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椭圆双曲线抛物线2


x2 y2 1. 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且 a b 垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是________. 答案 (1,2)

【详细分析】 由 AB⊥x 轴, 可知△ABE 为等腰三角形, 又△AB

E 是锐角三角形, 所以∠AEB b2 为锐角,即∠AEF<45° ,于是 AF<EF, <a+c,于是 c2-a2<a2+ac,即 e2-e-2<0,解 a 得-1<e<2.又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2. x2 y2 1 2. 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个 a b 2 实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)必在圆 x2+y2=2________.(填“内”“外”“上”) 答案 内 b c 【详细分析】∵x1+x2=- ,x1x2=- . a a
2 b2 2c b +2ac 2 2 ∴x1 +x2 = ( x + x ) - 2 x x = + = . 2 2 1 2 1 2 a a a2

c 1 1 ∵e= = ,∴c= a, a 2 2 1 ?2 3 2 ∴b2=a2-c2=a2-? ?2a? =4a . 3 4 2 ∴x1 +x2 2= 1 a2+2a× a 2 7 = <2. a2 4

∴P(x1,x2)在圆 x2+y2=2 内. 3. 过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上一点 A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l:x=-a 作垂线,垂足分别为 M1、N1. p (1)当 a= 时,求证:AM1⊥AN1; 2 (2)记△AMM1、 △AM1N1、 △ANN1 的面积分别为 S1、 S2、 S3.是否存在 λ, 使得对任意的 a>0, 都有 S2 2=λS1S3 成立?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. p p (1)证明 当 a= 时,A( ,0)为该抛物线的焦点,而 l:x=-a 为准线, 2 2 由抛物线的定义知 MA=MM1,NA=NN1,

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则∠NN1A=∠NAN1,∠MM1A=∠MAM1. 又∠NN1A=∠BAN1,∠MM1A=∠BAM1, 则∠BAN1+∠BAM1=∠NAN1+∠MAM1, 而∠BAN1+∠BAM1+∠NAN1+∠MAM1=180° , 则∠N1AM1=∠BAN1+∠BAM1=90° , 所以 AM1⊥AN1. (2)解 可设直线 MN 的方程为 x=my+a,

? ?x=my+a, 由? 2 得 y2-2pmy-2pa=0. ?y =2px ?

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=2pm,y1y2=-2pa. 1 1 S1= (x1+a)|y1|,S2= (2a)|y1-y2|, 2 2 1 S3= (x2+a)|y2|, 2 由已知 S2 2=λS1S3 恒成立,则 4a2(y1-y2)2=λ(x1+a)(x2+a)|y1y2|. (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p2m2+8pa, (x1+a)(x2+a)=(my1+2a)(my2+2a) =m2y1y2+2ma(y1+y2)+4a2 =m2(-2pa)+2ma×2pm+4a2=4a2+2pam2. 则得 4a2(4p2m2+8pa)=2paλ(4a2+2pam2),解得 λ=4, 即当 λ=4 时,对任意的 a>0,都有 S2 2=λS1S3 成立.

(推荐时间:70 分钟) 一、填空题 1. 设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过 点(0,2),则 C 的方程为________________. 答案 y2=4x 或 y2=16x p ? p 【详细分析】由题意知:F? ?2,0?,抛物线的准线方程为 x=-2,则由抛物线的定义知, 5 yM? 5?2 ? yM?2 25 p xM=5- , 设以 MF 为直径的圆的圆心为? 所以圆的方程为? ?2, 2 ?, ?x-2? +?y- 2 ? = 4 , 2

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p? 又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x. x2 y2 2. 与椭圆 + =1 共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是____________. 12 16 x2 答案 y2- =1 3 16-12 1 x2 y2 【详细分析】椭圆 + =1 的离心率为 = ,且焦点为(0,± 2),所以所求双曲 12 16 2 16 2 线的焦点为(0,± 2)且离心率为 2,所以 c=2, =2 得 a=1,b2=c2-a2=3,故所求双曲 a x2 线方程是 y2- =1. 3 3. 已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准 线相交于点 N,则 FM∶MN=________. 答案 1∶ 5 【详细分析】由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距 离 MH. 即 FM∶MN=MH∶MN =FO∶AF=1∶ 5. x2 y2 4. 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作圆 x2+y2=a2 的切线 FM 交 y 轴于点 P,切 a b → → → 圆于点 M,2OM=OF+OP,则双曲线的离心率是________. 答案 2

【详细分析】由已知条件知,点 M 为直三角形 OFP 斜边 PF 的中点,故 OF= 2OM,即 c= 2a,所以双曲线的离心率为 2. 1 x2 5. 抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限 2p 3 的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于________. 答案 4 3 3

p? 【详细分析】抛物线 C1 的标准方程为 x2=2py,其焦点 F 为? ?0,2?,双曲线 C2 的右焦点 3 F′为(2,0),渐近线方程为 y=± x. 3 1 3 3 3 p 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3
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4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3 x2 y2 6. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5, 则 m 的值为________. m m +4 答案 2 【详细分析】建立关于 m 的方程求解. ∵c2=m+m2+4,
2 c2 m+m +4 ∴e2= 2= =5, a m

∴m2-4m+4=0,∴m=2. x2 y2 → → 7. 椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆 M 上任一点,且PF1· PF a b
2

的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中 c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是

