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高中数学函数的概念和图象 函数的最值苏教版必修一

时间:2017-03-18


函数的最值
[目的]1,掌握函数最值的定义 2,掌握二次函数在某一闭区间上的最值 [过程]一、看教材 P36-----P37 二、内容提要 定义:一般的,设函数 y=f(x)的定义域为 A。 若存在定值 x0∈A,使得对于任意 x∈A,有 f(x)≤f(x0)恒成立,则称 f(x0)为 f(x)的最大 值,记作 ymax=fmax(x)=f(x0); 若存在定值 x0∈A,使得对于任意 x∈A,有 f(x)≥f(x0)恒成立,则称 f(x0)为 f(x)的最小 值,记作 ymin=fmin(x)=f(x0)。 注意:1、函数的最值一定能够取到!即“方程 f(x)=最值”在定义域范围内有解。 2、ymax=fmax(x)与 ymin=fmin(x)在整个定义域范围内表示的是最值,在部分范围内表示的是极 值 最值的一般求法定理:对于定义域范围内某一值 x0,在其左增右减,则在 f(x0)处最大值; 在其左减右增,f(x0)处取得最小值。这一方法称根据函数的单调性求最值,是 函数最值的一 般方法。 三、典型例题 例 1、求 f(x)=x2+2x 在区件[0,10]上的最大最小值 解:f(x)在[0,1]上单调增,在[1,10]上单调减,所以 fmin(x)=f(1)=1,fmax(x)=f(10)=80 [练习]P37-----4(答案:有最小值、无最大值) 例 2、已知 f(x)=x2-2ax 在 x∈[-1,1]上的最小值与最大值之差为 g(a) ⑴求 g(a)的解析式;⑵求 g(a)的最值 解:⑴f(x)的对称轴为 x=a,需要考虑 a 与定义域区间[-1,1]的相对位置,根据图象有四 种情况,a<-1,-1≤a<0,0≤a<1,1≤a a<-1 时,f(x)在[-1,1]上↑,fmax(x)=f(1)=1-2a,fmin(x)=f(-1)=1+2a,g(a)=-4a -1≤a<0 时,g(a)=fmax(x)-fmin(x)=f(1)-f(a)=-a -2a+1 0≤a<1 时,g(a)=fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(a)=-a2+2a+1 a≥1 时,f(x)↓,g(a)=f(-1)-f(1)=4a
2

? 4a(a ? ?1) ? ?? a 2 ? 2a ? 1(?1 ? a ? 0) ? 总之,g(a)= ? 2 ? ? a ? 2a ? 1(0 ? a ? 1) ? 4a(a ? 1) ?
⑵g(a)在 a<0 上↓,在 a≥0 上↑,gmin(x)=g(0)=1,g(x)无最大值 说明:一元二次函数的单调性取决于对称轴和定义域的相对位置 练习 1,已知函数 y=x2-2x+3 在[0,a]上有最小值 2,最大值 3,求实数 a 的范围(答案:1
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≤a≤3) 练习 2,已知函数 f(x)=-x2+2mx+1-m 在[0,1]上有最大值 2,求实数 m 的值(答案:-1 或 2) 例 3,在直角三角形 ABC 中,AC=b,BC=a,D、E、F 分别在 BC、AB、CA 上,求矩形 CDEF 面积 的最大值

A F b C x D a-x B E

≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤

解:设 CD=x,DE=

b(a ? x ) b 2 ,S= (-x +ax) a a

(0<x<a)

当 x=a/2 时,Smax= [总结] 求函数最值的一般方法是根据函数的单调性,一元二次函数的单调性取决于对称轴和定义 域的相对位置 [作业]P43---3,补充习题

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