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江苏省数学竞赛《提优教程》教案 第49讲 四面体与球题目 Word版 含答案

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第9讲 球等. 四面体与球 本节内容主要是四面体和球的性质与计算,球与多面体的关系,四面体的外接球与内切 A 类例题 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶点都在 同一个球面上,这个 球的表面积是( A.20 2π (1997 年理) 分析:首先求出球的半径. 1 5 2 解: 易知球的中心为长方体的中心, 长方体的对角为线球的直径, 故 R= 32+42+52= , 2 2 ∴S=4πR2=50π. 答案:C [来源:www.shulihua.netZ+X+X+K] ) D.200π B.25 2π C.50π 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积 为( (A)8 2π ) (B)8π (C)4 2π (D)4π [来源:www.shulihua.net] (2005 年·河南河北山西安徽卷) 解:截面圆面积为 π ,∴截面圆半径 r ? 1 , ∴球的半径为 R= OO12+r2= 2,∴球的表面积为 8 π . 答案:B 1 球面上有 3 个点, 其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6, 经过 这 3 个点的小圆的周长为 4π,那么这个球的半径为( A .4 3 (1998 年理) 分析:要弄清楚大圆半径与小圆半径的关系. 解:设 O 为大圆圆心,A,B,C 为满足条件的三个点. O ) C H B B.2 3 C.2 D. 3 A 1 由任意两点的球面距离都等于大圆周长的 知 6 ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°. ∴△AOB,△BOC,△COA 都是正三角形.由⊙H 周长为 4π 知⊙H 的半径为 2, ∴AB=2 3.∴球的半径为 2 3. 答案:B 情景再现 木星的体积约是地球体积的 240 30倍, 则它的表面积约是地 球表面积的( A.60 倍 ) B.60 30 倍 C.120 倍 D.120 30 倍 正方体的全面积是 a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面 积是( π a2 A. 3 ) π a2 B. 2 C.2πa2 D.3πa2 (1995 年全国理) 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距 离是 4cm,则该球的体积是( 100π A. 3 cm3 208π B. 3 cm3 ) 416 3π 3 D. cm 3 500π C. 3 cm3 (2004 年高考·江苏卷) 矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成 一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积 为( 125 A. π 12 ) 125 B. π 9 125 C. π 6 125 D. π 3 B 类例题 如图,A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ ABC=60°,O 为球心,则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是( 3 A.arcsin 6 C.arcsin 3 3 ) 3 B.arccos 6 D.arccos 3 3 (2004 年高考·福建卷) 分析:首先要求出球及截面圆的半径,然后分析 O 在截面 ABC 的射影 O′的位置. 解:由 AB=2,BC=4,∠ABC=60°知∠BAC=90°,∴BC 为截面圆的直径, ∴O 在截面 ABC 的射影 O′为 BC 中点,截面圆半径 r=2. 又球的表面积为 48π,∴R=2 3.在等腰三角形△OBC 中 O 到 BC 距离为 2 2, 2 2 6 3 ∴sin∠OAO′= =

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