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2016-2017学年高中数学第四章函数应用章末测评北师大版必修1(新)


第四章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 y=x -3x+2 的零点为( A.(1,0),(2,0) C.1
2 2

)

B.1,2 D.2

解析:因为方程 x -3x+2=0 的根为 1,2,故选 B. 答

案:B 2.下列图像中与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是( )

答案:B 3.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 解析:由零点的定义和性质可知 C 正确. 答案:C 4.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)中,ac<0,则函数的零点个数是( A.1 C.0 B. 答案:B 5.(2016 辽宁六校联合考试)函数 f(x)=2 +x-7 的零点所在的区间是( A.(0,1) C.(2,3) 答案:C B.(1,2) D.(3,4)
x
2

)

)

B.2 D.无法确定
2

解析:由二次方程的判别式得到 Δ =b -4ac.又因为 ac<0,所以 Δ >0.此方程有两个不等的实根.故选

)

1

6.某商场将空调先按原价提高 40%,然后在广告中“大酬宾,8 折优惠”,结果每台空调比原价多赚 了 270 元,那么每台空调原价应是( A.2 150 元 B.2 200 元 ) C.2 250 元 D.2 300 元

解析:根据空调的销售价格=原价格+270 元列出函数关系.设每台空调原价为 x 元,则每台空调实际 销售价为(1+40%)x×80%,依据题意,得(1+40%)x×80%=x+270,解得 x=2 250,故选 C. 答案:C 7.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值及符号如下表:
2

--x 0 1 234
321

y+ m -

-55

-n+

则可判断方程 ax +bx+c=0 的两个根所在的区间是( A.(-3,-1)和(-1,1) C.(-3,-1)和(2,4) 答案:C B.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞)

2

)

解析:结合图表中函数值正负转化的特点可判断. 8. 导学号 91000173(2016 福建福州高中联考)设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满 足 f(2x)=f 的所有 x 之和为( A.C.-8 B.D.8 )

解析:∵x>0 时,f(x)单调且为偶函数,

∴|2x|=,
即 2x(x+4)=±(x+1).

∴2x2+9x+1=0,或 2x2+7x-1=0. ∴共有四根. ∵x1+x2=-,x3+x4=-, ∴所有 x 之和为-=-8.
答案:C 9.若函数 f(x)=x +ax+b 有两个不同的零点 x1,x2,且 1<x1<x2<3,那么在 f(1),f(3)两个函数值中 ( ) A.只有一个小于 1 B.至少有一个小于 1 C.都小于 1 D.可能都大于 1 解析:当函数图像关于直线 x=2 对称时,a=-4,所以 Δ =16-4b>0,b<4.f(1)-1=f(3)-1=b-4<0,故
2

f(1),f(3)两个函数值都小于 1;当函数图像不关于直线 x=2 对称时,f(1),f(3)两个函数值中至少有
一个小于 1. 答案:B

2

10.(2016 山东潍坊高一检测)设函数 f(x)=n-1,x∈[n,n+1),n∈N,函数 g(x)=log2x,则方程

f(x)=g(x)的实数根的个数是(
A.1 B.2

) C.3 D.4

解析:画出 f(x)和 g(x)的图像,如下图所示,从图中不难看出方程 f(x)=g(x)有 3 个零点.

答案:C 11.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点
3

x0∈

,第二次应计算

.以上横线上应填的内容为(

)

A.(0,0.5) f(0.25) B.(0,1) f(0.25) C.(0.5,1) f(0.75) D.(0,0.5) f(0.125) 解析:因为 f(0)<0,f(0.5)>0,所以函数 f(x)的一个零点 x0∈(0,0.5),第二次计算 f=f(0.25). 答案:A 12.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图像如图所示,则(
3 2

)

A.b∈(-∞,0) C.b∈(1,2)

B.b∈(0,1) D.b∈(2,+∞)

解析:由 f(0)=0 得 d=0, 又因为 f(1)=0,所以 a+b+c=0.① 又因为 f(-1)<0,即-a+b-c<0.②

①+②得 2b<0,所以 b<0.故选 A.
答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.函数 f(x)=2x-的零点是
2

.

解析:令 f(x)=0,即 2x-=0,2x=,2x =2,所以 x=±1. 答案:-1,1 14.当 m 的范围为 一个实根. 解析:令 f(x)=x -(m-1)x+2m,则 f(0)·f(1)<0 可解得-2<m<0. 答案:-2<m<0
2

时,关于 x 的方程 x -(m-1)x+2m=0 有两个实根且在区间(0,1)上有且只有

2

3

15.随着全球气候变暖,人们对环境保护更加关注.某校环保小组调查结果显示:某区垃圾量的年增 长率为 p,2009 年产生的垃圾为 a 吨,由此预测,该区 2011 年的垃圾量为 吨. 解析:2009 年产生的垃圾为 a 吨,年增长率为 p,则 2010 年垃圾量为 a(1+p)吨,2011 年垃圾量为

a(1+p)2 吨.
答案:a(1+p)
2

16.某方程 ln x-6+2x=0 的解为 x0,则不等式 x≤x0 的最大整数解是 解析:令 f(x)=ln x-6+2x,则

.

