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重庆市荣昌中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题


荣昌中学 2013-2014 学年第一学期半期考试

高二数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合要求的) 1.已知直线的方程为x ? 2 y ? 6 ? 0, 则该直线的斜率为( A. ? A )

1 1 B. C. 2 D. ?2 2

2 2.将一个气球的半径扩大 1 倍,它的体积扩大到原来的( C ) A.2 倍 B.4 倍 C.8 倍 D.16 倍

3.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是线段 BC 、C1 D 的中点,则直线 A1 B 与直线 EF 的位置关系是( A A.相交 ) B.异面 C.平行 D.垂直 D )

4.设 A、B 为直线 y ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的两个交点,则 | AB |? ( A.1 B. 2 C. 3

D.2

5.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

D



B.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ?

6.过点 A(4,a)和 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|的值为( B ) A.6 B. C.2 D.不能确定

? x ? 1, ? 7.已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 x ? y 的最大值是( ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?

C )

A.2

B.5

C.6

D.8

8.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( A.32 B.16+ 16 2 C.48 D. 16 ? 32 2

B



9.已知点 M(a,b)在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是( A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

B )

10. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若 AB ? 3,AC ? 4 ,

AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为( C )
A.
3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在答题卷上相应位置) 11. 若直线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m =_6_. 12.侧棱长为 2 的正三棱锥其底面周长为 9,则棱锥的高为 1 。 13. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF//平面 AB1C, 则线段 EF 的长度等于_____________ 2 . 14.已知正方体的棱长为 1, 其俯视图是一个面积为 1 的正方形, 侧视图是一个面积为 2 的 矩形,则该正方体的正视图的面积等于______ 2 15. 设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x +(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1)2 +(y ? 1) 2 =1 相切,则 m+n 的取值 范围是______ ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?) 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和 演算步骤) 16.(本小题满分 13 分)△ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 边所在直线的方程;(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程。 解: (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC 边所在直线的方程为

,即 x+2y-4=0.

(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y),则 x=

=0,y=

=2.BC 边上的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两

点,由截距式得 AD 所在直线的方程为

=1,即 2x-3y+6=0.

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E, F 分别是 PB,PC 的中点。 (1)证明:EF//平面 PAD; (2)求三棱锥 P—ABC 的体积 V。 解:(1)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点, ∴EF//BC。又 BC//AD,∴EF//AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF//平面 PAD。 (2)在△PAB 中,AP=AB, ? PAB=90°,BP=2, 1 1 ∴AP=AB= 2 ∴S△ABC= AB· BC= × 2 ×2= 2 , 2 2 1 1 2 ∴VE-ABC= S△ABC· AP= × 2 × 2 = 3 3 3 18. (本小题满分 13 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC=45°, ∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°。 (1)证明:平面ADB⊥平面BDC; (2 )设 BD=1,求三棱锥 D—ABC的表面积。 解: (1)∵折起前AD是BC边上的高, ∴ 当 Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥D B,又 DB ? DC=D, ∴AD⊥平面BDC,又∵AD ∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA ? DB , DB ? DC , DC ? DA , 平面 BDC.

?DB=DA=DC=1,?AB=BC=CA= 2 ,
1 1 S? DAM ? S? DBC ? S? DCA ? ?1?1 ? , 2 2

1 3 3? 3 1 3 ∴三棱锥 D—ABC的表面积是 S ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 . S? ABC ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 2 2

19.(本小题满分 12 分) 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D, 且|CD|=4

。(1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程。

解: (1)直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2), ∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0。 (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0① 又∵直径|CD|=4 由①②解得 ,∴|PA|=2 或 。∴(a+1)2+b2=40 ②

即圆心 P(-3,6)或 P(5,-2)。

故圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40。

CA 20. (本小题满分 12 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ? CB ,AB ? AA1 , BAA1 ? 60? , ?
O 为 AB 中点。(1)证明: AB ? A1C ;(2)若 AB ? CB ? 2 , A1C ? 6 ,求证 A1O ? 平面 ABC。

C

C1 B1 A1

B A

解: (I)取 AB 的中点 O,连接 OC O OA1O A1 B 。 , , 因为 CA=CB,所以 OC ? AB 。 由于 AB=A A1,∠BA A1=600,故 ?AA1 B 为等边三角形,所以 OA 1 ⊥AB. 因为 OC∩OA 1 =O,所以 AB ? 平面 OA 1 C.又 A 1 C 在平面 OA 1 C 内,故 AB ? A1C. (II)由题设知 ?ABC与?AA1 B都是边长为2的等边三角形, 所以 OC ? OA1 ? 3, 又A1C ? 6,则A1C 2 =OC 2 ? OA12,故OA1 ? OC.

?OC ? AB ? C

? A1O ? 平面 ABC

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 , O 是坐标原点, 点 直线 l : y ? kx

与圆 C 交于 M , N 两点。(1)求 k 的取值范围;(2)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且
2 1 1 ,请将 n 表示为 m 的函数。 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

解:(1)将 y ? k x 代入 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 得: (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 (*) 由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3 ) ? ( 3 , ??) (2)因为点 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则
OM
2

? (1 ? k 2 ) x1 , ON
2

2

? (1 ? k 2 ) x 2 ,又 OQ ? m 2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m 2 ,
2

2



2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 , ? ? 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? 2 ? 2 ? 1 2 2 m 2 x1 x2 x1 x 2
8k
2

12 36 ,所以 m 2 ? 2 , 2 1? k 1? k 5k ? 3 n 36 因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , m 5k ? 3 36 由 m2 ? 2 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3 , 0) ? (0, 3 ) . 5k ? 3

由(*)知 x1 ? x 2 ?

, x1 x 2 ?

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 , ? 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3 , 0) ? (0, 5

3) )


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