万元.

【名师点评】 在建立一元二次不等式的模型时, 名师点评】 在建立一元二次不等式的模型时, 为了理解题目中量与量之间的关系, 为了理解题目中量与量之间的关系,可以像本例 题这样,把题目中的文字语言转化为数学语言, 题这样,把题目中的文字语言转化为数学语言, 从而顺利地建立不等式模型. 从而顺利地建立不等式模型.在解一元二次不等 式应用题时, 式应用题时,要注意所求出的结果必须有实际意 义.

某企业上年度的年利润为200万元,本 万元, 变式训练 某企业上年度的年利润为 万元 年度为适应市场需求,计划提高产品档次, 年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适量 增加投入成本,投入成本增加的比例为x(0< < 增加投入成本,投入成本增加的比例为 <x< 1).现在有甲、乙两种方案可供选择,通过市场 .现在有甲、乙两种方案可供选择, 调查后预测,若选用甲方案,则年利润y万元与投 调查后预测,若选用甲方案,则年利润 万元与投 入成本增加的比例x的函数关系式为 的函数关系式为y= 入成本增加的比例 的函数关系式为 =f(x)=- =- 20x2+60x+200(0<x<1);若选用乙方案,则y与 + < < ;若选用乙方案, 与 x的函数关系式为 =g(x)=- 的函数关系式为y= =-30x2+65x+200(0< 的函数关系式为 =- + < x<1).试讨论根据投入成本增加的比例 ,如何 < .试讨论根据投入成本增加的比例x, 选择最适合的方案? 选择最适合的方案?

解: f(x)- g(x)= (- 20x2+ 60x+ 200)-(-30x2+ - =- + -- 65x+200)=10x2-5x.由 10x2-5x≥0, + = 由 ≥ , 1 舍去). 解得 x≥ 或 x≤0(舍去 .所以 ≥ ≤ 舍去 2 1 选择乙方案; 当投入成本增加的比例 x∈(0, )时, ∈ , 时 选择乙方案; 2 1 选择甲方案; 当投入成本增加的比例 x∈( , 时, ∈ 1)时 选择甲方案; 2 1 当投入成本增加的比例 x= 时,选择甲或乙方案 = 2 都可以. 都可以.

方法感悟 1.对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有 .对于有的恒成立问题, 效的方法.这是因为将参数予以分离后, 效的方法.这是因为将参数予以分离后,问题往 往会转化为函数问题,从而得以迅速解决. 往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然 这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时, 这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时, 经常要用到下述简单结论: 恒成立? > 经常要用到下述简单结论:(1)a>f(x)恒成立?a> > 恒成立 f(x)max;(2)a<f(x)恒成立?a<f(x)min. 恒成立? < < 恒成立

2.用一元二次不等式解决实际问题的步骤大致可 . 分为: 分为: (1)理解题意,把条件进行转化,或者画出示意图, 理解题意,把条件进行转化,或者画出示意图, 理解题意 理清各量满足的条件; 理清各量满足的条件; (2)依据条件建立相应的不等关系,把实际问题抽 依据条件建立相应的不等关系, 依据条件建立相应的不等关系 象为数学问题,即一元二次不等式问题; 象为数学问题,即一元二次不等式问题; (3)解所得的不等式,进而根据题目的实际意义解 解所得的不等式, 解所得的不等式 释原问题. 释原问题.


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