nbhkdz.com冰点文库

高考数学第一轮复习

时间:2013-02-05


高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率 典型例题
例 1、用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图) ,要求在①,②,③,④个区域中相邻(有公共 边界)的区域不用同一种颜色。 (1)若 n=6,为甲着色时共有多少种不同方法? (2)若为乙着色时共有 120 种不同方法,求 n。 解:完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数,再由乘法 原理确定决的着色方法数。因此 (1)为①着色有 6 种方法,为②着色有 5 种方法,为③着色有 4 种方法,为④着色也只有 4 种方法。 ∴ 共有着色方法 6×5×4×4=480 种 (2) 与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块, 同理, 不同的着色方法数是 n(n-1)(n-2)(n-3) 由 n(n-1)(n-2)(n-3)=120 ∴ (n -3n)(n -3n+2)-120=0 即(n -3n) +2(n -3n)-12×10=0 ∴ n -3n-10=0 ∴ n=5 例 2、计算下列各题: (1)
2A 5 ? A 6 7 6 6!?5!
2 2 2 2 2 2

98 97 3 (2) (C100 ? C100) ? A100 2 2 (3) C2 ? C3 ? C2 ? ? ? C10 2 4

解: (1)原式=

7!?6! (7 ? 6 ? 6) ? 5! 36 ? ? 6!?5! (6 ? 1) ? 5! 7

98 3 3 3 (2)原式= C101 ? A101 ? C101 ? A101 ?

1 A3 3

?

1 6

2 2 2 2 (3)原式= (C3 ? C3 ) ? C2 ? ?C10 ? (C3 ? C2 ) ? C5 ? ? ? C10 3 4 4 4 2 2 2 3 = (C3 ? C5 ) ? C6 ? ? ? C10 ? ? ? C11 ? 165 5

例 3、按以下要求分配 6 本不同的书,各有几种分法? (1)平均分给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (2)平均分成三份,每份 2 本; (3)甲、乙、丙三人一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (4)分成三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本; (5)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另二人每人得 1 本; (6)分成三份,一份 4 本,另两份每份 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本(均只要求列式)
2 解: (1) C6 ? C2 ? C2 ; 4 2

1

2 (2) C 6 ? C 2 ? 4

C2 2 A3 3

2 (3) C1 ? C5 ? C3 ? A3 6 3 3 2 (4) C1 ? C5 ? C3 6 3

(5)

4 C 6 ? C 1 ? C1 2 1

A2 2
C4 4 A2 2

? A3 3

(6) C1 ? C1 ? 6 5

(7) C1 ? C1 ? C4 6 5 4 评注:有关排列组合混合题常常是先组合再排列。 例 4、四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有( A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 )

4 解:从 10 个点中任取 4 个点有 C10 种取法,其中 4 点共面的情况有三类。第一类,取出的 4 个点位于 4 四面体的同一个面内,有 4C 6 种;第二类,取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点,这 4 点共面,有 6

种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱) ,它的 4 个点共
4 4 面,有 3 种。以上三种情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有 C10 ? 4C6 ? 6 ? 3 ? 141 (种)

例 5、求(4+2x+x )(2-x) 的展开式中 x 的系数。 解:(4+2x+x )(2-x) =(8-x )(x-2)
3 6 2 7 3 6 1 5 2 2 4 3 3 3 4 4 2

2

7

5

=(8-x )[(x -2C6 x +(-2) C6 x +(-2) C6 x +(-2) C6 x +?] ∴ 含 x 的项为-2×8×C6 ·x -(-2) C6 x =-336x ∴ x 的系数为-336 例 6、已知 ( x ?
1 2 x
4
5 5 1 5 4 4 5 5

) n 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列。

(1)求展开式里所有的 x 的有理项; (2)求展开式里系数最大的项。 解: (1)∵ C 0 ? 1 , C1 ? n n 由题设可知 2 ?

1 n 1 1 ? , C 2 ( ) 2 ? n(n ? 1) n 2 2 2 8

n 1 ? 1 ? n(n ? 1), n 2 ? 9n ? 8 ? 0 2 8

解得 n=8 或 n=1(舍去)
r r 当 n=8 时,通项 Tr ?1 ? C 8 ( x ) 8? r ? (2 x ) ? r ? C 8 ? 2 ? r ? x 4 3 4? r 4

据题意, 4 ?

