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2016届江西省南昌二中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

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2015-2016 学年江西省南昌二中高三(上)第一次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 y=lgx 的定义域为 A,B={x|0≤x≤1},则 A∩B=( A.(0,+∞) B.[0,1] C.[0,1) ) D.(0,1]

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出函数 y=lgx 的定义域确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:函数 y=lgx 中,x>0,即 A=(0,+∞), ∵B={x|0≤x≤1}=[0,1], ∴A∩B=(0,1]. 故选:D 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知 α 为第二象限角,且 A. B.

,则 tan(π+α)的值是( C.

) D.

【考点】诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由 α 为第二象限角,根据 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的 值,进而求出 tanα 的值,原式利用诱导公式化简,将 tanα 的值代入计算即可求出值.

【解答】解:∵α 为第二象限角,sinα=, ∴cosα=﹣ ∴tanα= =﹣, =﹣,

则 tan(π+α)=tanα=﹣.

故选 D 【点评】此题考查了诱导公式的作用,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系 是解本题的关键.

3.下列说法正确的是(



A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.已知 y=f(x)是 R 上的可导函数,则“f′(x0)=0”是“x0 是函数 y=f(x)的极值点”的必 要不充分条件 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0”

D.命题“角 α 的终边在第一象限角,则 α 是锐角”的逆否命题为真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用命题的定义判断 A 的正误;函数的极值的充要条件判断 B 的正误;命题的否 定判断 C 的正误;四种命题的逆否关系判断 D 的正误; 【解答】解:对于 A,命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1”,不满足否命 题的定义,所以 A 不正确; 对于 B,已知 y=f(x)是 R 上的可导函数,则“f′(x0)=0”函数不一定有极值,“x0 是函数 y=f(x)的极值点”一定有导函数为 0,所以已知 y=f(x)是 R 上的可导函数,则“f′(x0) =0”是“x0 是函数 y=f(x)的极值点”的必要不充分条件,正确; 对于 C,命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0”,不 满足命题的否定形式,所以不正确; 对于 D,命题“角 α 的终边在第一象限角,则 α 是锐角”是错误命题,则逆否命题为假命题, 所以 D 不正确; 故选:B. 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,考查函数的极值以及充要条件,四种命题的逆 否关系,命题的否定,是基础题.

4.已知角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2,﹣2cos2),则 sinα 等于(



A.sin2

B.﹣sin2

C.cos2

D.﹣cos2

【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα 的值. 【解答】解:∵角 α 终边上一点 P 的坐标是(2sin2,﹣2cos2), ∴x=2sin2,y=﹣2cos2,r=|OP|=2,∴sinα== 故选:D. 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题. =﹣cos2,

5.设 a=log2,b= A.c<a<b

,c=lnπ,则( B.a<c<b

) C.a<b<c D.b<a<c

【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵a=log2<0,0<b= ∴a<b<c. 故选:C. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. <1,c=lnπ>1,

6.设点 P 是曲线 围是( A. ) B. D.

上的任意一点,P 点处切线倾斜角为 α,则角 α 的取值范

C.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的倾斜角. 【专题】计算题. 【分析】求出曲线解析式的导函数,根据完全平方式大于等于 0 求出导函数的最小值,由曲 线在 P 点切线的斜率为导函数的值,且直线的斜率等于其倾斜角的正切值,从而得到 tanα 的范围,由 α 的范围,求出 α 的范围即可.

【解答】解:∵y′=3x2﹣ 又∵0≤α≤π, ∴0≤α< 或

≥﹣

,∴tanα≥﹣



. )∪[ ,π).

则角 α 的取值范围是[0, 故选 C.

【点评】 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 会利用切线的斜率与倾斜角 之间的关系 k=tanα 进行求解.

