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府谷三中2014-2015学年第一学期高三第四次月考(文科A卷)


府谷三中 2014-2015 学年第一学期高三第四次月考 文科数学( A 卷)
考试时间:120 分钟; 命题人:张鹏

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.如图所示的韦恩图中,阴影部分对应的集合是( )

A.A∩B
2

B.? U(A∩B)
2

C.A∩(? UB)

D. (? UA)∩B )

2.若 p:x ﹣4x+3>0;q:x <1,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )

3.计算 ? log 5 4 ? ? ? log16 25 ? ? ( A. 2 B. 1 C.

1 2


D.

1 4

4.下列函数在定义域内为奇函数的是( A. y ? x ?

1 x

B. y ? x sin x

C. y ? x ? 1

D. y ? cos x )

5.已知等差数列 an 的公差为 2,若前 17 项和为 S17 =34 ,则 a12 的值为( A.-10 B.8 C.4 D.12 )

? ?

6.若-1< ? < ? <1,则下列不等式中恒 成立的是( . A.-1< ? - ? <1 C.-2< ? - ? <0

B.-2< ? - ? <-1 D.-1< ? - ? <0

?y ? 0 ? 7.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是( ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ?
A. ?3, ? ?? B. ? ?8, 3? C. ? ??,9? D. ? ?8, 9?



试卷第 1 页,总 3 页

8.已知向量 a ? ?2,3? , b ? ??1,2? ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为( A.



1 2

B.2

C. ?

1 2

D. ?2

9.已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? 2x ? ? ?? 0剟 ? A.

? ? ,有一个零点为 ? ,则 ? 的值是(

? 6

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 2

1 3



10.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2 sin C B. 2 cos B C. 2 sin B )
y

c 为( b



D. 2 cos C

11.函数 f ( x) ? sin x ? ln( x 2 ?1) 的部分图像可能是 (
y
y y

O

.

x

O

.

x

O

x

O

x

A

B

C

D

12.如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(色括两个端点)有 n(n>l,n∈ N*)个点,相 应的图案中总的点数记为 an,则

9 9 9 9 =( ? ? ? ... ? a2 a3 a3a4 a4 a5 a2013a2014



A.

2012 2013

B.

2013 2012

C.

2010 2011

D.

2011 2012

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上) ? ? ? ? ? ? 13.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 60 ,则 | 2a ? b |? ___________.
3 2 14.已知 f ( x) = x + kx 在 [0, 2] 上是减函数,则 k 的取值范围是
2

.(用区间表示)

15.已知命题 p : m ? 0 ,命题 q : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 成立,若“ p且q ”为真命题,则实数 m 的取值范围是_ _ .(用区间表示)

16.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )其中 A>0,ω >0,0<φ < 图象如图所示.则:函数 y=f(x)的解析式为____

? 的 2

____;

试卷第 2 页,总 3 页

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (12 分)△ABC 中,BC=7,AB=3,且 (1)求 AC 的长; (2)求∠A 的大小.

3 sin C = . sin B 5

18. (12 分)已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cosx,?1) (1)当 a // b 时,求 2 cos2 x ? sin 2 x 的值. (2)求 f ( x) ? (a ? b) ? b 在 ??

3 2

? ? ? ,0? 上的最大值. ? 2 ?

19. (12 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ,证明: ?bn ? 是等差数列; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.

1 1 20. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ? n , 2 2

(1)求通项公式 a n ;(2)令 bn ? an ? 2n ?1 ,求数列 ?bn ? 前 n 项的和 Tn .

2 21. (13 分)已知等差数列 ?an ? 的首项为 a ,公差为 d ,且不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 ?1, d ? .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (II)若 bn ? 3an ? an ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 22. (13 分)已知 g ( x) ? e ? x .
x

(Ⅰ)求 g ( x) 的最小值; (Ⅱ)若存在 x ? (0, ??) ,使不等式

2x ? m ? x 成立,求 m 的取值范围. g ( x)

试卷第 3 页,总 3 页

参考答案 1.C 【解析】 试题分析:阴影部分是属于 A 且不属于 B(属于 CUB)的元素组成的集合,故选 C 考点:集合的运算,韦恩图 2.B 【解析】p:x<1 或 x>3,q:-1<x<1,可知 q 表示的范围是 p 的一部分,故 p 是 q 的必 要不充分条件. 考点:二次不等式的解法,充要条件 3.B 【解析】 试题分析: ? log 5 4 ? ? ? log16 25 ? ? 考点:对数运算. 4.A 【解析】 试题分析:由奇函数的定义可知: f ?? x ? ? ? x ? 考点:函数的性质. 5.C 【解析】 试题分析:解:∵等差数列 {an} 的前 17 项和为 S17=34 ∴ a1+a17=2a9 ∴a9=2,,等差数列{an}的前 17 项和为 S17=34∴a12=a9+(12-9)×2,∴a12=8, 考点:1.等差数列的前 n 项和;2.等差数列的通项公式. 6.C 7.D 【解析】

lg 4 lg 25 lg 4 2lg5 ? ? ? ?1 lg5 lg16 lg5 2lg 4

1 1? ? ? ?? x ? ? ? ? f ?x ? ,所以选 A ?x x? ?