3r 必为整数,从而可知 r 必为 4 的倍数,而 0≤r≤8 4
1 35 x , T9 ? 8 256x 2

∴ r=0,4,8,故 x 的有理项为 T1 ? x 4 , T5 ?

(3)设第 r+1 项的系数 tr+1 最大,显然 tr+1>0,故有
2

t r ?1 t ≥1 且 r ? 2 ≤1 t r ?1 tr



t t ?1 C r ? 2 ?r 9?r ? r ?8 ?r ?1 ? 1 tr 2r C8 ? 2
9?r ≥1 得 r≤3 2r
r t r ?2 C8?1 ? 2 ?(r ?1) 8?r ? ? r ?r t r ?1 2(r ? 1) C8 ? 2



又∵



8?r ≤1 得:r≥2 2(r ? 1)
5 7

∴ r=2 或 r=3 所求项为 T3 ? 7 x 2 和 T4 ? 7 x 4 例 7、设 a>1,n∈N,且 n≥2,求证: a ? 1 ? 证明:设 a ? 1 ? x ,则(x+1) =a
n

n

a ?1 n

n

欲证原不等式,即证 nx<(x+1) -1,其中 x>0 ∵ (x ? 1) n ? C0 x n ? C1 x n?1 ? ? ? Cn?1x ? 1 ? Cn?1x ? 1 n n n n 即(x+1) >nx+1,原不等式成立。 评注:由于(a+b) 的展开式共有 n+1 项,故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目 的。 例 8、盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列 事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各一只; (3)取到的 2 只中至少有一只正品。 解:从 6 只灯泡中有放回地任取两只,共有 6 =36 种不同取法 (1)取到的 2 只都是次品情况为 2 =4 种,因而所求概率为
2 2 n n

n

4 1 ? 36 9

(2)由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次品;及第一次 取到次品,第二次取到正品。因而所求概率为 P ?

4?2 2?4 4 ? ? 36 36 9

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件,因而所求概 率为 P ? 1 ?

1 8 ? 9 9

1 1 例 9、甲、乙两人独立地破译 1 个密码,他们能译出的密码的概率分别为 和 ,求: 4 3
(1)恰有 1 人译出的密码的概率; (2)至多 1 人译出的密码的概率; (3)若达到译出的密码的概率为

99 ,至少需要多少个乙这样的人。 100

解:记“甲译出密码”为事件 A, “甲译不出密码”这事件 A ;记“乙译出密码”为事件 B, “乙译不
3

出密码”为事件 B ; “两人都译出密码”为事件 C, “两人都译不出密码”为事件 D; “恰有 1 人译出密码” 为事件 E; “至多 1 人译出密码”为事件 F。 (1) “恰有 1 人译出密码” 是包括 2 种情况: 一种是 A ? B , 另一种是 A ? B 。 这两种情况不能同时发生, 是互斥的。

1 1 1 1 5 ∴ P(E) ? P(A ? B) ? P( B ? B) ? P(A) ? P( B) ? P(A) ? P(B) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 3 4 3 4 12
(2) “至多 1 人译出密码”包括两种情况: 人都译不出密码”或“恰有 1 人译出密码” “2 ,即事件 D+E, 且事件 D、E 是互斥的 ∴ P(F) ? P(D) ? P(E) ? P(A ? B) ? P(A ? B) ? P(A ? B) ?

1 5 11 ? ? 2 12 12

1 1 99 (3)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 (1 ? ) n ,根据题意得: 1 ? (1 ? ) n ? 4 4 100
解得:n=16 例 10、 某数学家有两盒火柴, 每盒都有 n 根火柴, 每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根, 求他发现用完一盒时另一盒还有 r 根(1≤r≤n)的概率。 解析:由题意知:数学家共用了 2n-r 根火柴,其中 n 根取自一盒火柴,n-r 根取自另一盒火柴。 由于数学家取火柴时,每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根,故他用完的那一盒取出火柴的概率 是

