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平面向量基本定理导学案

时间:2013-12-11


鹰城一中数学导学案
主备人 课题
学习目标

崔素红

审批人 课型

2013 年 12 月 10 日 探究课

平面向量的基本定理
1. 掌握平面向量基本定理并会应用 2. 掌握向量的夹角

导学过程
一、自主学习(一)知识链接: ? ?

? ? ? ? 复习 1:向量 b 、 a a ? 0 是共线的两个向量,则 a 、 b 之间的关系可以

复备与解读

?

?

表示为

.

复习 2:给定平面内任意两个向量 e1 、 e2 ,请同学们作出向量 3e1 ? 2e2 、 练习 1 1. 设 O 是 平 行 四 边 ?? ?? ? e1 ? 2e2 . 形 ABCD 两 对 角 线 AC 与 BD 的交点, 下 (二)自主探究: (预习教材 P93—P96) 列向量组,其中可作 探究:平面向量基本定理 问题 1: 复习 2 中,平面内的任一向量是否都可以用形如 为这个平行四边形所 ?? ?? ? 在平面表示所有向量 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢? 的基底是( ) ? ? ???? ??? ? ??? ? 1.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内两个 的向 ① AD 与 AB ② DA 与 ? ? ??? ? ???? 量 , a 是 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 , 那 么 有 且 只 有 一 对 实 数 ?1 , ?2, ??? BC ③ CA 与 DC ④ ? ? ???? ??? ? 使 。 其中, 不共线的这两个向量 e1 , e2 叫做表示这一平面 OD 与 OB 内所有向量的基底。 A.①② B.③④ 思考 1:同一平面有多少对基底? C.①③ D.①④ ? ? ? 思考 2: 基底确定后, 平面内任一向量 a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 ,?1 ,? 2 是否唯一? 问题 2:向量夹角 2. 两 向 量 的 夹 角 与 垂 直 : : 我 们 规 定 : 已 知 两 个 非 零 向 量 a, b , 作

??

?? ?

??

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? ? ? ? 叫做向量 a 与 b 的夹角。 如果 ?AOB ? ? , OA ? a, OB ? b ,则 则 ? 的取值范围是 ______。 ? ? ? ? 当 时,表示 a 与 b 同向;当 时,表示 a 与 b 反向; ? ? 当 __时,表示 a 与 b 垂直。记作:________. ??? ??? ??? ? ? ? 思考 3:在下列两图中,向量 OA, OB, OC 不共线,能否在直线 OA、OB 上 ???? ???? ??? ? ? 分别找一点 M、N,使 OM ? ON ? OC ?
B C
B C

O

A

A

O

二.合作探究 例 1.如图所示,平行四边形

ABCD的两条对角线相交于点

M, 练习 2
2. 在 ? ABCD 中, 设

且AB ? a , ? b,用a、 AD b表示 MA MB、 、 ? 、 MC MD

??? ? ??? ? ? ? AC ? a, BD ? b ,则 ??? ? AB ? ____________, ???? AD ? ____________ ? ? (用 a, b 表示)

变式1:在平行四边形 ABCD中, M , N分别是 DC, BC的中点 已知 AM ? c, AN ? d,试用 c, d表示 AB, AD.

当堂检测 1.

? ? ?? ? ? ? ?? ? ?3x ? 4 y ? e1 ? ? 2x ? 3y ? e2 ? 6e1 ? 3e2 ,则 x ? y 的值等于(

已 知 向 量 e1

??

、 e2

?? ?

不 共 线 , 实 数 x 、 )

y 满 足
D. 2 )

A. 3 B. ?3 C. 0 2. 若 O 、 A 、 B 为平面上三点, C 为线段 AB 的中点,则( ???? ??? ??? ? ? ???? 1 ??? ??? ? ? A. OC ? OA ? OB B. OC ? OA ? OB

??? ? ???? C. AB ? 2OC

2 ???? 1 ??? ??? ? ? D. OC ? OA ? OB 2

? ?

? ?

3、 已知AM是△ABC的BC边上的中线, AB = a , AC = b , AM 若 则 =( A. )

?

?

? ? 1 ? 1 ? (a - b ) B.- ( a - b ) 2 2 ? ? 1 1 ? ? C.- ( a + b ) D. ( a + b ) 2 2 ? ? ? ? 4.已知 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,且 AB =2 e1 +k e2 ,CB = ? ? ? ? e1 +3 e2 , CD =2 e1 - e2 ,如果A,B,D三点共线,则k的值为
???? ??? ? ?? ???? ?? ? 5、在矩形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O ,若 BC ? 5e1 , DC ? 3e2 ,则 OC
等于多少?


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