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2013年中国人民大学附属中学高考冲刺卷(理科数学试卷八)


中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数 学(理) 试 卷(八)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知全集 U ? R , A ? {x ? 1 ? x ?2} , B ? {x x ? 0} ,则 CU ( A ? B) ? A. {

x 0 ? x ?2} C. {x x ? ?1} 2.复数 B. {x x ? 0} D. {x x ? ?1}

B. ? 1 C. i 3.已知等比数列 {an } 的公比为 2,且 a1 ? a3 ? 5 ,则 a2 ? a4 的值为

1? i ? 1? i A. ? i

D. 1

A.10 B.15 C.20 D.25 4.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D、C1 的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何 体的主视图为
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

A.

B.
2

C.

D.

5.若 a =(1,2,-3), b =(2,a-1,a - A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ), 则“a=1”是“ a ? b ”的 3
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
开始
输入 x

?? x , x ? ?1 ? 6.右图是计算函数 y ? ?0 , ? 1 ? x ? 2 的值的程序框图,则 ? 2 ?x , x ? 2
在①、②、③处应分别填入的是 A. y ? ? x , y ? 0 , y ? x 2 B. y ? ? x , y ? x , y ? 0
2



x ? ?1


x?2



C. y ? 0 , y ? x 2 , y ? ? x D. y ? 0 , y ? ? x , y ? x 2 7.在极坐标系中,定点 A ?1,


① ② ③

? ?? 输出 y ? ,动点 B 在直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 0 ? 2? 上运动,当线段 AB 最短时,动点 B 的极坐标是 结束 2 ? 2 3? A. ( B. ( , ) , ) 2 4 2 4 3 ? 3 3? C. ( D. ( , ) , ) 2 4 2 4 8 .已知三棱锥 A ? BCO , OA OB OC 两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 、 、 棱 OA 上运动,另一个端点 N 在 ?BCO 内运动(含边界) ,则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围

=

成的几何体的 体积为 A.

? 6

C. 36 ?

?
6

? ? 或 36 ? 6 6 ? ? D. 或 36 ? 6 6
B.

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.命题: ?x ? R, x 2 ? 0 的否定是
2



10.函数 f ( x) ? 2 cos x ? 1 的最小正周期为 ;单调递减区间为 . 11.如图是甲、乙两班同学身高(单位:cm)数据的茎叶图,则甲班同学身高的中位数为 ; 若 从 乙 班 身 高 不 低 于 170cm 的 同 学 中 随 机 抽 取 两 名 , 则 身 高 为 173cm 的 同 学 被 抽 中 的 概 率 为 . 甲班 2 9 9 1 0 8 8 3 2 8 乙班 18 1 17 0 3 6 8 9 16 2 5 8 15 9

12. 已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 , 则圆 O 的半径 R ? . 13.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一个交点,且 a2 b2

AF ⊥ x 轴,则双曲线的离心率为 . 14.在某条件下的汽车测试中,驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息: 时间 油耗(升/100 公里) 可继续行驶距离(公里) 10:00 9.5 300
11:00 注: 油耗 ? 9.6 220

汽车剩余油量 加满油后已用油量 , 可继续行驶距离 ? , 加满油后已行驶距离 当前油耗 指定时间内的用油量 . 平均油耗 ? 指定时间内的行驶距离 从以上信息可以推断在 10:00—11:00 这一小时内 (填上所有正确判断的序号). ① 行驶了 80 公里; ② 行驶不足 80 公里; ③ 平均油耗超过 9.6 升/100 公里; ④ 平均油耗恰为 9.6 升/100 公里; ⑤ 平均车速超过 80 公里/小时.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
=

15.(本小题满分 13 分)
2 2 2 在 ?ABC中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边,已知 b +c ? a ? bc . (Ⅰ)求角 A 的值;

(Ⅱ)若 a ? 3 , cos C ?

3 ,求 c 的长. 3

16.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? 2 , E , F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

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17.(本小题满分 13 分) 为了参加广州亚运会, 从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队, 队员来源人数如下表: 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 (Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一支队的概率; (Ⅱ)中国女排奋力拼搏,战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言,设其中来自北京队 的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,及数学期望 E? .
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

18.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数).

=

(Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求 f (x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? ?2 ? b ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

19.(本小题满分 14 分)

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

x2 y 2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点.斜率为 2 的直线 b a 2 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) ?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值.
已知点 A(1, 2 ) 是离心率为

20.(本小题满分 13 分) 已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } ,其中 ai ? R(1 ? i ? n, n ? 2) ,l ( A) 表示和 a i ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数. (Ⅰ)设集合 P ? {2,4,6,8} , Q ? {2,4,8,16} ,分别求 l (P ) 和 l (Q ) ; (Ⅱ)若集合 A ? {2,4,8,?,2n } ,求证: l ( A) ?

n(n ? 1) ; 2

(Ⅲ) l ( A) 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由?

中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数学(理)试卷(八)参考答案
=

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 B 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
2 9. ?x ? R , x ? 0

10. 13.

? ? ; [k? , k? ? ](k ? Z )
2
2 ?1

11. 169;

1 3

12.

