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【金识源】高中数学 2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质习题 新人教A版必修2


2.3.3-2.3.4 第 2 课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质
一、选择题 1.已知 l,m,n 为两两垂直的三条异面直线,过 l 作平面 α 与直线 m 垂直,则直线 n 与平面 α 的关系是( A.n∥α C.n? α 或 n 与 α 不平行 ) B.n∥α 或 n? α D.n? α

解析:选 A ∵l? α 且 l 与 n 异面,∴

n?α . 又∵m⊥α ,n⊥m,∴n∥α . 2.如图所示,在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个 结论不成立的是( )

A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 解析:选 C 由题意知 BC∥DF, ∴BC∥平面 PDF. ∵P-ABC 为正四面体, ∴BC⊥PA,AE⊥PC. ∴BC⊥平面 PAE,DF⊥平面 PAE. ∵DF? 平面 ABC, ∴平面 PAE⊥平面 ABC. 3.已知直线 m,n,平面 α ,β ,给出下列命题: ①若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ⊥β ;②若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β ;③若 m⊥α ,m∥β , 则 α ⊥β ;④若异面直线 m,n 互相垂直,则存在过 m 的平面与 n 垂直.其中正确的命题是 ( ) A.②③ C.②④ B.①③ D.③④

解析:选 D 对于①,垂直于同一条直线的两个平面互相平行,不可能垂直,所以①不 正确;对于②,平行于同一条直线的两个平面相交或平行,所以②不正确;③④正确,故选

D. 4.如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC,动点 P∈l, 当点 P 逐渐远离点 A 时,∠PCB 的大小( )

A.变大 C.不变

B.变小 D.有时变大有时变小

解析:选 C 由于 BC⊥CA,l⊥平面 ABC, ∴BC⊥l,故 BC⊥平面 ACP, ∴BC⊥CP,∴∠PCB=90°,故选 C. 5.如图所示,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则 下列结论正确的是( )

A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 解析:选 D ∵PA⊥平面 ABC, ∴∠ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角. ∵六边形 ABCDEF 是正六边形, ∴AD=2AB,即 tan∠ADP=

PA 2AB = =1, AD 2AB

∴直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°,选 D. 二、填空题 6.α ,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线,给出四个 论断:①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ; ④m⊥α .以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命 题:________. 解析:利用面面垂直的判定,可知①③④? ②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④ ? ①为真.∴应填“若①③④则②”,或“若②③④则①”.

答案:若①③④则②(或若②③④则①) 7. 如图所示, 沿直角三角形 ABC 的中位线 DE 将平面 ADE 折起, 使得平面 ADE⊥平面 BCDE, 得到四棱锥 A-BCDE.则平面 ABC 与平面 ACD 的关系是________.

解析: ∵AD⊥DE, 平面 ADE⊥平面 BCDE, 且平面 ADE∩平面 BCDE=DE, ∴AD⊥平面 BCDE. 又 BC? 平面 BCDE, ∴AD⊥BC.又 BC⊥CD,CD∩AD=D, ∴BC⊥平面 ACD,又 BC? 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 ACD. 答案:平面 ABC⊥平面 ACD 8.如图所示,平面 ABC⊥平面 ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD 是正三角形,则二 面角 C-BD-A 的平面角的正切值为________.

解析:过 C 点作 CO⊥AB,垂足为 O,作 OH⊥BD,

垂足为 H,连接 CH. ∵平面 ABC⊥平面 ABD,交线为 AB. ∴CO⊥平面 ABD,∴CO⊥BD. 又∵OH⊥BD,OH∩CO=O, ∴BD⊥平面 COH,∴BD⊥CH. ∴∠CHO 为二面角 C-BD-A 的平面角. 设 CA=CB=a,则 AB=BD=AD= 2a,CO= 1 3 6 ∴OH= × × 2a= a. 2 2 4 2 a. 2

a CO 2 2 3 ∴tan∠CHO= = = . OH 3 6 a
4

2

2 3 答案: 3 三、解答题 9.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.

(1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解:(1)证明:在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD +BD =AB ,∴AD⊥BD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
2 2 2

BD? 平面 ABCD,
∴BD⊥平面 PAD.又 BD? 平面 MBD, ∴平面 MBD⊥平面 PAD.

(2)过 P 作 PO⊥AD,垂足为 O. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 上的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,

AB∥DC,AB=2DC,
∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = ,即梯形的高为 . 5 5 4 5

2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP-ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 10.如图, ? AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为 ? AC 的中点,点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC⊥平面 BED,FB= 5a.

(1)证明:EB⊥FD; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 解:(1)证明:∵FC⊥平面 BED,BE? 平面 BED,∴EB⊥FC. 又点 E 为 ? AC 的中点,B 为直径 AC 的中点,∴EB⊥BC. 又∵FC∩BC=C,∴EB⊥平面 FBD. ∵FD? 平面 FBD,∴EB⊥FD. (2)如图,在平面 BEC 内过 C 作 CH⊥ED,连接 FH.则由 FC⊥平面

BED 知,ED⊥平面 FCH.
∵Rt△DHC∽Rt△DBE, ∴

DC CH = . DE BE

在 Rt△DBE 中,

DE= BE2+BD2= BE2+?2BC?2= 5a,
∴CH=

DC·BE a·a 5 = = a. DE 5a 5

∵FB= 5a,BC=a,∴FC=2a. 在平面 FCH 内过 C 作 CK⊥FH,则 CK⊥平面 FED.

a 21 2 2 2 2 2 ∵FH =FC +CH =4a + = a , 5 5
∴FH= 105 a. 5 2a· 5 a 5 2 21 = a. 21 105 a 5

2

FC·CH ∴CK= = FH

∵C 是 BD 的中点, 4 21 ∴B 到平面 FED 的距离为 2CK= a. 21


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