7.将函数

向右平移

个单位,再将所得的函数图象上的各点纵 ,

坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)与 ,x 轴围成的图形面积为( A. B. ) C. D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;定积分. 【专题】常规题型;综合题. 【分析】将函数 向右平移 个单位,推出函数解析式,再将所

得的函数图象上的各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=g(x)的图象, 利用积分求函数 y=g(x)与 【解答】解:将函数 , ,x 轴围成的图形面积. 向右平移 个单位,得到函数

=sin(2x+π)=﹣sin2x,再将所得的函数图象上的各点 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=g(x)=﹣sinx 的图象,则函数 y=﹣sinx 与 , ,x 轴围成的图形面积:﹣ + (﹣sinx)dx=

﹣cosx 故选 B

+cosx

=+1=

【点评】本题是中档题,考查三角函数图象的平移伸缩变换,利用积分求面积,正确的变换 是基础,合理利用积分求面积是近年高考必考内容.

8.已知函数

是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是



) B.﹣3≤a≤﹣2 C.a≤﹣2 D.a<0

A.﹣3≤a<0

【考点】函数单调性的性质;二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】由函数 f(x)上 R 上的增函数可得函数,设 g(x)=﹣x2﹣ax﹣5,h(x)=,则可 知函数 g(x)在 x≤1 时单调递增,函数 h(x)在(1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1), 从而可求

【解答】解:∵函数

是 R 上的增函数

设 g(x)=﹣x2﹣ax﹣5(x≤1),h(x)=(x>1) 由分段函数的性质可知,函数 g(x)=﹣x2﹣ax﹣5 在(﹣∞,1]单调递增,函数 h(x)= 在(1,+∞)单调递增,且 g(1)≤h(1)





解可得,﹣3≤a≤﹣2 故选 B 【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的应用,反比例函数的单调性的应用,主要分段 函数的单调性应用 中,不要漏掉 g(1)≤h(1)

9.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+1)=f(x﹣1),当 x∈[0,1]时,f (x)=2x﹣1,则函数 g(x)=f(x)﹣ln 的零点个数为( A.3 B.4 C .5 ) D.6

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】作出函数 y=f(x)的图象,利用数形结合法进行求解. 【解答】解:当 x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,函数 y=f(x)的周期为 2,

当 x>5 时,y=ln>1,此时函数图象无交点, 当 x∈[2,3]时,f(x)=2x﹣2﹣1,g(x)=f(x)﹣ln=2x﹣2﹣1﹣ln, ∴g′(x)=2x﹣2ln2﹣= >0, 即 g′(x)>0, ∴g(x)在 x∈[2,3]上为增函数, ∵g(2)=0, ∴g(x)在 x∈[2,3]上只有一个零点, 可得函数 g(x)=f(x)﹣ln 的零点个数为 4, 故选:B. 【点评】本题主要考查了周期函数与对数函数的图象,数形结合是高考中常用的方法,考查 数形结合,本题属于中档题. ,∵x∈[2,3],∴x2x﹣2ln2﹣1>222﹣2ln2﹣1=2ln2﹣1

10.设 α,β 都是锐角,且 cosα= A. B.﹣

,sin(α﹣β)= C.

,则 cosβ=( 或﹣ D.

) 或

【考点】两角和与差的余弦函数. 【专题】三角函数的求值. 【分析】注意到角的变换 β=α﹣(α﹣β),再利用两角差的余弦公式计算可得结果.

【解答】解:∵α,β 都是锐角,且 cosα= ∴sinα= 同理可得 = ; ,

,sin(α﹣β)=



∴cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)=

+

=



故选:A. 【点评】本题考查两角和与差的余弦公式,考查同角三角函数间的关系式的应用,属于中档 题.

11.已知 a≤ A.0

+lnx 对任意 B.1

恒成立,则 a 的最大值为( C .2

) D.3

【考点】函数恒成立问题. 【专题】导数的综合应用. 【分析】构造函数令 f(x)= 最小值即可. 【解答】解:令 f(x)= ∴f'(x)=(1﹣), 当 x∈[,1)时,f'(x)<0,f(x)递减; 当 x∈[1,2]时,f'(x)>0,f(x)递增; ∴f(x)≥f(1)=0; ∴a≤0. 故选 A. +lnx, +lnx,利用导函数判断函数的单调性,利用单调性求出其

【点评】考查了恒成立问题,需转换为最值,用到导函数求函数的极值,应熟练掌握.