17 ? a1 ? a17 ? 2

? 34 ∴ a1+a17=4 ∵

答案第 1 页,总 8 页

试题分析:满足约束条件的可行域如图,把 z ? 3x ? 5 y 化为 y ? ?

3x z ? ,表示的斜率为 5 5

?

3 z ,截距为 的平行直线,当过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最小, z 最小,当直线过 5 5

点 B 时,截距最大, z 最大,联立

?x ? 2 y ?1 ? 0 , 解 得 A?? 1,?1? , 由 x ? 4 y ? 3 ? 0 , 得 B?3,0? , z 的 最 小 值 为 ? ?x ? 4 y ? 3 ? 0

3 ? ?? 1? ? 5 ? ?? 1? ? ?8 , z 的最大值 3 ? 3 ? 5 ? 0 ? 9 ,? z ? 3x ? 5 y ? ?? 8,9? ,故答案为
D.

考点:线性规划的应用. 8.D 【解析】 试题分析: ma ? 4b ? (2m ? 4,3m ? 8) , a ? 2b ? ?4,?1? ,由于 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,

? ?1?2m ? 4? ? 4?3m ? 8? ,解得 m ? ?2 ,故答案为 D.
考点:向量共线的应用. 9.A 【解析】 试题分析:由已知得 f ?

? ?? ? ? 2? ? ? 2? ? 1 ? ? ? ? 0 , 即 sin ? ?? ? ? , 又 ? ? cos ? sin ? 3 ?3? ? 3 ? ? 3 ? 2

0剟 ? ? ,所以

2? 5? ? ?? ? ,解得 ? ? .故正确答案为 A. 3 6 6

考点:特殊角的三角函数值. 10.B 【解析】
答案第 2 页,总 8 页

试题分析:由正弦定理,得 sin C ? sin 2 B ? 2 sin B cos B ,? 案为 B. 考点:正弦定理的应用. 11.B. 【解析】

c sin C ? ? 2 cos B ,故答 b sin B

试题分析:显然 f ( x ) 为奇函数,其函数图象关于原点对称,故排除 A,C,又∵存在 x ? R , 使得 f ( x) ? 0 ,排除 D,故选 B. 考点:函数图象判断. 12.A 【解析】试题分析:由 已 知 ,

a2 ? 3 ? 3? (2 ?1 ),a3 ? 6 ? 3? ( 3 ?1 ),a4 ? 9 ? 3? (4 ?1 ),a5 ? 12 ? 3? ( 5 ?1 ) ?an ? ( 3 n ?1 ),
数 列 {an } 是 首 项 为 3 , 公 差 为 3 的 等 差 数 列 , 通 项 为 an ? ( ; 3 n ?1 )( n ? 2 ) 所以

1 1 1 1 1 9 9 9 9 ,则 ? ? ( ? ) ? ? ? ... ? an an ?1 3(n ? 1 )? 3 n 9 n ?1 n a2 a3 a3a4 a4 a5 a2013a2014
1 9 1 1 1 1 1 1 2012 ? ? ??? ? ) ? 1? ? . 故答案为 A . 2 2 3 2012 2013 2013 2013

( 1? = 9? ?

考点:1.归纳推理;2.等差数列的通项公式;3. “裂项相消法” . 13. 13 【解析】 试题分析:| 2a ? b | ? 4a ? 4a ? b ? b ? 16 ? 4 ? 2 ? 3 ? cos 60? =13, 所以 | 2a ? b |? 13 . 考点:向量的数量积. 14. (??,3] 15. f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 【解析】 试题分析:由图可知: A ? 2, T ? 2 ?
2 2 2

?

?

? ?

??
? 4?

? 5? ? ? ? ? ? ? ,?? ? 2 ? 8 8?

答案第 3 页,总 8 页

? f ? x ? ? 2sin ? 2x ? ? ?
又因为 f ?

?? ? ?? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 ?8? ?4 ?
?? ? ?? ? ?1 ?4 ?

所以, sin ? 所以,

?
4

?? ?

?
?
2

? 2 k? , ? ?

?
4

? 2 k? , ? k ? z ?

因为, 0 ? ? ?

2

,所以, ? ?

?
4

所以所求函数解析式为 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 所以,答案应填: f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 考点:三角函数的图象. 16. ?2 ? m ? 0 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 命 题

? ?

??
? 4?

? ?

??

