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四川省资阳市2014届高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题

时间:2014-01-06


四川省资阳市高中 2011 级第一次诊断性考试

数 学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。考生 作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120 分钟,考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

/>注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 。 1.已知集合 A={4,5,6,8},B={ 3,5,7,8},则 A∩B= (A){3,5} (C){5,8} 2.已知向量 a=(3, 4),b=(1, 3),则 a-2b= (A)(1, 3) (C)(2, 1) (B)(1, -2) (D)(2, -2) (B){6,8} (D){3,4,5,6,7,8}

3.已知 i 是虚数单位,a,b∈R,且 (a ? i)i ? b ? 2i ,则 a+b= (A)1 4. 函数 f ( x) ? (B)-1
x 的定义域为 lg( x ? 1)

(C)-2

( D)-3

(A) (1, ? (2, ?) 2) ? (C) (2, ?) ? 5. 命题 p : ? n ?Z , n ?Q ,则 (A) ?p : ? n ?Z , n ?Q (C) ?p : ? n0 ? Z , n0 ?Q

(B) (0, ? (1, ?) 1) ? (D) (1, ?) ?

(B) ?p : ? n ?Z , n ?Q (D) ?p : ? n0 ? Z , n0 ?Q

6. ?ABC 中,若 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin B sin C ? 0 ,则 A ? (A)
2? 3

(B)

5? 6

(C)

? 3

(D)

? 6

7. 若把函数 y ? sin ? x ( ? ? 0 )的图象向左平移 则 ? 的值可能是 (A) (C)
1 3
3 2

? 个单位后与函数 y ? cos?x 的图象重合, 3

(B) (D)

1 2 2 3

8. 函数 y ? x ln | x | 的图象大致是

(A)

(B)

(C)

(D)

9.已知函数 f ( x) ? e x ? me? x ,若 f ?( x) ? 2 3 恒成立,则实数m的取值范围是 (A) [0, ? ?) (C) [3, ? ?) (B) [2, ? ?) (D) (??, 3]

10.如图,在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中,动圆 Q 的半径为 1, 圆心在线段 CD(含端点)上运动,P 是圆 Q 上及内部的动点,设向量 ??? ? ??? ? ??? ? ,则 m ? n 的取值范围是 AP ? mAB ? nAF (m,n 为实数) (A) (1, 2] (C) [2, 5] (B) [5, 6] (D) [3, 5]

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。 作图时可先用铅笔 绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.在平面直角坐标系中,角α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,若角α 终 边经过点 P(2, 4) ,则 tan( ? ? ) ? ___________. 4 1 1 12.若 2a ? 10 , b ? log5 10 ,则 ? ? ______. a b 13.已知向量 a,b 的夹角为 45? , | a |?| b |? 2 , 且向量 a 与 ? b ? a 垂直,则实数 ? ? ________. 14.已知 x ? R ,根据右图所示的程序框图,则
1 不等式 f ( x)≥ ? x ? 2 的解集是____________. 2

?

15.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点.如果函数 f ( x) 的图象恰 好通过 k ( k ? N* )个整点,则称 f ( x) 为 k 阶整点函数.给出下列函数:
1 1 ① f ( x) ? cos x ;② f ( x) ? ? ( x ? 1)2 ;③ f ( x) ? ( ) x ? 2 ;④ f ( x) ? log0.6 ( x ? 1) ;⑤ f ( x) ? . 3 x ?1

其中是 1 阶整点函数的序号有______________.(写出所有满足条件的函数的序号) 三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列. (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)令 bn ? log2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .
[来源:学科网 ZXXK]

17.(本小题满分 12 分)设向量 m ? (cos ? ,1) ,n ? (sin ? ,2) ,且 m ∥ n ,其中 ? ? (0, (Ⅰ)求 sin ? ;
3 ? (Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ? , ? ? (0, ) ,求 cos ? . 5 2

?
2

).

