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湖南省新田一中高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1


复习引入

在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、 嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了 脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子, 由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌, 兔子数量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了 整个澳大利亚,数量达到 75 亿只.可爱的兔子 变得可恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿 只羊所吃的牧草,草

原的载畜率大大降低,而牛 羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不 已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十 世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百 分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.

讲授新课
例1 假设你有一笔资金用于投资,现在有 三种投资方案供你选择,这三种方案的回 报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前 一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案?

解:设第x天所得回报是y元,

解:设第x天所得回报是y元, 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行 描述;

解:设第x天所得回报是y元, 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行 描述; 方案二可以用函数y=10x (x∈N*)进行 描述;

解:设第x天所得回报是y元, 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行 描述; 方案二可以用函数y=10x (x∈N*)进行 描述; 方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*) 进行描述.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30

方案 一 方案 二 增加量 增加量 y/元 y/元 y/元 y/元 40 0 10 10 40 0 20 10 40 0 30 10 40 0 40 10 40 0 50 10 40 0 60 10 40 0 70 10 40 0 80 10 40 0 90 10 40 0 100 10 … … … … 40 0 300 10

方案 三 增加量 y/元 y/元 0.4 0.8 0.4 1.6 0.8 3.2 1.6 6.4 3.2 12.8 6.4 25.6 12.8 51.2 25.6 102.4 51.2 204.8 102.4 … …
214748364.8 107374182.4

y
120

函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察,我们用虚线 连接离散的点.

100
80

60
40 20 O 2 4 6 8 10

x

y
120

函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察,我们用虚线 连接离散的点.

100
80

60
40 20 O

y=40

2

4

6

8

10

x

y
120

函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察,我们用虚线 连接离散的点.

100
80

y=10x
y=40

60
40 20 O

2

4

6

8

10

x

y
120

函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察,我们用虚线 连接离散的点.
y=0.4×2x-1

100
80

y=10x
y=40

60
40 20 O

2

4

6

8

10

x

y
120

函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察,我们用虚线 连接离散的点.
y=0.4×2x-1

100
80

y=10x
y=40

60
40 20 O

2

4

6

8

10

我们看到,底 为 2的指数函数模型 比线性函数模型 增 长速度要快得多. 从中你对“指数 x爆 炸”的含义有什

y
120

100
80

y=0.4×2x-1

y=10x
y=40

60
40 20 O

根据以上的分 析,是否应作这样 的选择: 投资5天以 下选方案一,投资 5~8天选方案二, 投资8天以上选方 案三?

2

4

6

8

10

x

例2 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到10万元时,按销售利润进 行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数 不超过5万元,同时奖金总数不超过利润 的25%,现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求?

分析:某个奖励模型符合公司要求,就是 依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超 过5万元,同时奖金不超过利润的25%, 由于公司总的利润目标为1000万元,所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是,只需在区间[10,1000]上,检验三个 模型是否符合公司要求即可.

分析:某个奖励模型符合公司要求,就是 依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超 过5万元,同时奖金不超过利润的25%, 由于公司总的利润目标为1000万元,所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是,只需在区间[10,1000]上,检验三个 模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象,通过观察函数 的图象,得到初步的结论再通过具体计算, 确认结果.

图象 y
8 7 6 5 4 3

2
1 O 200 400 600 800 1000

x

图象 y
8 7 6 5 4 3 y=5

2
1 O 200 400 600 800 1000

x

图象 y
8 7 6 5 4 3 y=5 y=0.25x

2
1 O 200 400 600 800 1000

x

图象 y
8 7 6 5 4 3 y=5 y=log7x+1 y=0.25x

2
1 O 200 400 600 800 1000

x

图象 y
8 7 6 5 4 3 y=0.25x y=1.002x y=5 y=log7x+1

2
1 O 200 400 600 800 1000

x

解: 借助计算机作出函数y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x的图象.观察图象发现,在区间[10,1000] 上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在 直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终 在y=5的下方,这 y 说明只有按模型 8 y=0.25x y=log7x+1进行 x y = 1.002 7 奖励时才符合公 6 司的要求,下面 y=5 5 通过计算确认上 y=log7x+1 4 述判断. 3 2 1 O 200 400 600 8001000 x

解:首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.

