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2013届高考数学第一轮基础复习 定积分与微积分基本定理(理)课件


1. 了 解 定 积 分 的 实 际 背 景 , 了 解 定 积 分 的 基本思想,了解定积分的概念. 2. 了 解 微 积 分 基 本 定 理 的 含 义 .

1.定积分的概念与性质 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi - 1<xi<…<xn=b 将区间[a

,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi- 1,
b-a ?f(ξi)Δx= ? n f(ξi) xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式___________________, i= 1 i= 1
n n

当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在
n f(x)dx b-a ?b 区间[a, b]上的定积分, 记作_________, ? f(x)dx=linm ? 即? f(ξi ). →∞ n ?a i= 1
?b ? ? ?a

(2)定积分的几何意义 b ? ①当 f(x)≥0 时,定积分? f(x)dx 表示由 ?
x=a,x=b(a≠b),y=0 直线_________________________和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯 形的面积. ②当 f(x)在[a,b]上有正有负时,如图 2-13-1 所示,
?a

? 则定积分?bf(x)dx 表示介于 x 轴,曲线 y=f(x)以及直线 x=a,x ? ?a

=b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和,即
?b ? ? ?a

A1+A3-A2-A4 f(x)dx=______________________.

2.定积分的性质
? (1)?b kf(x)dx= ? ?a

k f(x)dx
?b ? ? ?a

?b ? ? ?a

(k 为常数);
?b ? ? ?a

? (2)?b[f1(x)± 2(x)]dx= f ? ?a

f1(x)dx± f2(x)dx
?b ? ? ?a



? ? (3)?c f(x)dx+?b f(x)dx= ? ? ?a ?c

f(x)dx

(其中 a<c<b)

3.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且
? F ′(x)=f(x), 那么?b f(x)dx= ? ?a

F(b)-F(a). 这个结论叫

做微积分基本定理,又叫做牛顿一莱布尼兹公式.为了 方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|b, a 即
?b ? ? ?a

F(x)|b=F(b)-F(a) a f(x)dx=__________________

其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数.

4.常见求定积分的公式 (1) ? a
b

x

n

dx=

1 n ?1

b

x

n ?1 a

(n≠1).

(2) ? C dx=Cx|b(C 为常数). a a (3) ? s in xdx=-cosx|b. a a (4) ? a (5) ? a (6) ? a
b b

b

c o s xdx=sinx|a.
1 x

b

b

dx=lnx|b(b>a>0). a
x

b

e

dx=ex|b. a

ax ?b ?a(a>0 且 a≠1). (7) ? a xdx= lna? a
b

? ? 1.?bf(x)dx 与?bf(t)dt 是否相等? ? ?a ? ?a

【提示】 相等.定积分大小仅与被积函数及积分 区间有关,而与积分变量无关.
? 2.定积分?b[f(x)-g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么? ? ?a

【提示】 由直线x=a,x=b和曲 线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯 形的面积.

定积分的性质与微积分基本定理
[例 1] 求下列定积分 1? (1) x + 4?dx; x? ?
?2? ? ? ? ? ?1

?

2

? (2)?2|3-2x|dx; ? ?1

(3) ? (cosx+ex)dx; ? ?
1 -π

(4)

?π ?02 ?

? x x?2 ? cos -sin ? dx. ? 2 2? ? ?

定积分的几何意义
[例 2] ________. 分析:用积分的几何意义计算,关键是弄清被积函数 所对应的几何图形,画好草图. 利用积分的几何意义计算: ? ? ?
1 -4

16-x2 dx=

解析:由积分的几何意义知:? ? ?