18.(本小题满分 12 分)设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式,并解不等式 f ( x)≥x ; (Ⅱ)设 g ( x) ? 2x ?1 ? m ,若对任意 x1 ?[?1 4] ,总存在 x2 ? [2, ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 , 5] 实数 m 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos x ? sin xcos x ? 3sin 2 x ( x ? R ). 3 (Ⅰ)求 f ( x) 在 [0, ? ] 内的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中, B 为锐角,且 f ( B) ? 3 , AC ? 4 3 , D 是 BC 边上一点, AB ? AD , 试求 AD ? DC 的最大值.

?

20.(本小题满分 13 分)如图,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个 更大的矩形花坛 AMPN ,要求点 B 在 AM 上,点 D 在 AN 上,点
C 在 MN 上, AB ? 3 米, AD ? 2 米.

(Ⅰ)要使扩建成的花坛面积大于 27 米2 ,则 AN 的长度应在 什么范围内? (Ⅱ)当 AN 的长度是多少米时,扩建成的花坛面积最小?并求出最小面积.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ( a ?R ). (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, ,B( x2 , ,且 0 ? x1 ? x2 , 0) 0) 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

资阳市高中 2011 级第一次诊断性考试数学参考答案及评分标准(理工类)

一、选择题:CBDAD,ACBCC.二、填空题:11. ?3 ;12.1;13. 2 ;14. [0, ;15.①②④. 4] 16.【解】 (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,由 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,得 4a1 ? a3 ? 4a2 . 又 a1 ? 1 ,则 4 ? q 2 ? 4q ,解得 q ? 2 . ∴ an ? 2n ?1 ( n ? N* ). ·············· 分 ··········· ··· ·········· ··· 6 (Ⅱ) bn ? log 2 2n ?1 ? n ? 1 ,∴ bn?1 ? bn ? 1 , {bn } 是首项为 0,公差为 1 的等差数列, n(n ? 1) 它的前 n 项和 Sn ? . ··········· ··········· ·········· · 分 ··········· ·········· ··········· · ································ 12 2 17.【解】 (Ⅰ)∵ m // n ,∴ 2cos? ? sin ? ,······················· 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 2 1 2 4 又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,∴ sin 2 ? ? sin ? ? 1 ,∴ sin 2 ? ? , ·············· 4 分 ··········· ··· ·········· ···· 4 5 2 5 ? ∵ ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? 0 ,故 sin ? ? . ··········· ··········· ·· 分 ··········· ·········· ·· 6 ·········· ··········· ·· 5 2 (Ⅱ)∵ ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,∴ ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 5 5 3 4 ∵ sin(? ? ? ) ? ,∴ cos(? ? ? ) ? ; sin ? ? , cos ? ? . ··········· 9 分 ··········· ·········· · 5 5 5 5 ··········· ····· ··············· 11 cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ················ 分
5 4 2 5 3 2 5 . ··········· ··········· ········ 分 ··········· ·········· ········· ····························· 12 ? ? ? ? 5 5 5 5 5 18.【解】 (Ⅰ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;·························· 1 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· ?

?

?

?

?

当 x ? 0 时,有 ? x ? 0 ,由 f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x)2 ? 4(? x)] ? x 2 ? 4 x . ·········· 分 ········· 3 ·········
?? x 2 ? 4 x,x ? 0, ? ∴ f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? 2 ··········· ··········· ·· 分 ··········· ·········· ·· 4 ·········· ··········· ·· ? x ? 4 x, x ? 0. ?

当 x ? 0 时, f ( x) ? x 为 ? x2 ? 4 x ? x ,解得 0 ? x ? 3 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? x 为 x2 ? 4x ? x ,解 得 x ? ?3 .故不等式 f ( x) ? x 的解集是 {x | x ? ?3 或 0 ? x ? 3} . ··············· 分 ··········· ···· ·········· ···· 6 (Ⅱ)当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 x ? ( x ? 2)2 ? 4 ,知 f ( x) ?[?3, ;当 0 ? x ? 4 时, 0)
f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? ?( x ? 2)2 ? 4 ,知 f ( x) ?[0, , ∴当 x1 ?[?1, 时, f ( x1 ) ?[?3, . · 分 8 4] 4] · 4]

