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2016年高三数学一轮复习第二讲:简易逻辑


简易逻辑
一、四种命题 1、命题:能够判定真假的陈述句 【考点 1】命题的判定 【例 1】下列是命题的是( ) 【 A】 x ? 1 【B】 1 ? 1 ? 3 2、四种命题的构成 原命题:若 p 则 q 逆命题:_________ 否命题:_________ 逆否命题:_________ 四种命题的关系:____________ 【考点 2】四种命题间的关系 【C】明

天的天气是晴天 【D】若 x ? 1 ,那么 x ? 1 吗?
2

【例 2】 命题 “ 若a2 ? b2 ? 0(a、b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( 【A】 若a ? b ? 0 (a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

).

【B】 若a ? b ? 0 (a, b ? R) ,则 a2 ? b2 ? 0 【C】 若a ? 0且b ? 0 (a, b ? R) ,则 a2 ? b2 ? 0 【D】 若a ? 0或b ? 0 (a, b ? R) ,则 a2 ? b2 ? 0 【例 3】判断命题“ 若m ? 0, 则x2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题的真假。 【例 4】已知命题甲:关于 x 的不等式 x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0 的解集为 ? ;命题乙:函数 y ? (2a 2 ? a) x 是增函数。 当甲、乙两个命题中有且只有一个真命题时,求实数 a 的取值范围。 【例 5】已知命题 p :函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 有两个不相等的负零点;命题 q :函数 g ( x) ? 4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 无零点。若命题 p 和命题 q 只有一个是真命题,求实数 m 的取值范围。 二、四种条件 3、充分条件与必要条件 【考点 3】充分、必要条件 【例 6】 “ ? , ? , ? 成等差数列”是“等式 sin(? +? )=sin2? 成立 ”的 ( ). 【A】充分而不必要条件 【B】必要而不充分条件 【C】充要条件 【D】既不充分有不必要的条件 【例 7】 “ a ? 1 ”是“ 对任意的正数x, 2 x ? 【A】充分而不必要条件 【C】充要条件 【例 8】已知 p : ?2 ? 1 ?

a ? 1 ”的 x



).

x ?1 ? 2; q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 的必要但不充分条件,求实数 m 3

【B】必要而不充分条件 【D】既不充分有不必要的条件

的取值范围. 【例 9】已知 p : 2x2 ? 3x ? 2 ? 0; q : x2 ? 2(a ?1) x ? a(a ? 2) ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值 范围. 三、简单的逻辑联结词 “且” 、 “或” 、 “非”分别用符号“ ? ” “ ?” “ ? ”表示,意义为: 或:两个简单命题至少一个成立;且:两个简单命题都成立;非:对一个命题的否定. 【考点 4】复合命题的判定
2 【例 10】已知 p :方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负实数根; q :方程 4 x ? 4 ? m ? 2? x ? 1 ? 0 无实根;若

p 或 q 为真, p 且 q 为假,求 m 的取值范围.
【例 11】设有两个命题, p :不等式 x ? x ? 1 ? a 的解集为 R, q :函数 f ( x) ? ? ? 7 ? 3a ? 在 R 上是减函数,如果
x

这两个命题中有且只有一个真命题,则 a 的取值范围是 【例 12】设命题 p :函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 下列判断正确的是( )

.

? ? ;命题 q :函数 y ? cosx 的图像关于直线 x ? 对称,则 2 2

【A】 p 为真

【B】 q 为假

?

【C】 p ? q 为假

【D】 p ? q 为真

四、全称量词与存在量词 4、全称量词与全称命题:常用的全称量词有: “所有的” 、 “任意的” 、 “每一个” 、 “一切” 、 “任给”等,并用符号 “ ? ”表示.含有全称量词的命题叫全称命题. 5、存在量词与特称命题:常用的存在量词有: “存在一个” 、 “至少有一个” 、 “有些” 、 “有的” 、 “某个”等,并用 符号“ ? ”表示.含有存在量词的命题叫特称命题. 6、对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语: 正面词语 等于= 大于(>) 小于(<) 是 都是 任意的 否定词语

正面词语 否定词语

所有的

任意两个

至多有一个

至少有一个

至多有 n 个

【考点 5】全称命题、特称命题 【例 13】设 A, B 为两个集合,下列四个命题:

(1) A ? B ? ?x ? A, 有x ? B (3) A ? B ? B ? A
【A】 有一个? 使si n 90 ? ? ? sin ?
?

(2) A ? B ? A

B?? (4) A ? B ? ?x ? A使得x ? B
( ).

其中真命题的序号为 . 【例 14】下列命题中,既是真命题又是特称命题的是

?

?

【B】 存在实数x,使 sin x ?
?

?

2 【C】 对一切? ,sin ?180 ? ? ? ? sin ?
【D】 sin15 ? sin 60 cos 45 ? cos 60 sin 45 【考点 6】全称命题和特称命题的否定命题 【例 15】命题“存在实数 x ,使 x ? 1 ”的否定是( ) 【A】对任意实数 x ,都有 x ? 1 【B】不存在实数 x ,使 x ? 1 【C】对任意实数 x ,都有 x ? 1 【D】存在实数 x ,使 x ? 1 【例 16】命题“ ?x0 ? ?RQ , x0 ? Q ”的否定是( )
3
? ? ? ? ?