________. 答案 1 2 [ , ] 2 2

【详细分析】设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), → → 则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y), → → PF1· PF2=x2+y2-c2. 又 x2+y2 可看作 P(x,y)到原点的距离的平方, → → 所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1· PF2)max=b2, 1 1 所以 c2≤b2=a2-c2≤3c2,即 ≤e2≤ , 4 2 1 2 所以 ≤e≤ . 2 2 x2 y2 8. 椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与 a b 椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 答案 3-1

【详细分析】由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° , 又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° , MF1⊥MF2, 所以 MF1=c,MF2= 3c,
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所以 MF1+MF2=c+ 3c=2a. c 即 e= = 3-1. a x2 y2 9. 已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 9 16 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44 【详细分析】由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且 PQ=QA+PA=4b=16, 由双曲线定义,PF-PA=6,QF-QA=6. ∴PF+QF=12+PA+QA=28, 因此△PQF 的周长为 PF+QF+PQ=28+16=44. x2 y2 10.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上 25 16 的点,则 PM+PN 的最小值为________. 答案 7 【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且 PF1+PF2=10,从 而 PM+PN 的最小值为 PF1+PF2-1-2=7. 二、解答题 x2 y2 11.平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 x+y- 3=0 交 M a b 1 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最 大值. 解 a (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 b ① ②

x2 y2 1 1 2+ 2=1

x2 y2 2 2 2+ 2=1 a b ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②,得 + =0. a2 b2

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y1-y2 因为 =-1,设 P(x0,y0), x1-x2 1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 1 1 所以 y0= x0,即 y1+y2= (x1+x2). 2 2 所以可以解得 a2=2b2,即 a2=2(a2-c2),即 a2=2c2, 又因为 c= 3,所以 a2=6, x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x+y- 3=0, 所以设直线 CD 方程为 y=x+m, x2 y2 将 x+y- 3=0 代入 + =1 得: 6 3 3x2-4 3x=0,即 A(0, 3),B? 4 6 所以可得 AB= ; 3 x2 y2 将 y=x+m 代入 + =1 得: 6 3 3x2+4mx+2m2-6=0, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 则 CD= 2 ?x3+x4?2-4x3x4= 2 2 18-2m2, 3 4 3 3? , ? 3 ,- 3 ?

又因为 Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3, 1 8 6 所以当 m=0 时,CD 取得最大值 4,所以四边形 ACBD 面积的最大值为 AB· CD= . 2 3 3? x2 y2 1 12.如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P? ?1,2?,离心率 e=2,直线 l 的方程为 x=4. a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA、 PB、PM 的斜率分别为 k1、k2、k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.
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3 x2 y2 1, ?在椭圆 2+ 2=1 上,得 (1)由 P? ? 2? a b ① ②

1 9 + =1, a2 4b2 c 1 又 e= = ,得 a2=4c2,b2=3c2, a 2 ②代入①得,c2=1,a2=4,b2=3. x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). y=k?x-1? ? ?2 2 由?x y 得, + =1 ? ?4 3 (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +3 4k +3 3 3 y1- y2- 2 2 k1+k2= + x1-1 x2-1 3 3 k?x1-1?- k?x2-1?- 2 2 = + x1-1 x2-1 1 3 1 =2k- ?x -1+x -1? 2? 1 ? 2 x1+x2-2 3 =2k- · 2 x1x2-?x1+x2?+1 8k2 -2 4k2+3 3 =2k- · 2 2 4k -12 8k2 - 2 +1 2 4k +3 4k +3 =2k-1. 又将 x=4 代入 y=k(x-1)得 M(4,3k), 3 3k- 2 1 ∴k3= =k- , 3 2 ∴k1+k2=2k3. 故存在常数 λ=2 符合题意.

1 13.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,其一个顶点的抛物线 x2=-4 3y 2

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的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M,求直线 l 的方程和点 M 的坐 标; → → →2 (3)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A, B, 且满足PA· PB=PM ? 若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. 解 x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b

c 1 由题意得 b= 3, = ,解得 a=2,c=1. a 2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切,所以直线 l 的斜率存在, 故可设直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1 (k≠0). x y ? ? 4 + 3 =1 由? ? ?y=k?x-2?+1 得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0. 因为直线 l 与椭圆 C 相切, 所以 Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0. 1 整理,得 32(6k+3)=0,解得 k=- . 2 1 1 所以直线 l 的方程为 y=- (x-2)+1=- x+2. 2 2 3? 1 将 k=- 代入①式,可以解得 M 点的横坐标为 1,故切点 M 的坐标为? ?1,2?. 2 (3)若存在直线 l1 满足条件,则直线 l1 的斜率存在,设其方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭圆 C 的方程得
2 2 (3+4k2 1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0. 2 2



设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,
2 所以 Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k2 1)(16k1-16k1-8)=32(6k1+3)>0.

1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 x1+x2= . 2 ,x1x2= 3+4k1 3+4k2 1 → → →2 因为PA· PB=PM ,
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5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2 1)= , 4 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2 1)= . 4 所以? 8k1?2k1-1? ? ?16k1-16k1-8-2· 2 +4?(1+k1 ) 2 3+4k2 ? 3+4k1 ? 1
2

2 4+4k1 5 = 2= , 3+4k1 4

1 解得 k1=± . 2 1 因为 A,B 为不同的两点,所以 k1= . 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y=2x.

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