解:首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x,它在区间[10, 1000]上递增, 而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5, 所以该模型不符合要求;

解:首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x,它在区间[10, 1000]上递增, 而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5, 所以该模型不符合要求;

对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算 器,可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足 1.002x=5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此当 x>x0时,y>5,所以该模型也不符合要求;

解:首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x,它在区间[10, 1000]上递增, 而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5, 所以该模型不符合要求;

对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算 器,可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足 1.002x=5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此当 x>x0时,y>5,所以该模型也不符合要求;
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000] 上递 增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5, 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

解: 再计算按模型 y=log7x+1奖励时,奖金是否 不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有 成立.

y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 x x

解: 再计算按模型 y=log7x+1奖励时,奖金是否 不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有 成立.

y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 x x

令f(x)=log7x+1-0.25,x∈[10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象,由图象可知它是递减的, 因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x. 所以当x∈[10,1000]时,log 7 x ? 1 ? 0.25 . 说明按 x 模型y=log7x+1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.

解: 再计算按模型 y=log7x+1奖励时,奖金是否 不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有 成立.

y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 x x

令f(x)=log7x+1-0.25,x∈[10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象,由图象可知它是递减的, 因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x. 所以当x∈[10,1000]时,log 7 x ? 1 ? 0.25 . 说明按 x 模型y=log7x+1奖励时, 奖金不会超过利润的25%. 综上所述,模型y=log7x+1确实能符合公司 要求.

归纳总结中学数学建模的主要步骤

归纳总结中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题:阅读理解,读懂文字叙述,认 真审题,理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义,设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设:理解所给的实际问题之后,领 悟背景中反映的实质,需要对问题作必要的 简化,有时要给出一些恰当的假设,精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模:把握新信息,勇于探索,善于联 想,灵活化归,根据题意建立变量或参数间的 数学关系,实现实际问题数学化,引进数学符 号,构建数学模型,常用的数学模型有方程、 不等式、函数.

归纳总结中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题:阅读理解,读懂文字叙述,认 真审题,理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义,设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设:理解所给的实际问题之后,领 悟背景中反映的实质,需要对问题作必要的 简化,有时要给出一些恰当的假设,精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模:把握新信息,勇于探索,善于联 想,灵活化归,根据题意建立变量或参数间的 数学关系,实现实际问题数学化,引进数学符 号,构建数学模型,常用的数学模型有方程、 不等式、函数.

归纳总结中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题:阅读理解,读懂文字叙述,认 真审题,理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义,设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设:理解所给的实际问题之后,领 悟背景中反映的实质,需要对问题作必要的 简化,有时要给出一些恰当的假设,精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模:把握新信息,勇于探索,善于联 想,灵活化归,根据题意建立变量或参数间的 数学关系,实现实际问题数学化,引进数学符 号,构建数学模型,常用的数学模型有方程、 不等式、函数.

归纳总结中学数学建模的主要步骤
(4) 求解模型:以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型:将所求的结果代回模型之中检 验,对模拟的结果与实际情形比较,以确定 模型的有效性,如果不满意,要考虑重新建 模. (6) 评价与应用:如果模型与实际情形比较吻 合,要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义,后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入,则要对模型改 进并重复上述步骤.

归纳总结中学数学建模的主要步骤
(4) 求解模型:以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型:将所求的结果代回模型之中检 验,对模拟的结果与实际情形比较,以确定 模型的有效性,如果不满意,要考虑重新建 模. (6) 评价与应用:如果模型与实际情形比较吻 合,要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义,后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入,则要对模型改 进并重复上述步骤.

