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数理方程与特殊函数复习题


《 数理方程》复习
? ? ? ? ? ? ? 偏微分方程的数学模型 二阶偏微分方程分类化简及求通解 分离变量法和固有值问题 达朗贝尔公式及其应用 付里叶变换定义及性质 几种特殊区域的格林函数 贝塞尔方程和贝塞尔函数
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Ex1. 长为L,密度为 ? 的底半径为R 的均匀圆锥杆(轴 线水平)作纵振动,锥的顶点固定在x=0处。导出此

杆 的振动方程 解:在 x 处, 半径 r(x) =Rx/L, 取dx 微元

F ? YS ( x ? dx)ux ( x ? dx, t ) ? YS ( x )ux ( x , t )
ux 为相对伸长率, Y 是杨氏模量 S ( x ? dx) ? ? [ R( x ? dx) / L]2 S ( x ) ? ? ( Rx / L)2 由牛顿第二定律,得

YS ( x ? dx)ux ( x ? dx, t ) ? YS ( x )ux ( x , t ) ? ?Sdxutt

Y ( x 2 ux ) x ? ?x 2 utt
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二阶偏微分方程分类 a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f
称 a122 – a11a22 为判别式

1. 若 a122 – a11a22> 0,称微分方程为双曲型的

2. 若 a122 – a11a22= 0,称微分方程为抛物型的
3. 若 a122 – a11a22< 0,称微分方程为椭圆型的

utt = a2uxx
双曲型

ut = a2uxx
抛物型

uxx+ uyy = 0
椭圆型
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Ex2: x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
dy ?? dx
? ?

x ? ? 2 xy? ? y ? 0
2 2 2

( x? ? y ) ? 0 ? ? ? y / x

Ex3. 求方程通解 : uxx + 10uxy + 9uyy = 0
特征方程

dy ?9 dx dy ?1 dx

dy 2 dy ( ) ? 10( ) ? 9 ? 0 dx dx

?

y = 9 x + C1 y = x + C2

? ? 9x ? y ? ? ? x? y
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? ? 9x ? y ? ? x? y

?

?x ?x 9 1 ? ?y ?y ?1 ?1

uxx + 10uxy + 9uyy = 0

a12 ? ? x? x ? 5(? x? y ? ? y? x ) ? 9? y? y

? 9 ? 5(?9 ? 1) ? 9 ? ?32
标准方程:

u?? ? 0

?

u ? f (? ) ? g(? )

? ? 9 x ? y ,? ? x ? y
原方程的通解

u(x , y ) = f( 9x – y ) + g(x – y )
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Ex 4. 求方程通解:
4uxx + 8uxy + 3uyy = 0

Ex 5. 求方程的通解

y uxx ? 6 xyuxy ? 8 x u yy ? 0
2 2

Ex 6. 求方程 uxx –(4x2 )uyy = 0 的通解
Ex 7. 构造非奇异变换,化简微分方程

sin2 y u xx ? 6 cos x sin y u xy ? 8 cos 2 x u yy ? 0

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固有值问题I:

n 2? 2 ?n ? 2 L
固有值问题II

? X ?? ? ?X ? 0, 0 ? x ? L ? ? X (0) ? 0, X ( L) ? 0 n?
X n ( x ) ? Bn sin

( 2n ? 1) 2 ? 2 ?n ? 4 L2
固有值问题III

? X ?? ? ?X ? 0, 0 ? x ? L ? ? X (0) ? 0, X ?( L) ? 0 ( 2n ? 1)?
X n ( x ) ? Bn sin 2L

L

x

x

n 2? 2 ?n ? 2 L

? X ?? ? ?X ? 0, 0 ? x ? L ? ? X ?(0) ? 0, X ?( L) ? 0 n?
X n ( x ) ? An cos L x
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固有值问题IV
( 2n ? 1) 2 ? 2 ?n ? 4 L2

? X ?? ? ?X ? 0, 0 ? x ? L ? ? X ?(0) ? 0, X ( L) ? 0

( 2n ? 1)? X n ( x ) ? An cos x 2L

固有值问题V
通解:

? X ?? ? ?X ? 0, 0 ? x ? L ? ? X (0) ? 0, [ X ? ? hX ] x ? L ? 0 X ( x ) ? A cos ? x ? B sin ? x

tan ? L ? ?

?
h

y v
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Ex 8. 求边值问题的固有值和固有函数
? y ?? ? ? y ? 0 ? ? y ?( 0 ) ? y ?( L ) ? 0

解:当? > 0 时,二阶常微分方程通解为

y ? A cos( ? x ) ? B sin( ? x )
由边界条件,得B = 0

? L ? n?