12 设函数 f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0, 则 a 的取值范围是( A.[ ) ) B.[ ) C .[ ) D.[ )

【考点】利用导数研究函数的极值;函数的零点. 【专题】创新题型;导数的综合应用. 【分析】设 g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在 直线 y=ax﹣a 的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1) =﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解关于 a 的不等式组可得. 【解答】解:设 g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a, 由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=ax﹣a 的下方, ∵g′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1), ∴当 x<﹣时,g′(x)<0,当 x>﹣时,g′(x)>0, ∴当 x=﹣时,g(x)取最小值﹣2 ,

当 x=0 时,g(0)=﹣1,当 x=1 时,g(1)=e>0, 直线 y=ax﹣a 恒过定点(1,0)且斜率为 a, 故﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解得 故选:D ≤a<1

【点评】本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上.) 13.已知 tanα=2,则 sin2α﹣2sin2α= ﹣ . 【考点】三角函数的化简求值. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】由条件利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数的基本关系把要求的式子化为 ,即可计算求得结果. 【解答】解:∵tanα=2, ∴sin2α﹣2sin2α= 故答案为:﹣. 【点评】 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式及同角三角函数的基本关系的应用, 属于基 础题. = =﹣.

14.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2xf′(2),则 f′(4)= 0 .

【考点】导数的运算. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】对已知等式两边求导,令 x=2 求出 f'(2),得到 f'(x),代入 x=4 计算即可.

【解答】解:由已知 f(x)=3x2+2xf′(2),两边求导得 f'(x)=6x+2f′(2),令 x=2,得 f'(2)=6×2+2f′(2),到 f'(2)=﹣12,所以 f'(x)=6x﹣24,所以 f'(4)=0;

故答案为:0. 【点评】本题考查了导数的运算;关键是求出 f'(2)的值,从而知道导数解析式.

15.在△ ABC 中,如果 cos(B+A)+2sinAsinB=1,那么△ ABC 的形状是 等腰三角形 .

【考点】三角形的形状判断. 【专题】解三角形. 【分析】 把已知等式利用两角差的余弦函数公式化简后与左边合并, 然后再利用两角和的余 弦函数公式得到 cos(A﹣B)=1,根据余弦函数的图象及三角形角的范围得到 A=B,即可 得解. 【解答】解:依题意,2sinAsinB=1﹣cos(B+A)=1﹣cosBcosA+sinAsinB, 化简得 sinAsinB=1﹣cosAcosB,即 cosAcosB+sinAsinB=1, 则 cos(A﹣B)=1, 由﹣π<A﹣B<π,所以 A﹣B=0,即:A=B, 所以△ ABC 的形状是等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式化简求值,是一道综合题.做题 时应注意角度的范围.

16. f x) =2sinω( x 其中常数 ω>0) 已知函数( , 若存在 使得 f(x1)=f(x2),则 ω 的取值范围为 【考点】正弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. .





【分析】由函数的奇偶性的定义判断出函数 f(x)是奇函数,再由题意和函数的周期公式 列出不等式,求出 ω 的取值范围. 【解答】解:由题意知,函数 f(x)=2sinωx 是奇函数, 因为存在 所以函数 f(x)的周期 T= 则 ω 的取值范围为 故答案为: . , , ,解得 ,使得 f(x1)=f(x2), ,

【点评】本题考查正弦函数的周期性,以及函数的奇偶性的定义,属于中档题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<

)的部分图象如图所示.

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递增区间.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】(Ⅰ)由图象可求周期 T,利用周期公式可求 ω,由点( 可得 Asin(2× +φ)=0,又结合 0<φ< ,从而 ,0)在函数图象上,

+φ=π,解得 φ,又点(0,1)在函

数图象上,可得 Asin (Ⅱ)由﹣

=1,解得 A,即可求得函数 f(x)的解析式. ≤ +2kπ(k∈Z)即可解得 f(x)的单调递增区间.