3

14. ② ③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分)
2 2 2 在 ?ABC中, a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的三边,已知 b +c ? a ? bc . (Ⅰ)求角 A 的值;

3 ,求 c 的长. 3 b2 ? c2 ? a2 1 2 2 2 ? -------------------------4 分 解:(Ⅰ)? b +c ? a ? bc , cos A ? 2bc 2 ? 0 ? A??
(Ⅱ)若 a ? 3 , cos C ?

?A?

?

3

---------------------------------------------------------6 分

(Ⅱ)在 ?ABC中, A ?

?
3

, a ? 3 , cos C ?

3 3

1 6 ------------------------------------------8 分 ?sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? 3 3 a C 由正弦定理知: ? , sin A sin C 6 3? a sinC 3 ? 2 6 .----------------------------------------12 分 ?c? ? 3 sin A 3 2 2 6 ---- ------------------------------------------------------13 分 ?c? 3
16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ? 底 面 , ABCD 且 PA ? AD ? 2 , E , F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. (Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

? A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C (2, 2, 0), D(0, 2, 0) , P(0,0,2) , E (0,0,1) , F (0,1,1) ,

=

H (1, 0, 0) .----------------------------1 分 ??? ? ???? (Ⅰ)证明:∵ PB ? (2, 0, ?2) , EH ? (1, 0, ?1) , ??? ? ???? ∴ PB ? 2 EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH .---------------------------5 分 ??? ? ???? ??? ? (Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1, 0, 0) , AF ? (0,1,1) , ??? ??? ? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0. ? PD ? AF , PD ? AH ,
又? AF ? AH ? A , ? PD ? 平面 AHF . ----------------------------------------------9 分 (Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 因为 EF ? (0,1, 0) , EH ? (1, 0, ?1) ,

??? ?

????

? ??? ? ?n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). ?n ? EH ? x ? z ? 0, ? 又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0), ?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 ? ? , -------------------------12 分 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? 2 | m || n | 2 ?1 2 ?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .-------------------------------------14 分 17.(本小题满分 13 分) 为了参加广州亚运会, 从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队, 队员来源人数如下表: 队别 北京 上海 天津 八一 人数 4 6 3 5 (Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一支队的概率; (Ⅱ)中国女排奋力拼搏,战胜韩国队获得冠军.若要求选出两位队员代表发言,设其中来自北京队的 人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列,及数学期望 E? . 解:(Ⅰ)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A, 2 C 2 ? C6 ? C32 ? C52 2 则 P( A) ? 4 ? . -------------------------------------------5 分 2 9 C18 (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2. ---------------------------------------------2 分
?

∵ P(? ? 0) ?

2 C14 C1C1 C2 91 56 6 , P(? ? 1) ? 4 2 14 ? , P(? ? 2) ? 4 ? , ? 2 2 153 C18 153 C18 C18 153

∴ ? 的分布列为:

?
P

0
91 153

1

[来源:Z。xx。k.Com]

2
6 153 ---------------------------10 分

56 153

91 56 6 4 ? 1? ? 2? ? . 153 153 153 9 18.(本题满分 13 分)

∴ E(? ) ? 0 ?

-------------------------------13 分

已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数). (Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求 f (x ) 在 x ? 1 处的切线方程;

=

(Ⅱ)若 a ? ?2 ? b ,讨论函数 f ( x ) 的单调性. 解:(Ⅰ)因为 a ? 1, b ? ?1 ,所以函数 f ( x) ? x2 ? x ? ln x , f (1) ? 2 又 f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 , f ' (1) ? 2 ---------------------------------------------2 分 x 所以 y ? 2 ? 2( x ? 1)

即 f (x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 2 x ? y ? 0 ---------------- -------------------5 分 (Ⅱ)因为 a ? ?2 ? b ,所以 f ( x) ? x2 ? (2 ? b) x ? b ln x ,则

b (2 x ? b)( x ?1) ( x ? 0) ? x x b 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 .--------------------------------------------7 分 2 b (1)当 ? 0 ,即 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ?? ) ;--8 分 2 b (2)当 0 ? ? 1 ,即 0 ? b ? 2 时, f ?(x) , f (x ) 的变化情况如下表: 2 b b (1, ?? ) (0, ) ( ,1) x 2 2 f ?( x) ? 2 x ? (2 ? b) ?
f ?( x) f ( x)

?
?

?
?

?
?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ?? ) ,单调递减区间为 ( ,1) ;-------9 分

b 2

b 2

b ? 1 ,即 b ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ;---------------------10 分 2 b (4)当 ? 1 ,即 b ? 2 时, f ?(x) , f (x ) 的变化情况如下表: 2 b b (0,1) (1, ) ( , ??) x 2 2
(3)当

f ?( x) f ( x)

?
?

?
?