?

n? ?n ? L

n 2? 2 所求固有值为 ? n ? 2 L

固有函数

n? yn ( x ) ? An cos x L

( n = 0,1,2,… )
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? utt ? a 2 u xx , (0 ? x ? L, t ? 0) Ex 9. ? ? u x ? 0 ? 0, u x ? L ? 0 4 x( L ? x ) ? ( x) ? h ? 2 L ? u t ? 0 ? ? ( x ), ut t ? 0 ? 0
过三点 (0, 0), (L/2, h), (L, 0) 的抛物线作初始位移 ? n?at n?at n?x u( x , t ) ? ? (C n cos ? Dn sin ) sin L L L n ?1

n? 4 x( L ? x ) u( x ,0) ? ? C n sin x? h 2 L L n ?1 2 L 4? ( L ? ? ) n?? Cn ? ? sin d? 2 L 0 L L
?

n≥1
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Ex10. 用分离变量法求解

? utt ? u xx 0 ? x ? 1, t ? 0 ? ? ? u x ? 0 ? 0, u x ? 1 ? 0 ? ? u t ? 0 ? sin(?x ), ut t ? 0 ? 0 ?

? utt ? a 2 u xx ? ? g , (0 ? x ? L, t ? 0) ? Ex11. 求解方程 ?u x ? 0 ? 0, u x ? L ? 0 ? ? ? u t ? 0 ? 0, u t t ? 0 ? 0 ?

Ex12. 求解方程

? utt ? a 2 u xx ? A ? ? ? u x ? 0 ? 0, u x ? L ? B ? ? u t ? 0 ? 0, ut t ? 0 ? 0 ?

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达朗贝尔公式

? 2u ? 2u ? a2 2 ?t 2 ?x ?u u t ? 0 ? ? ( x ), ?t

? ? ? x ? ??, t ? 0
t ?0

? ? ( x)

1 1 x ? at u( x , t ) ? [? ( x ? at ) ? ? ( x ? at )] ? ?x ?at? (? )d? 2 2a ?utt ? a 2 uxx ? 0, (0 ? x ? ??, t ? 0) ? 应用I: ?u( x ,0) ? ? ( x ), ut ( x ,0) ? ? ( x ), (0 ? x ? ??) ?u?0, t ? ? 0, ( t ? 0) x – at ≥0 ? 1 1 x ? at u( x , t ) ? [? ( x ? at ) ? ? ( x ? at )] ? ?x ?at? (? )d? 2 2a
x – at < 0

1 1 x ? at u( x , t ) ? [? ( x ? at ) ? ? (at ? x )] ? ?at ? x? (? )d? 2 2a

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Ex13.求解半无界弦定解问题
? utt ? a 2 u xx (0 ? x ? ? , t ? 0) ? ? 3 2 ? u t ? 0 ? x , ut t ? 0 ? x ? ?u x ?0 ? 0 ?

Ex 14. 求解半无界弦定解问题
? utt ? a 2 u xx (0 ? x ? ? , t ? 0) ? ? u t ? 0 ? x 3 , ut t ? 0 ? x 2 ? ? ?ux x ?0 ? 0 ?

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Ex 15. 求解初值问题:

1 x 解: 令 u( x , t ) ? v ( x , t ) ? 2 e a 2 2
? v 2 ? v ?a 2 ?t ?x 2 e x ?v v t ?0 ? 5 ? 2 , a ?t
? x2

?utt ? a 2 uxx ? e x ? ? ?u( x,0) ? 5, ut ( x,0) ? x 2 ?

t ?0

1 1 x ? at v ( x , t ) ? [? ( x ? at ) ? ? ( x ? at )] ? ?x ?at? (? )d? 2 2a 1 1 x ? at x ? at 3 3 ? 5 ? 2 [e ? e ] ? [( x ? at ) ? ( x ? at ) ] 2a 6a 1 2 3 1 2 x ? at x ? at x u( x , t ) ? 5 ? x t ? a t ? 2 [e ?e ? 2e ] 3 2a 14/24

? utt ? a 2 u xx ? xe t Ex 16.求解初值问题 ? ? u|t ? 0 ? sin x , ut |t ? 0 ? 0

解:取w(x, t)=xet ,将 u= v + w代入方程及初始条件,得

?v tt ? a 2 v xx ? ?v|t ? 0 ? sin x ? x , v t |t ? 0 ? ? x
由达朗贝尔公式,得
1 v ( x , t ) ? [sin( x ? at ) ? ( x ? at ) ? sin(x ? at ) ? ( x ? at )] 2 1 x ? at ? ?x ?at ? ? d? 2a

1 ? sin x cos at ? x ? [( x ? at )2 ? ( x ? at )2 ] 4a

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v( x, t ) ? sin x cos at ? x ? xt

u(x, t ) = v(x, t) + w(x, t)
u( x, t ) ? sin x cos at ? x ? xt ? xet ? sin x cos at ? x( t ? e ? 1)
t

Ex 17.求解初值问题 ? utt ? u xx ? sin x
? ? u | t ? 0 ? sin x ? ut | t ? 0 ? xe x ?

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三维波动方程

utt ? a ( uxx ? u yy ? uzz ), ? ? ? x , y , z ? ??, t ? 0
2



?u ? uxx ? u yy ? uzz

r?

x2 ? y2 ? z2
P ( x, y, z )

球坐标变换

x ? r sin? cos ? y ? r sin? sin? z ? r cos ?