∵ g ( x) ? 2x ?1 ? m 是 R 上的增函数,∴当 x2 ? [2, 时, g ( x2 ) ?[2 ? m, ? m] , ···· 分 ···· ··· 9 5] 16 ∵对任意 x1 ?[?1, ,总存在 x2 ? [2, 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,∴ [?3, ? [2 ? m, ? m] , ·· 分 · 10 · 4] 5] 4] 16
?2 ? m ? ?3, 则? 解得 ?12 ? m ? ?5 ,故实数 m 的取值范围是 [?12, 5] . ·········· 分 ·········· ········· 12 ? ?16 ? m ? 4,

1 3 19.【解】 (Ⅰ) f ( x) ? 2( sin x ? cos x)cos x ? sin x cos x ? 3 sin 2 x 2 2
? 2sin x cos x ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . ··········· 分 ··········· ·········· 2 3 ? ? ? ? 5? 由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ,得 ? ? k? ? x ? ········· ········ 3 ? k? ( k ? Z ). ········· 分 2 3 2 12 12 ? 5? 5? 取 k ? 0 ,得 ? ? x ? ,又 x ?[0, ? ] ,则 x ?[0, ] ; ················ 分 ··········· ···· 4 ·········· ····· 12 12 12 11? 17? 11? 取 k ? 1 ,得 ,又 x ?[0, ? ] ,则 x ? [ ··········· ···· 5 ·········· ····· ?x? , ? ] . ··········· ····· 分 12 12 12
源:Z&xx&k.Com]

?

[ 来

5? 11? ··········· ····· ·········· ······ ] ,[ , ? ] . ··········· ····· 6 分 12 12 ? 3 ? ? ? 2? (Ⅱ)由 f ( B) ? 3 得 sin(2 B ? ) ? .又 0 ? B ? ,则 ? ? 2B ? ? ,从而 3 2 2 3 3 3

∴ f ( x) 在 [0,? ] 上的单调递增区间是 [0,

. ··········· ··········· ·········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 8 ·········· ··········· ··········· ·· 3 3 3 由 AB ? AD 知 ?ABD 是正三角形, AB ? AD ? BD ,∴ AD ? DC ? BD ? DC ? BC , 在 ?ABC 中,由 正弦定理,得

2B ?

?

?

?

,∴ B ?

?

4 3 sin

?
3

?

BC ,即 BC ? 8sin ?BAC . sin ?BAC

∵ D 是 BC 边上一点,∴ 当 ?BAC ?

?
3

? ?BAC ?

?
2

,C ?

?
6

3 2? ,∴ ? sin ?BAC ? 1 ,知 4 3 ? BC ? 8 . 2 3

[来源:学_科_网]

时, AD ? CD 取得最大值 8. ···················· 12 分 ··········· ········· ·········· ··········

【另】在 ?ACD 中,由正弦定理,得

AD DC 4 3 ,∴ AD ? 8sin C , ? ? ? sin C sin( ? C ) sin 2? 3 3 3 1 ? ? cos C ? sin C ) CD ? 8sin( ? C ) ,则 AD ? DC ? 8sin C ? 8sin( ? C ) ? 8(sin C ? 2 2 3 3 3 1 ? 2? ? ? ? 2? ,∴ 0 ? C ? , ? C ? ? , ? 8( cos C ? sin C ) ? 8sin(C ? ) .∵ ?ADC ? 2 2 3 3 3 3 3 3
[来源:学#科#网]

当C ?
源:学。科。网 Z。X。X。K]

?

3

?

?

2

,即 C ?

?

6

时, AD ? DC 取得最大值 8.···················12 分 ··········· ········ ·········· ········
DN DC , ? AN AM

