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8.3空间点、直线、平面之间的位置关系


滨城区第一中学

高三数学

人教 A 版

导学案编号 NO:

编写人:张友贺

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__________

/>课题:8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
【学习目标】 1.理解空间直线、平面位置关系的定义; 2.了解四个公理和等角定理,并能以此作为推理的依据. 【使用说明及学法指导】 1、 先复习必修二的有关内容,再认真填写预习案中知识梳理,然后完成预习自测; 2、 课前尽最大可能完成探究案,提高课堂效率; 3、 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论;

(4)异面直线所成的角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做________,已知异面直线 a,b, 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′所成的______ ____叫做异面直线 a

? π? 与 b 所成的角(或夹角),两条异面直线所成的角 θ ∈?0, ?,计算中,通常把两条异面直线所 2 ? ?
成的角转化为两条相交直线所成的角. 3.直线和平面的位置关系 位置关系 公共点 图形 表示 符号表示 4.两个平面的位置关系 位置关系 两平面 平行 斜 交 ______ 图示 ________ 表示法 ______ ______ 公共点个数 没有公共点 直线 a 在平面 α 内 ______公共点 直线 a 与平面 α 相 交 ____公共点 行 ____公共点 直线 a 与平面 α 平


【知识梳理】 1.平面的基本性质





(1)公理 1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为:A∈l,B∈l,A∈α ,B∈α ? l__α . 作用:可用来证明点、直线在平面内. (2)公理 2:过____________上的三点,有且只有一个平面. 符号表示为:A,B,C 三点不共线 ? 有且只有一个平面 α ,使 A∈α ,B∈α ,C∈α . 作用:①可用来确定一个平面,为空间图形平面化作准备;②证明点线共面. (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们_____ _______过该点的公共直线. 符号表示为:P∈α ,P∈β ? α ∩β =l,且 P∈l. 作用:①可用来确定两个平面的交线;②判断三点共线、三线共点. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 :同一平面内,有且只有 ? ?共面直线? 一个公共点 ? ? ? :同一平面内,没有公共点 ? ?异面直线:不同在 一个平面内,没有公共点 (2)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为:设 a,b,c 是三条直线,a∥ b,c∥b,则____. 公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间中这个性质都适用. 作用:判断空间两条直线平行的依据. (3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角__________.

______

两 平面 相交

有____个公共点在 一条直线上

垂 直

______

有____个公共点在 一条直线上

【预习自测】 1.如果 a ? α ,b A.l ? α C.l∩α =A

? α ,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立的是(
B.l ? α D.l∩α =B ).

).

2.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3 ? l1∥l3 C.l1∥l2∥l3 ? l1,l2,l3 共面

B.l1⊥l2,l2∥l3 ? l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点 ? l1,l2,l3 共面

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3.(2010 山东文 4)在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 C.垂直于同一平面的两个平面平行

【质疑探究二】异面直线所成的角 例 2 (2009·全国Ⅰ)已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射 影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( ) 3 5 7 3 A. B. C. D. 4 4 4 4

B.平行于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

4.设 a,b,c 为空间中三条不同的直线,下面四个命题: ①若 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面; ②若 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交; ③若 a∥b,则 a,b 与 c 所成的角相等; 其中真命题的序号是__________. 5.(2010·全国Ⅰ)直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【我的疑惑】 ___________________________________________________________________________________ ④若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c.

【拓展提升 2】(2012 大纲全国高考)已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中 点, 那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为__________.







【质疑探究一】平面的基本性质 例 1 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB= CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于 H,连接 EH. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点.

【拓展提升 3】 (2011·淮南月考)在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,BC= 3,且 AD⊥BC,对 13 3 角线 BD= ,AC= ,求 AC 和 BD 所成的角. 2 2

【拓展提升 1】如图,E、F、G、H 分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA 上的点,且 EH 与 FG 相交 于点 O. 求证:B、D、O 三点共线.

规律方法总结:求异面直线所成角一般用平移法: ①一作:即找或作平行线,作出异面直线所成的角. ②二证:即证明作出的角是异面直线所成的角. ③三求:解三角形,求出所 作的角,注意异面直线所成的角为锐角或直角.

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滨城区第一中学 【当堂检测】

高三数学

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5.(2011·温州月考)如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.

1.(2009·全国Ⅱ)已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( )

A.

10 10

B.

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

2.(2009·四川)如图所示,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧棱 CC1 的中点, 则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是________.

3.如图所示,正四面体 P—ABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为________.

【我的收获】_____________________________________________________________________ 4.设 a,b,c 是空间中的三条直线,下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a ? 平面 α ,b ? 平面 β ,则 a,b 一定是异面直线; ③若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的是__________(只填序号). ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

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8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

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8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

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8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:8.3《空间点、直线、平面之间的位置关系》

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8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

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8.3 - 空间点、直线、平面之间的位置关系

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8.3空间点、直线、平面之间的位置关系(理_作业)

限时作业 38 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题 1.如图,α∩β =l,A,B∈α ,C∈β ,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平面记作 ...