1 1 ,他不从此盒中取出一根火柴的概率也是 。 2 2
由于所取的 2n-r 根火柴,有 n 根取自用完的那一盒的概率为:

1 1 1 C nn ?r ( ) n (1 ? ) n ?r ? C nn ?r ( ) 2n ?r 2 2 2 2 2

同步练习
(一)选择题 1、某一排共 12 个座位,现甲、乙、丙三人按如下要求入座,每人左右两旁都有空座位,且三人的顺 序是甲必须在另两人之间,则不同的座法共有 A、60 种 B、112 种 C、242 种 D、672 种

2、某同学从 6 门课中选学 2 门,其中有 2 门课上课时间有冲突,另有 2 门不允许同时选学,则该同 学可选学的方法总数有 A、8 种 B、13 种 C、12 种 D、9 种

3、如图,在某城市中,M、N 两地间有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两 个方向沿图中的矩形的边前进,则从 M 到 N 不同的走法共有 A、13 种 B、15 种 C、25 种 D、10 种

4、将 n 个不同的小球放入 n 个不同的盒子里,恰好有一个空盒的放法种数是 A、 C1 C 2 A n ?1 n n n ?1
9

B、 C1 C n ?1A1 ?1 n n n
2 8 9

C、 A n?1A1 ?1 n n

D、 C2 An?1 n n ?1

5、若(1-2x) =a0+a1x+a2x +?+a8x +a9x ,则 a1+a2+?+a8 的值为
4

A、-1

B、-2
4

C、-512

D、510

6、 ( x ? 1) 4 (x ? 1) 5 展开式中,x 的系数为 A、-40
3

B、10

C、40

D、45

7、 ( 2 ? 3 )100 的展开式中无理项的个数是 A、84 8、 ( x ? A、第 3 项
1 2 x
4

B、85

C、86

D、87

) 8 的展开式中系数最大的项是

B、第 4 项

C、第 2 或第 3 项

D、第 3 或第 4 项

9、掷三颗骰子(各面上分别标以数字 1 到 6 的均匀正方体玩具) ,恰有一颗骰子出 1 点或 6 点的概率 是 A、

8 27

B、

19 27

C、

4 9

D、

5 9

10、一工人看管三台机床,在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是 0.9,0.8 和 0.85,那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是 A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.027

11、在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 P 的取值范围是 A、[0.4,1] B、 (0,0.4] C、 (0,0.6] D、[0.6,1)

12、一批零件 10 个,其中有 8 个合格品,2 个次品,每次任取一个零件装配机器,若第一次取得合格 品的概率是 P1,第二次取得合格品的概率是 P2,则 A、P1>P2 B、P1=P2 C、P1<P2 D、P1=2P2

13、一个学生通过某种英语听力测试的概率是 1/2,他连续测试 n 次,要保证他至少有一次通过的概 率大于 0.9,那么 n 的最小值为 A、3 B、4 C、5 D、6

14、甲、乙两人投篮命中的概率分别为 p、q,他们各投两次,若 p=1/2,且甲比乙投中次数多的概率 恰好等于 7/36,则 q 的值为 A、

4 5

B、

3 4

C、

2 5

D、

1 2

(二)填空题 15、空间 12 个点,其中 5 个点共面,此外无任何 4 个点共面,这 12 个点最多可决定_________个不 同的平面。 16、(4+2x+x )(2-x) 展开式中 x 的系数为________。 17、 1 ?
2 7 5

1 1 1 2 1 C n ? C n ? ? ? (?1) n C n =__________。 n 2 3 n ?1 1 1 ,乙能解决它的概率是 ,两人试图独立 2 3