?
?

b 2 综上,当 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ?? ) ;当 0 ? b ? 2 时, b b 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ?? ) ,单调递减区间为 ( ,1) ;当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单 2 2 b 调递增区间为 (0, ??) ;当 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增 区间为 (0,1) , ( , ??) ,单调递减区间为 2 b (1, ) .---------------------------------------------------------------------13 分 2
所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ??) ,单调递减区间为 (1, ) ;----------12 分 19.(本小题满分 14 分)

b 2

x2 y 2 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一点.斜率为 2 的直线 b a 2 BD 交椭圆 C 于 B 、 D 两点,且 A 、 B 、 D 三点不重合.
已知点 A(1, 2 ) 是离心率为
=

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) ?ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (Ⅲ)求证:直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值. 解:(Ⅰ)? e ?

2 c 1 2 ? , ? 2 ? 1, a 2 ? b2 ? c 2 2 2 a b a ? a ? 2, b ? 2 , c ? 2 x2 y2 ? ? 1 ----------------------------------------------5 分 ? 2 4 (Ⅱ)设直线 BD 的方程为 y ? 2 x ? b
? y ? 2x ? b ? 4x2 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 4 ? ? ? ?8b 2 ? 64 ? 0 ? ?2 2 ? b ? 2 2 b2 ? 4 2 x1 x2 ? -----② x1 ? x2 ? ? b, ----① 4 2
2

Y D B O X A

? 64 ? 8b2 6 ? BD ? 1 ? ( 2 ) x1 ? x2 ? 3 ? 3 ? 8 ? b2 , 4 4 2 b 设 d 为点 A 到直线 BD: y ? 2 x ? b 的距离, ? d ? 3 1 2 ? S?ABD ? BD d ? (8 ? b2 )b2 ? 2 ,当且仅当 b ? ?2 时取等号. 2 4 因为 ?2 ? (?2 2 ,2 2 ) ,所以当 b ? ?2 时, ?ABD 的面积最大,最大值为 2 --------10 分 (Ⅲ)设 D( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 、 AD 的斜率分别为: k AB 、 k AD ,则
y1 ? 2 y2 ? 2 2 x1 ? b ? 2 2 x2 ? b ? 2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 = 2 2 ? b[ 将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得 ] ------* x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 x1 ? x2 ? 2 2 2 ? b[ ] =0, x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 即 k AD ? k AB ? 0--------------------------------------------------------14 分

k AD ? k AB ?

20.(本小题满分 13 分) 已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } ,其中 ai ? R(1 ? i ? n, n ? 2) ,l ( A) 表示和 a i ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数. (Ⅰ)设集合 P ? {2,4,6,8} , Q ? {2,4,8,16} ,分别求 l (P ) 和 l (Q ) ; (Ⅱ)若集合 A ? {2,4,8,?,2n } ,求证: l ( A) ?

n(n ? 1) ; 2

(Ⅲ) l ( A) 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由? 解:(Ⅰ)由 2 ? 4 ? 6,2 ? 6 ? 8,2 ? 8 ? 10,4 ? 6 ? 10,4 ? 8 ? 12,6 ? 8 ? 14, 得 l ( P) ? 5 . 由 2 ? 4 ? 6,2 ? 8 ? 10,2 ? 16 ? 18,4 ? 8 ? 12,4 ? 16 ? 20,8 ? 16 ? 24, 得 l (Q) ? 6 .--------------------------------------------------5 分
2 (Ⅱ)证明:因为 a i ? a j (1 ? i ? j ? n) 最多有 C n ?

n(n ? 1) n(n ? 1) 个值,所以 l ( A) ? . 2 2

又集合 A ? {2,4,8,?,2n } ,

=

任取 ai ? a j , a k ? al (1 ? i ? j ? n,1 ? k ? l ? n),
j ?1 当 j ? l 时,不妨设 j ? l ,则 ai ? a j ? 2a j ? 2 ? al ? ak ? al ,

即 ai ? a j ? a k ? al . 当 j ? l , i ? k 时, ai ? a j ? a k ? al . 因此,当且仅当 i ? k , j ? l 时, a i ? a j ? a k ? a l . 即所有 a i ? a j (1 ? i ? j ? n) 的值两两不同, 所以 l ( A) ?

(Ⅲ) l ( A) 存在最小值,且最小值为 2n ? 3 . 不妨设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , 可得

n(n ? 1) . 2

-----------------------------------------------9 分

a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? an ? a2 ? an ? ? ? an?1 ? an , 所以 a i ? a j (1 ? i ? j ? n) 中至少有 2n ? 3 个不同的数,即 l ( A) ? 2n ? 3.
事实上,设 a1 , a2 , a3 ,?, an 成等差数列, 考虑 a i ? a j (1 ? i ? j ? n) ,根据等差数列的性质, 当 i ? j ? n 时, a i ? a j ? a1 ? a i ? j ?1 ; 当 i ? j ? n 时, ai ? a j ? ai ? j ? n ? a n ; 因此每个和 a i ? a j (1 ? i ? j ? n) 等于 a1 ? ak (2 ? k ? n) 中的一个,或者等于 al ? an (2 ? l ? n ? 1) 中的一个. 所以对这样的 A, l ( A) ? 2n ? 3 ,所以 l ( A) 的最小值为 2n ? 3 . -----------------------13 分

=


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