归纳总结中学数学建模的主要步骤
(4) 求解模型:以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型:将所求的结果代回模型之中检 验,对模拟的结果与实际情形比较,以确定 模型的有效性,如果不满意,要考虑重新建 模. (6) 评价与应用:如果模型与实际情形比较吻 合,要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义,后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入,则要对模型改 进并重复上述步骤.

练习 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4 个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双, 1.37万双. 由于产品质量好,款式新颖,前几 个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品 时,接受定单不至于过多或过少,需要估计 以后几个月的产量. 厂里分析,产量的增加是 由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也 暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长, 就月份x,产量为y给出四种函数模型:

y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a x +b,y=abx +c,
你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?

1 2

课堂小结
归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题 (2) 简化假设 (3) 数学建模 (4) 求解模型 (5) 检验模型 (6) 评价与应用

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题:阅读理解,读懂文字叙述, 认真审题,理解实际背景. 弄清楚问题的 实际背景和意义,设法用数学语言来描述 问题. (2) 简化假设:理解所给的实际问题之后, 领悟背景中反映的实质,需要对问题作必 要的简化,有时要给出一些恰当的假设, 精选问题中关键或主要的变量.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题:阅读理解,读懂文字叙述, 认真审题,理解实际背景. 弄清楚问题的 实际背景和意义,设法用数学语言来描述 问题. (2) 简化假设:理解所给的实际问题之后, 领悟背景中反映的实质,需要对问题作必 要的简化,有时要给出一些恰当的假设, 精选问题中关键或主要的变量.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(3) 数学建模:把握新信息,勇于探索, 善于联想,灵活化归,根据题意建立变 量或参数间的数学关系,实现实际问题 数学化,引进数学符号,构建数学模型, 常用的数学模型有方程、不等式、函数.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(3) 数学建模:把握新信息,勇于探索, 善于联想,灵活化归,根据题意建立变 量或参数间的数学关系,实现实际问题 数学化,引进数学符号,构建数学模型, 常用的数学模型有方程、不等式、函数.
(4) 求解模型:以所学的数学性质为工具 对建立的数学模型进行求解.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(5) 检验模型:将所求的结果代回模型之 中检验,对模拟的结果与实际情形比较, 以确定模型的有效性,如果不满意,要 考虑重新建模. (6) 评价与应用:如果模型与实际情形比 较吻合,要对计算的结果作出解释并给 出其实际意义,后对所建立的模型给出 运用范围.如果模型与实际问题有较大出 入,则要对模型改进并重复上述步骤.

复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤

(5) 检验模型:将所求的结果代回模型之 中检验,对模拟的结果与实际情形比较, 以确定模型的有效性,如果不满意,要 考虑重新建模. (6) 评价与应用:如果模型与实际情形比 较吻合,要对计算的结果作出解释并给 出其实际意义,后对所建立的模型给出 运用范围.如果模型与实际问题有较大出 入,则要对模型改进并重复上述步骤.

归纳总结中学数学建模的主要步骤

(1) 理解问题 (2) 简化假设 (3) 数学建模 (4) 求解模型 (5) 检验模型 (6) 评价与应用

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况.
x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

O

16

x

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

x y? 4

O

16

x

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

x y? 4

y? x
16

O

x

讲授新课
的图象,说明在不同区间内,函数增长
的快慢情况. y
6 4 2

x 观察函数 y ? 与 y ? 4

x 在[0,+∞)上

x y? 4

y? x
16

O

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x
x

2

的增长快慢.

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

O
-2

2

4

6

8

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

y?2

x

O
-2

2

4

6

8

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

y?2

x

y? x
2 4

2

O
-2

6

8

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

8
6 4 2

y?2

x

y? x
2 4

2

y ? log 2 x
6 8

O
-2

x

比较函数 y ? 2 , y ? x , y ? log 2 x y 的增长快慢.
x

2

你能分别求出使
log 2 x ? 2 ? x
x 2 x

8
6 4 2

y?2

x

log 2 x ? x ? 2
2

成立的x的取值 范围吗?

y? x
2 4

2

y ? log 2 x
6 8

O
-2

x

放大后 的图象

30 28 26 24 22 20

y
y ? x2

18
16 14 12 10 8 6 4 2

y?2

x

O

5

10

x

规律总结 ① 一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和 幂函数y=xn(n>0),在区间(0, +∞)上, 无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范 围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于 xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0 时,就会有ax>xn.
(0, ??) (0, ??)