+2kπ≤2x+

【解答】解:(Ⅰ)由题设图象知,周期 T=2(

)=π,∴



因为点(

,0)在函数图象上,所以 Asin(2×

+φ)=0,即 sin(

+φ)=0.

又∵0<φ<

,∴



+φ<

,从而

+φ=π,即 φ=



又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin

=1,A=2,

故函数 f(x)的解析式为:f(x)=2sin(2x+ (Ⅱ)由﹣ 解得:k +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z), ,(k∈Z), ,k

),…(5 分)

所以 f(x)的单调递增区间是:[k

](k∈Z).…(10 分)

【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的 图象和性质,属于基本知识的考查.

18.已知函数 f(x)=x

(m∈Z)是偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上单调递增.

(1)求 m 的值,并确定 f(x)的解析式; (2)g(x)=log2[3﹣2x﹣f(x)],求 g(x)的定义域和值域. 【考点】幂函数图象及其与指数的关系;幂函数的概念、解析式、定义域、值域.

【专题】函数的性质及应用. f x) +∞) 【分析】 (1) ( 在 (0, 单调递增, 由幂函数的性质得﹣2m2+m+3>0, 解得 可得 m=0 或 m=1.分别讨论即可得出. (2)由(1)知 ,由﹣x2﹣2x+3>0 得﹣3<x<1,可得 g ,

(x)的定义域为(﹣3,1).设 t=﹣x2﹣2x+3,x∈(﹣3,1),则 t∈(0,4],再利用二 次函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:(1)∵f(x)在(0,+∞)单调递增, 由幂函数的性质得﹣2m2+m+3>0, 解得 ,

∵m∈Z,∴m=0 或 m=1. 当 m=0 时,f(x)=x3 不是偶函数,舍去; 当 m=1 时,f(x)=x2 是偶函数, ∴m=1,f(x)=x2;

(2)由(1)知

,由﹣x2﹣2x+3>0 得﹣3<x<1,

∴g(x)的定义域为(﹣3,1). 设 t=﹣x2﹣2x+3,x∈(﹣3,1),则 t∈(0,4], 此时 g(x)的值域,就是函数 y=log2t,t∈(0,4]的值域. y=log2t 在区间(0,4]上是增函数,∴y∈(﹣∞,2]; ∴函数 g(x)的值域为(﹣∞,2]. 【点评】 本题考查了幂函数的性质、 对数函数与二次函数的单调性、 一元二次不等式的解法, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,已知 acos2+ccos2=b.

(Ⅰ)求 a+c﹣2b 的值; (Ⅱ)若 B= ,S=4 ,求 b.

【考点】余弦定理的应用. 【专题】解三角形. 【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理以及二倍角公式化简,推出结果即可.

(2)利用三角形的面积以及余弦定理,即可求出 b 的值. 【解答】解:(Ⅰ)由正弦定理得 即 所以 sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB, 即 sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB, 因为 sin(A+C)=sinB,所以 sinA+sinC=2sinB 由正弦定理得 a+c﹣2b=0;…(6 分) (Ⅱ)因为 ,所以 ac=16,

又由余弦定理有 b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac. 由(Ⅰ)得 a+c=2b,所以 b2=4b2﹣48,得 b=4.…(12 分)

【点评】 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用, 考查三角函数的化简求值, 考查计算能力.

20.如图,已知四棱锥 S﹣ABCD,底面 ABCD 为菱形,SA⊥平面 ABCD,∠ADC=60°,E, F 分别是 SC,BC 的中点. (Ⅰ)证明:SD⊥AF; (Ⅱ)若 AB=2,SA=4,求二面角 F﹣AE﹣C 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 【专题】计算题;数形结合;转化思想;运动思想;空间位置关系与距离;空间角.

【分析】(Ⅰ)证明 AF⊥BC.SA⊥AF.推出 AF⊥平面 PAD.然后利用直线与平面垂直 的性质定理证明 AF⊥SD. (Ⅱ)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面 AEF 的一法向量,平面 AEC 的一法向量,通过斜率的数量积求解二面角的余弦值即可.