[来

20.【解】 (Ⅰ)设 AN ? x (米) ,则 x ? 2 .∵ ?DCN ? ?AMN ,∴ 则

x?2 3 3x , AM ? . ··········· ··········· ·········· 分 ··········· ·········· ·········· 2 ·········· ··········· ·········· ? x AM x?2 3x 2 ∴花坛 AMPN 的面积 S ? AM ? AN ? ( x ? 2 ). ··················· 分 ··········· ········ ·········· ········ 4 x?2 3x 2 由 S ? 27 ,得 ? 27 ,则 x2 ? 9 x ? 18 ? 0 ,∴ 2 ? x ? 3 或 x ? 6 , x?2 故 AN 的长度范围是 2 ? AN ? 3 或 AN ? 6 (米).····················· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· 8 2 2 3x 3[( x ? 2) ? 4( x ? 2) ? 4] 4 (Ⅱ)由 S ? ········ ······· 12 ? ? 3[( x ? 2) ? ? 4] ? 24 , ········ 分 x?2 x?2 x?2 4 当且仅当 x ? 2 ? ,即 x ? 4 (米)时,等号成立. x?2 ∴当 AN 的长度是 4 米时,扩建成的花坛 AMPN 的面积最小,最小值为 24 米2 . ···· 13 分 ···· ···· DN DC 【另】 (Ⅰ)设 DN ? x (米)( x ? 0 ),则 AN ? x ? 2 . ∵ ?DCN ∽ ?AMN ,∴ , ? AN AM x 3 6 则 , AM ? 3 ? .································ 分 ··········· ·········· ·········· 2 ·········· ··········· ·········· ? x ? 2 AM x 6 12 ∴花坛 AMPN 的面积 S ? AM ? AN ? (3 ? )( x ? 2) ? 3x ? ? 12 ( x ? 0 ). ······· 4 分 ······· ······· x x

12 ? 12 ? 27 ,则 x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? x ? 1或 x ? 4 , x 故 AN 的长度范围是 2 ? AN ? 3 或 AN ? 6 (米).····················· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· 8

由 S ? 27 ,得 3x ?

(Ⅱ)由 S ? (3 ? 6 )( x ? 2) ? 3 x ? 12 ? 12 ? 2 3 x ? 12 ? 12 ? 24 , ················ 分 ··········· ····· ··············· 12
x x x

12 当且仅当 3x ? ,即 x ? 2 (米)时,等号成立. x ∴当 AN 的长度是 4 米时,扩建成的花坛 AMPN 的面积最小,最小值为 24 米2 . ···· 13 分 ···· ···· 2 21.【解】 (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? 2 x , f ?( x) ? ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) , , x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 . ·········· 分 ········· 2 ·········

(Ⅱ) g ( x) ? 2ln x ? x2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1. ························· 4 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e 1 ∴ g ( x) 在 [ ,e] 上的最小值是 g (e) . ···························· 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······ 6 e ? g (1) ? m ? 1 ? 0, 1 1 解得 1 ? m ? 2 ? 2 , g ( x) 在 [ ,e] 上有两个零点的条件是 ? 1 1 ? e e ? g ( ) ? m ? 2 ? 2 ? 0,
? e e

1 ∴实数 m 的取值范围是 (1,? 2 ] . ····························· 8 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 2 e (Ⅲ)∵ f ( x) 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A( x1,,B( x2, , 0) 0)
?2ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0, ? ∴方程 2ln x ? x2 ? ax ? 0 的两个根为 x1,x2 ,则 ? 两式相减得 2 ?2ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0, ? 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 .又 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax , f ?( x) ? ? 2 x ? a ,则 a ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 x
f ?( x1 ? x2 2(ln x1 ? ln x2 ) 4 4 . ··········· ······· 分 ················· 10 ·········· ······· )? ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2

x 2(ln x1 ? ln x2 ) 4 ,即证明 2( x2 ? x1 ) ? ln x1 ? 0 , t ? 1 , ? ? 0 (*) x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2(1 ? t ) ∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ 0 ? t ? 1 ,即证明 u (t ) ? ······ 12 ······ ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立. ······· 分 t ?1 ?2(t ? 1) ? 2(1 ? t ) 1 1 4 (t ? 1) 2 ∵ u ?(t ) ? ,又 0 ? t ? 1 ,∴ u ?(t ) ? 0 , ? ? ? ? 2 2 (t ? 1) t t (t ? 1) t (t ? 1)2 ∴ u(t ) 在 (0,1) 上是增函数,则 u(t ) ? u(1) ? 0 ,从而知 2( x2 ? x1 ) ? ln x1 ? 0 , x1 ? x2 x2 x1 ? x2 故(*)式<0,即 f ?( ··························· 14 ·········· ··········· ······ ) ? 0 成立.···························· 分 2

下证


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