?

r

?

1 ? 2 ?u 1 ? ?u 1 ? 2u ?u ? 2 (r )? 2 (sin? )? 2 r ?r ?r r sin? ?? ?? r sin2 ? ?? 2
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设函数 u 具有球对称性,即

?u ?u ? 0, ?0 ?? ??

1 ? 2 ?u 1 ? ?u 1 ? 2u ?u ? 2 (r )? 2 (sin? )? 2 r ?r ?r r sin? ?? ?? r sin2 ? ?? 2

1 ? 2 ?u ? 2 (r ) r ?r ?r

球对称性导致球面波问题
? 2u 2 1 ? 2 ?u ?a 2 (r ) 2 ?t r ?r ?r

u t ? 0 ? ? ( r ), ut

t ?0

? ? (r )
18/24

? 2v ?u ? 2u ?2 ?r 2 令 v = r u , 则有 2 ?r ?r ?r 1 ? 2 ?u 1 ?u ? 2u ? 2v (r ) ? ( 2r ? r2 2 ) ? 2 所以 r ?r ?r r ?r ?r ?r 2 ? 2v ? 2v ? u 2 1 ? 2 ?u ? a2 2 ?a 2 (r ) 2 ?t 2 ?r ?t r ?r ?r

u t ? 0 ? ? ( r ),
ut
t ?0

?

v t ? 0 ? r? ( r ),

? ? (r ) v t t ? 0 ? r? ( r ) 1 v ( r , t ) ? [( r ? at )? ( r ? at ) ? ( r ? at )? ( x ? at )] 2 1 r ? at ? ?r ?at r? (? )d? 2a

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Ex 18 . 证明付里叶变换性质
导数性质:

F [ f ?( x )] ? i?F [ f ( x )]
F [ f ( x ? x0 )] ? e j? x0 F [ f ( x )]

时移性质:

? 证 记 F[ f(x)]= f (? )

1 ? ? f ( x) ? f (? )e i?x d? 2? ?? ? 1 ? 1 ? d ? ? i?x ? [i?f (? )]e i?x d? ?( x ) ? f ??? dx [ f (? )e ]d? 2? ??? 2?

所以,

F [ f ?( x )] ? i?F [ f ( x )]

20/24

证 由付里叶变换 F [ f ( x ? x0 )] ? ?
引入变换 u = x+ x0

??

??

f ( x ? x0 )e ? j? x dx

?

??

??

f ( x ? x0 )e

? j? x

dx ? ? ?e

??

??

f (u)e ? j? ( u? x0 )du

j? x0

? e j? x0
所以

? ?

??

?? ??

f (u)e ? j? udu

??

f ( x )e ? j? x dx

F [ f ( x ? x0 )] ? e

j? x0

F [ f ( x )]

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Ex19. 圆域内的格林函数

P M1
O M0

r1 R ? 记 r0= |OM0| r1=|OM1 | ? R r0 rM 1 P R 1 R 1 ? ? ? ? rM 0 P r0 rM P r0 rM P
0 1

1 1 R 1 G( x, y ) ? [ln ? ln( )] 2? rPM 0 r0 rPM 1

(x y) ( x0 , y0 )

Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
1 1 1 G( P , M 0 ) ? [ln ? ln ] 2? rPM 0 rPM 1
( x0 , – y0 )
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Ex21. 证明
证:

2 J ?1 / 2 ( x ) ? cos x ?x
?

( ?1) m x ? n? 2 m J ? n ( x ) ? ? ? n? 2 m m! ?( ? n ? m ? 1) m ?0 2 ( ?1) m x ( ?1 / 2 )? 2 m J ? 1 / 2 ( x ) ? ? ( ?1 / 2 ) ? 2 m m! ?( m ? 1 ? 1 / 2) m ?0 2
?

?

( 2m ? 1)!! ? (m ? 1 / 2)( m ? 3 / 2)?(1 / 2)?(1 / 2) ? ? m 2
( ?1) m x ( ?1 / 2 )? 2 m ? ( ?1 / 2 ) ? 2 m 2 m! ?( m ? 1 ? 1 / 2)

?(m ? 1 ? 1 / 2) ? (m ? 1 / 2)?(m ? 1 / 2)

( ?1) m x ( ?1 / 2 )? 2 m 2 ( ?1) m x 2 m ? 21 / 2 ? ?x ( 2m )! ( 2m )! ?

( ?1)m x ( ?1 / 2 )? 2 m ( 2m ? 1)!! ( ?1 / 2 ) ? 2 m 2 m! ? m 2

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( ?1) m x 2 m 由 cos x ? ? ( 2m )! m ?0
?

?

2 J ?1 / 2 ( x ) ? cos x ?x

Ex22 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程 (不解贝塞尔方程)
1 ? 2 ? utt ? a ( u?? ? ? u? ), ( t ? 0,0 ? ? ? 1) ? ? ? u? |? ?1 ? 0, u |? ? 0 ? ?? ? u |t ? 0 ? 0, ut |t ? 0 ? 1 ? ? 2 ? ? ?

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