【解答】(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ADC=60°,可得△ ABC 为正三角形.

因为 F 为 BC 的中点,所以 AF⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD.…(2 分) 因为 SA⊥平面 ACDB,AE?平面 ABCD,所以 SA⊥AF. 而 SA?平面 SAD,AD?平面 SAD 且 SA∩AD=A, 所以 AF⊥平面 PAD.又 SD?平面 SAD,…(5 分) 所以 AF⊥SD. …(6 分)

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AF,AD,AS 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直 角坐标系,又 E,F 分别为 SC,BC 的中点,所以 , , 所以 设平面 AEF 的一法向量为 . ,



因此

取 Z1=﹣1,则

,…(9 分)

因为 BD⊥AC,BD⊥SA,SA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 AEC, 故 为平面 AEC 的一法向量,且 ,…(10 分)

所以

,…(11 分)

由于二面角 E﹣AF﹣C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

.…(12 分)

【点评】 本题考查二面角的平面角的求法, 直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用, 考查空间想象能力以及计算能力,转化思想的应用.

21.已知 f(x)=ax+sinx(a∈R). (1)当 a=时,求 f(x)在[0,π]上的最值;

(2)若函数 g(x)=f(x)+f′(x)在区间[﹣



]上不单调,求实数 a 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】(1)求导,利用导函数判断函数单调性,利用单调性求函数最值; (2)求出函数 g(x),得出 g'(x)=a+cosx﹣sinx,在区间[﹣ 不恒大于零也不恒小于零,得出 a 的取值范围. 【解答】解:(1)f(x)=x+sinx ∴f'(x)=+cosx 当 x∈(0, 当 x∈( )时,f'(x)>0,f(x)递增 ,π)时,f'(x)<0,f(x)递减 )= + , ]上不单调可知 g'(x)

∴f(x)的最大值为 f( f(0)=0,f(π)=

∴f(x)的最小值为 f(0)=0; (2)g(x)=ax+sinx+cosx+a g'(x)=a+cosx﹣sinx =a+ sin( , sin( ﹣x) ] ﹣x)≤ , ]上单调

∵x∈[﹣ ∴﹣1≤

∵假设在区间[﹣

∴g'(x)恒大于零或恒小于零 ∴a≥﹣1 或 a≤﹣ ∴在区间[﹣ , ]上不单调的范围为﹣ <a<﹣1

【点评】考察了导函数的利用和三角函数的基本运算.

22.已知函数 f(x)=alnx﹣x+1(a∈R).

(1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,求所有实数 a 的值; (3)证明: 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数思想;导数的综合应用. 【分析】(1)求导,利用导数得出函数单调性; (2)对 a 进行分类:当 a≤0 时,f(x)递减,又知 f(1)=0 可得 f(x)>0 (x∈(0,1); (n∈N,n>1)

当 a>0 时,只需求 f(x)max=f(a)=alna﹣a+1,让最大值小于等于零即可; (3)利用(2)的结论,对式子变形可得 = < = .

【解答】解:(1)f'(x)= 当 a≤0 时,f'(x)<0,f(x)递减; 当 a>0 时,x∈(0,a)时,f'(x)>0,f(x)递增; x∈(a+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减; (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)递减, ∵f(1)=0 ∴f(x)≤0 在(0,+∞)上不恒成立, 当 a>0 时,x∈(0,a)时,f'(x)>0,f(x)递增; x∈(a+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减; ∴f(x)max=f(a)=alna﹣a+1 令 g(a)=alna﹣a+1 ∴g'(a)=lna ∴g(a)的最小值为 g(1)=0 ∴alna﹣a+1≤0 的解为 a=1; (3)由(2)知:lnx<x﹣1 x>1 ∵ = < =



+

+…+

<++…+

=



【点评】考察了导函数求单调性和最值问题,利用结论证明不等式问题.难点是对式子的变 形整理.


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