f(1)=ln 1-6+2=-4<0, f(2)=ln 2-6+4=ln 2-2<0, f(3)=ln 3>0, ∴2<x0<3. ∴不等式 x≤x0 的最大整数解为 2.
答案:2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分)已知函数 f(x)的图像是连续不断的,x 和 f(x)有如下的对应值表:

x -2

1.5

-1

0.5

0

0.5 1

1.5 2

f( 1.0 2.3 1.5 1.2 2.7 3.4 4.8 3.5 0.3 x) 2 7 6 3 7 5 9
1 8

问函数 f(x)在哪几个区间上一定有零点(区间为表中的最小区间)?为什么? 解:因为函数的图像是连续不断的,并且由对应值表可知 f(-2)·f(-1.5)<0,f(0.5)·f(0)<0,f(0)·f(0.5)<0,所以在区间(-2,-1.5),(-0.5,0),(0,0.5)上函数 f(x)一定有零点. 18.(12 分)求二次函数 y=-x -2x+3 的零点,并求当 y>0,y<0 时 x 的取值范围. 解:解二次方程-x -2x+3=0,得 x1=-3,x2=1.
2 2

所以函数 y=-x -2x+3 的零点为-3,1.

2

y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,画出这个函数的简图,如图所示,可以看出当-3<x<1 时,y>0.
当 x<-3 或 x>1 时,y<0. 所以函数 y=-x -2x+3 的零点是-3,1. 当 y>0 时,x 的取值范围是(-3,1); 当 y<0 时,x 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞). 19.(12 分)大海中的两艘船如下图所示,甲船在 A 处,乙船在 A 处正东 50 km 的 B 处,现在甲船从 A 处以 20 km/h 的速度向正北方向航行,同时乙船从 B 处以 10 km/h 的速度向正西方向航行,则经过 多少小时后,两船相距最近?
2

4

解:设 t 小时后,甲船到达 M 处,乙船到达 N 处,则 AM=20t,AN=50-NB=50-10t,这时两船相距

y=MN= =,故当 t=1 时,y 取最小值,两船相距最近.
20.(12 分)求函数 f(x)=x +2x -3x-6 的一个为正数的零点(精确到 0.1). 解:由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算,列表如下: 端点或 中点横坐标 计算端点或 中点的函数 定区间 值 f(1)=[1,2] 6,f(2)=4 f(x1)=[1.5,2] 2.625<0 f(x2)≈0.23 [1.5,1.75] 4 4>0 f(x3)≈[1.625,1.75] 1.302 7<0 f(x4)≈[1.687 0.561 8<0 5,1.75] f(x5)≈[1.718 0.171<0 75,1.75] [1.718 f(x6)≈0.03 75,1.734 >0 375]
3 2

a0=1,b0=2 x1==1.5 x2==1.75 x3==1.625 x4==1.687 5 x5==1.718 75 x6==1.734 375

至此可以看出,区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到 0.1 都为 1.7,所以 1.7 就是所求 函数零点精确到 0.1 的实数解,即为函数的一个正数零点. 21. 导学号 91000174(12 分)是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x +(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上 与 x 轴恒有一个交点,且只有一个交点?若存在,求出范围;若不存在,请说明理由. 解:若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)f(3)≤0 即可.
2

f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,
所以 a≤-,或 a≥1.检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1,所以 f(x)=x +x. 令 f(x)=0,即 x +x=0,解得 x=0,或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1. (2)当 f(3)=0 时,a=-,此时,f(x)=x -x-. 令 f(x)=0,即 x -x-=0, 解得 x=-或 x=3.
2 2 2 2

5

方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠-. 综上所述,a∈∪(1,+∞). 22.(14 分)有一个受到污染的湖泊,湖水的体积为 v 立方米,每天流出湖泊的水量都是 r 立方米,现 假设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与湖水能很好地混合,用 g(t)表示某一时刻 t 每立方米湖水 所含污染物质的克数,我们称 g(t)为在时刻 t 的湖水污染质量分数.已知目前污染源每天排放 p 克 污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式 g(t)=(p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始质量 分数. (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数; (2)如果政府加大治污力度,使得对湖泊的所有污染停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水 平下降到开始时污染水平的 5%? 解:(1)因为 g(t)为常数,有 g(0)-=0, 所以 g(0)=. (2)污染停止即 p=0,g(t)=g(0)·,设经过 t 天使湖水污染降到初始污染水平的 5%,即

g(t)=5%g(0),
故,解得 t=ln 20, 故需要 ln 20 天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 5%.

6


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