1 -4

16-x2dx 表示以

(0,0)点为圆心,r=4 为半径的圆在 x 轴上方部分的面 积,所以
?1 ? ?-4

1 16-x dx= ×π×42=8π. 2
2

变式训练计算定积分:?1 -x2+2xdx; ?
?0

【解析】令 y= -x2+2x,则 y2=-(x-1)2+1,

所以(x-1)2+y2=1,其中 0≤x≤1,0≤y≤1, 因此?1 -x2+2xdx 表示 y= -x2+2x与直线 x=1 及 ?
?0

x 轴围成的图形的面积(如图), 所以?1 ? ?0 π -x +2xdx= . 4
2

利用定积分求平面图形的面积

3.求由曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成 的图形的面积.
解析:作出曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 的图象,所求 面积为图中阴影部分的面积.
?y=x2, ? 解方程组? ?y=x, ?

得交点(1,1),
?y=x2, ? 解方程组? ?y=3x, ?

得交点(3,9),

因此,所求图形的面积为 S=?1(3x-x)dx+?3(3x-x2)dx ? ? ? ?
?

0

?

1

=?12xdx+?3(3x-x2)dx ? ? ? ?
?0 ?1

3 2 1 3 3 2 1 =x |0 +( x - x )|1 2 3 3 2 1 3 3 2 1 3 13 =1+( · - · )-( · - · )= . 3 3 1 1 2 3 2 3 3

变式训练

在下图中,阴影部分的面积是(

)

A.16 C.20
S=? ?
2

B.18 D.22

?-4

y2 y2 y3 2 [(4-y)- ]dy=(4y- - )|-4=18. 2 2 6

定积分的综合应用
例 4. 在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与 1 曲线以及 x 轴所围图形的面积为 .试求切点 A 的坐标及过切 12 点 A 的切线方程.

【解析】

如图所示,设切点 A(x0,y0),由 y′=2x,

得过点 A 的切线方程为 y-y0=2x0(x-x0),即 y=2x0x-x02. x0 x0 令 y=0,得 x= 2 ,即 C( 2 ,0). 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S, 1 3 1 3 S 曲边△AOB=∫x00x dx=3x |x00=3x0 ,
2

1 1 x0 2 1 3 S△ABC=2|BC|· |AB|=2(x0- 2 )·0 =4x0 . x 1 3 1 3 1 3 1 所以 S=3x0 -4x0 =12x0 =12.

【变式训练】
在区间[0,1]上给定曲线y=x2,试在此区间内确定点t的值, 使图4-4-2中阴影部分的面积S1与S2之和最小.
解:S1 面积等于边长为 t 与 t2 的 矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴、 直线 x=t 所围成的面积, 即 S1=t· - ? t
2
t

x
0

2

23 dx= t . 3

图4-4-2

S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴、x=t、x=1 围成的面积减去 矩形面积, 矩形边长分别为 t2,(1-t), 即 S2= ?
1

x
t

2

2 1 dx-t2(1-t)=3t3-t2+3.

43 2 1 所以阴影部分的面积 S 为 S=S1+S2=3t -t +3(0≤t≤1). 当 S′(t)=4t
2

? 1? ?t- ?=0 -2t=4t 2? ?

1 时,可得 t=0,t=2.

?1? 1 1 当 t=2时,S 最小,所以最小值为 S?2?=4. ? ?

[答案] D

1? 2.若 2x+ ?dx=3+ln2,则 a 的值为( x?
?a ? ? ? ?1?

?

)

A.6 C.3

B.4 D.2

[答案] D

3.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部 4 分(如图所示)的面积为3,则 k=________.

解析: 直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0, kx2 x3 k k3 4 k],再由?k (kx-x2)dx=( 2 - 3 )|0 = 6 =3求得 k=2. ? ? ?
0

?

答案:2

4. 设函数 f(x)=ax2+c(a≠0), ?1f(x)dx=f(x0), 0≤1, 若? 0≤x ?
?0

则 x0 的值为________.
1 3 a 1 解析: f(x)dx= (ax +c)dx=(3ax +cx)|0 =3+c=ax02
?1 ? ? ?0 ?1 ? ? ?0

2

3 +c,∴x0= 3 .
3 答案: 3


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