18、有 1 个数字难题,在半小时内,甲能解决它的概率是 地在半小时内解决它,则: (1)两人都未解决的概率为__________;
5

(2)问题得到解决的概率为__________。 19、一次考试出了 10 个选择题,每道题有 4 个可供选择的答案,其中 1 个是正确的,3 个是错误的, 某学生只知道 5 个题的正确答案,对其他 5 个题全靠猜回答,那么这个学生卷面上正确答案不少于 7 个题 的概率是________________。 (三)解答题 20、某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共 6 节课,如果第 1 节不排体育,最 后 1 节不排数学,那么共有多少种不同的排课表的方法。 21、有甲、乙、丙三位老师,分到 6 个班上课: (1)每人上 2 个班课,有多少种分法? (2)甲、乙都上 1 个班课,丙上 4 个班课,有多少种分法? (3)2 人各上 1 个班课,1 个人上 4 个班课,有多少种分法? 22、在 x(1-x) +x (1+2x) +x (1+3x) 的展开式中,含 x 的系数是 144,求 k 的值并求出含 x 项的系 数等于多少? 23、某气象站天气预报的准确率为 80%,求: (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率(结果保留 2 位有效数字) 。 24、有 6 个房间安排 4 个旅游者住,每人可以进住任一房间,且进住房间是等可能的,试求下列事件 的概率: (1)事件 A:指定的 4 个房间各有 1 人; (2)事件 B:恰有 4 个房间中各有 1 人; (3)事件 C:指定的某个房间中有 2 人; (4)事件 D:第 1 号房间有 1 人,第 2 号房间有 3 人。 25、有甲、乙两批种子,发芽率分别为 0.8,0.7,从两批种子中各取 1 粒,求: (1)2 粒种子都能发芽的概率; (2)至少有 1 粒种子发芽的概率; (3)恰好有 1 粒种子发芽的概率。 26、如图构成系统的每个元件的可靠性为 r(0<r,r<1) ,且各个元件能否正常工作是相互独立的,试 求图中两种系统的可靠性。
k 2 8 3 12 4 2

参考答案
(一)选择题
6

1、B

2、B

3、B

4、A

5、D

6、D

7、A

8、C

9、C

10、C

11、A 12、B 13、B 14、C (二)填空题 15、211 16、-336 17、

1 n ?1
(2)30

18、 (1)1/3 (2)2/3

19、0.3671875

(三)解答题 20、504 23、 (1)0.41 24、 (1) 21、 (1)90 (2)0.74 (2) (3)90 22、4,-3

1 54
n n

5 18
n

(3)

25 216

(4)

1 324

25、 (1)0.56

(2)0.94

(3)0.38
n

26、 (1)r (2-r ) (2)r (2-r)

(2)比(1)可靠

7


赞助商链接

高考数学一轮复习高效策略

高三数学一轮复习高效策略高三第一轮复习复习时间是 9 月—明年 3 月初,复习时间最长,复习工作量最 大,又是第二轮复习与第三轮复习的基础及先行者,所以一轮...

高考数学第一轮复习椭圆

高考数学第一轮复习椭圆 - 第八章 ●网络体系总览 椭圆 定义 圆锥曲线的方程 标准方程 几何性质 第二定义 作图 圆锥曲线 双曲线 定义 标准方程 几何性质 第二...

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)_数学_高中教育_教育专区。海豚教育 高三数学第一轮复习——数列一、知识梳理数列概念 1.数列的定义:按照一定顺序排列的...

高三数学第一轮复习方法总结

高三数学第一轮复习方法总结_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。高三数学,不同于高一高二阶段,随着知识内容的进展,由单纯新授课转变到复习课,由单 元知识的...

高三数学第一轮复习综合测试题(一)

高三数学第一轮复习综合测试题(一)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学第一轮复习综合测试题(一)班级选择题(共 31 题) : 《集合与简易逻辑》 姓名 2...

高考数学第一轮复习资料

高考数学第一轮复习资料 第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组 1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关系为___. 2.若? {...

高考文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)

弘星教育 高中数学(文科) 高考一轮复习资料 高中数学(文科)高考一轮复习 习题集(含答案)目第一第一节 第二节 录 集合??? 1 集合的含义、表示及基本关系...

高三数学第一轮复习_知识点

高三数学第一轮复习_知识点_高考_高中教育_教育专区。高中数学一轮复习知识点 第一章-集合考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件...

高三数学第一轮复习_知识点

高三数学第一轮复习_知识点_数学_高中教育_教育专区。高中数学一轮复习知识点 第一章-集合 考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分...

如何做好高三数学第一轮复习

如何做好高三数学第一轮复习 高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意” 的转变,体现了对能力和潜能的考察,使知识考查服务于能 力考查。针对这一...