规律总结 ②对于对数函数y=logax (a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0, +∞)上,随着x的 增大,logax增长得越来越慢.在x的一定 变化范围内,logax可能会大于xn,但由 于logax的增长慢于xn的增长,因此总存 在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn.
(0, ??) (0, ??)

规律总结 ③在区间(0, +∞)上,尽管函数y=ax (a>1),y=logax(a>1)和y = xn(n>0) 都是增函数,但它们的增长速度不同, 而且不在同一个“档次”上.随着x的增 长,y=ax(a>1)的增长速度越来越快, 会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长 速度,而y=logax(a>1)的增长速度则 会越来越慢.因此,总会存在一个x0, 当x>x0时,就有logax<xn<ax.
(0, ??) (0, ??)

例1 同一坐标系中,函数 y y=x2+7和y=2x的图象 50 如图.试比较x2+7与2x的
大小.
40 30 20 10

y=x2+7

y=2x
5 10

O

x

例2 已知函数y=x2和y=log2(x+1)的图象 如图,试比较x2与log2(x+1)的大小. y
4
3

y=x2

2 1

y=log2(x+1)
O
2 4

x

-1

练习
1. 下列说法不正确的是 ( C )

A. 函数y=2x在(0,+∞)上是增函数 B. 函数y=x2在(0,+∞)上是增函数 C. 存在x0,当x>x0时,x2>2x恒成立 D. 存在x0,当x>x0时,2x>x2恒成立

练习
1. 下列说法不正确的是 ( C )

A. 函数y=2x在(0,+∞)上是增函数 B. 函数y=x2在(0,+∞)上是增函数 C. 存在x0,当x>x0时,x2>2x恒成立 D. 存在x0,当x>x0时,2x>x2恒成立

练习
2.比较函数y=xn(n>0)和y=ax(a>0), 下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y=xn比y=ax的增长速度快 B. 函数y=xn比y=ax的增长速度慢

C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y=xn与y=ax的增长速度

D. 以上都不正确

练习
2.比较函数y=xn(n>0)和y=ax(a>0), 下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y=xn比y=ax的增长速度快 B. 函数y=xn比y=ax的增长速度慢

C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数
y=xn与y=ax的增长速度

D. 以上都不正确

练习 3. 函数y=logax(a>1)、y=bx(b>1)和
y=xc(c>0)中增长速度最快的是( B )

A. y=logax(a>1)
C. y=xc(c>0)

B. y=bx(b>1)
D. 无法确定

练习 3. 函数y=logax(a>1)、y=bx(b>1)和
y=xc(c>0)中增长速度最快的是( B )

A. y=logax(a>1)
C. y=xc(c>0)

B. y=bx(b>1)
D. 无法确定

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 . 的图象,C表示函 数 的图象.
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 . 的图象,C表示函 数 的图象. y=2x
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 y=x1.4 . 的图象,C表示函 数 的图象. y=2x
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

练习 4.已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数 函数y=lnx的图象. 如图,则A表示函数 y 的图象, B表示函数 y=x1.4 . 的图象,C表示函 数 y=lnx 的图象. y=2x
5 4 3 2 1

A B C
O
2 4

x

课堂小结
1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异;

课堂小结
1. 幂函数、指数函数、对数函数增长
快慢的差异; 2. 直线上升、指数爆炸、对数增长

等不同函数类型增长的含义.


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3.2.1几类不同增长的函数模型

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高一数学人教A版必修1课后强化作业:3.2.1《几类不同增长的函数模型》

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