【A】 ?x0 ? ?RQ , x0 ? Q
3 3

【B】 ?x0 ? ?RQ , x0 ? Q 【C】 ?x ? ?RQ , x ? Q
3

【D】 ?x ? ?RQ , x ? Q
3

简易逻辑训练

1.对任意实数给出下列命题: (1) “ a ? b ”是“ ac ? bc ”的充要条件; (2) “ a ? 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件; (3) “ a ? b ”是“ a ? b ” 的充分条件; (4) “ a ? 5 ”是“ a ? 3 ”的必要条件
2 2

其中真命题的个数是( ). 【A 】 1 【B】 2 【A】充分不必要条件 【C】充要条件 3.设 a ? R 则 a ? 1是

【C】 3

【D】 4

2. “ x ? y ”是“ x ? y ”的 ( ) 【B】必要不充分条件 【D】 既不充分也不必要条件 的 ( )

1 ?1 a

【A】充分不必要条件 【B】必要不充分条件 【C】充要条件 【D】既不充分也不必要条件 4. “ x ? 5 ”的一个必要不充分条件是 ( ) 【A】 x ? 6 【B】 x ? 3 【C】 x ? 6 【D】 x ? 100 5.在 ?ABC中,“ A>30 ”是“ sin A ?
?

1 ”的 2

( )

【A】充分不必要条件 【B】必要不充分条件 【C】充要条件 【D】 既不充分也不必要条件 6. 设 M , N 是两个集合,则“ M N ? ? ”是“ M N ? ? ”的 ( ) 【A】充分不必要条件 【B】必要不充分条件 【C】充要条件 【D】 既不充分也不必要条件 7. 已 知 命 题 p : 所 有 有 理 数 都 是 实 数 , 命 题 q : 正 数 的 对 数 都 是 负 数 , 则 下 列 命 题 中 为 真 命 题 的 是 ( ) 【A】 ? ?p ? ? q 【B】 p ? q ) 【B】 sin 45 ? 1
0
2

【C】 ? ?p ? ? ? ?q ?

【D】 ? ?p ? ? ? ?q ?
2

8.下列语句中是命题的是(

【A】周期函数的和是周期函数吗? 论成立的是( 【A】都真 ) 【B】都假

9.在命题“若抛物线 y ? ax ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax ? bx ? c ? 0 ? ? ”的逆命题、否命题、逆否命题中结
2

?

【C】 x ? 2 x ? 1 ? 0

?

【D】梯形是不是平面图形呢?

【C】否命题真
2 2

【D】逆否命题真

10.有下述说法:① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件. ② a ? b ? 0 是 ③ a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.则其中正确的说法有( ) 【A】 0 个 【B】 1 个 【C】 2 个 11.下列说法中正确的是( ) 【A】一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 【B】“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价
3 3 2 2

1 1 ? 的充要条件. a b
【D】 3 个

【C】 “ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” 【D】一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为 真 12.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;
2 2

③“若 q ? 1 ,则 x2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( ) 【A】①② 【B】②③ 【C】①③ 【D】③④ 2 2 13.命题: “若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( ) 【A】若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

【B】若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

【C】若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 【D】若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2 2 2

14.在△ ABC 中, “ A ? 30? ”是“ sin A ? 【A】充分不必要条件

1 ”的( 2

) 【C】充要条件 【D】既不充分也不必要条件

【B】必要不充分条件

15.命题: “若 a ? b 不为零,则 a , b 都不为零”的逆否命题是______________ 16. A : x1 , x2 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ?

b ,则 A 是 B 的 a

条件。

17.有下列四个命题: ①命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题;②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;④命题“若 A 是真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号) 。 18.已知 p, q 都是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件, q 是 s 的充分条件,
2

B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题。其中

则s是q 的

______条件, r 是 q 的
0

条件, p 是 s 的

条件. ;

19. “△ ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 都是锐角”的否命题为 20.已知 ? 、 ? 是不同的两个平面,直线 a ? ? , 直线b ? ? ,命题 p : a与b 无公共点; 命题 q : ? // ? , 则 p是q 的
2

条件。
2

21.若关于 x 的方程 x ? 2(a ?1) x ? 2a ? 6 ? 0 .有一正一负两实数根,则实数 a 的取值范围________________ 22. 已知命题:对任意的实数 x ,若 x ? 2 则 x ? 4 .写出它的逆、否、逆否命题,并判断其真假. 23.已知命题:矩形的对角线相等. (1)写出这个命题的否命题,并判断真假; (2)写出这个命题的否定,并判断真假. 24.已知方程 x ? ? 2k ?1? x ? k ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件.
2 2

25.已知方程 x2 ? (2k ?1) x ? k 2 ? 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件。 26.已知下列三个方程: x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0, x2 ? (a ?1) x ? a2 ? 0, x2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实数根,求 实数 a 的取值范围。


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