?. 4?

q : ?x ? R, x 2 ? mx ? 1 ? 0

成 立 , 所 以

? ? b 2 ? 4ac ? m2 ? 4 ? 0 ? ?2 ? m ? 2 ;
又因为“ p ? q ”为真命题,所以 ? 考点:命题间的关系. 17. (1)AC=5; (2) A ? 120 【解析】 试题分析: (1)△ABC 中,利用正弦定理得 可得结果; (2)已知三角形的三条边,求角的问题,显然需要运用余弦定理. 试题解析: (1)△ABC 中,由正弦定理得 又知 AB=3,解得 AC=5; ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 AB = 3 , BC = 7 ,
答案第 4 页,总 8 页

?m ? 0 ? ?2 ? m ? 0 . ? 2 ? m ? 2 ?

sin C AB ? ,代入数据, sin B AC

sin C AB 3 ? = . sin B AC 5

AC=5 , 所 以 在 △ ABC

中 ,

cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 32 ? 52 ? 7 2 1 ? ?? , 2 AB ? AC 2 ? 3? 5 2

所以 A ? 120 . 考点:正弦定理,余弦定理. 18. (1)原式 ? 2 cos x ? 2 sin x cos x ?
2

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? tan x 20 ? ? sin 2 x ? cos2 x tan2 x ? 1 13

(2) f ( x) 在 ??

1 ? ? ? ,0? 上的最大值为 2 ? 2 ?

【解析】本试题主要是考查了向量共线,以及向量的数量积的运算,和三角函数的性质的综 合运用。 (1)因为∵ a // b ∴ sin x ?

3 3 cos x ? 0 ? tan x ? ? ,利用共线的概念得到 2 2

(2)根据向量的数量积公式表示出函数解析式,然后化为单一三角函数,运用二倍角公式 得到,并利用三角函数的性质得到最值。 解: (1)∵ a // b
2

∴ sin x ?

3 3 cos x ? 0 ? tan x ? ? 2 2

∴原式 ? 2 cos x ? 2 sin x cos x ?

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? tan x 20 ? ? sin 2 x ? cos2 x tan2 x ? 1 13
2

3 ? cos2 x ? 1 2 (2) 1 1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 2 4 f ( x) ? (a ? b) ? b ? a ? b ? b ? sin x cos x ?
∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

3? ? ? ? 2 ? 2 x ? ? , ? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2
∴ f ( x) 在 ??

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

1 ? ? ? ,0? 上的最大值为 2 ? 2 ?

19. (Ⅰ)详见解析 (Ⅱ) ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? 2n ? 2 【解析】 (Ⅰ)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 2 ,即 bn?1 ? bn ? 2 ,又

b1 ? a2 ? a1 ?1,所以 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

答案第 5 页,总 8 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? 1 ? 2(n ?1) ,即 an?1 ? an ? 2n ?1 ,于是

? (ak ?1 ? ak ) ? ? (2k ?1) ,
k ?1 k ?1

n

n

所以 an?1 ? a1 ? n2 ,即 an?1 ? n2 ? a1 ,又 a1 ? 1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? 2n ? 2 . 20. 〖解〗(1) an ? n (n ? N *) (2) Tn ? (n ? 1) ? 2n ? 1 【解析】 试题分析:解:(1)当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n 又 a1 ? S1 ? 1 ,也满足上式,所以 an ? n (n ? N *) (2) bn ? an ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ,所以 Tn ? 1?1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ?

? n ? 2n?1 ,

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n , 两式相减,得

?Tn ? 1 ? 21 ? 22 ?

? 2n?1 ? n ? 2n ?

1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 1? 2

所以, Tn ? (n ? 1) ? 2n ? 1 考点:等比数列 点评:主要是考查了等比数列的错位相减法求和的运用也是高考的热点,属于中档题.

21. (I) an ? 2n ? 1 ; (II) Tn ? 3 ? 9n ? 1? ? n2 .
8

【解析】
2 试题分析: ( I )由题设可知 1 , d 是一元二次方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的两根,由韦达定理得

3 ? 1? d ? , ? ? a 由此可解得 a , d 的值, 进而可写出 a n 的通项公式; (II) 由 (I) 知 bn ? 32 n ?1 ? 2n ? 1 , ? 2 ?1 ? d ? . ? a ?

写出 Tn 的表达式,根据 Tn 的结构特征采用分组求和法求 Tn .
3 ? 1? d ? , ? ?a ? 1 , ? a 试题解析: ( I )易知: a ? 0 , 由题设可知 ? ?? ? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1. 2 ?d ? 2 . ?1? d ? . ? a ?

6分 (II)由(I)知 bn ? 32 n ?1 ? 2n ? 1 ,

答案第 6 页,总 8 页

? Tn ? ? 3 ? 1? ? ? 3 ? 3? ?
3

? ?3

2 n ?1

? 2n ? 1? ? ? 3 ? 3 ?
1 3

?3

2 n ?1

? ? ?1 ? 3 ?

? 2n ? 1? ?

31 ?1 ? 9n ? 1? 9

?

?1 ? 2n ? 1? n
2

?

3 n ?9 ? 1? ? 8

12 分 考点:1.一元二次不等式的解法;2.等差数列通项公式的求法;2.分组法求数列前 n 项 和. 22. (Ⅰ)最小值 f (1) ? 1 ; (Ⅱ) m ? ln 2 2 ; 【解析】 试题分析: (Ⅰ)对函数求导,判断单调性,得 f ( x) 在 (0,1) 上为减函数, 在 (1,??) 上为增函数∴当 x ? 1 时, f ( x) 有最小值 f (1) ? 1

(Ⅱ)对式子转化

2x ? m ? x ? 2 x ? m ? xg( x) g ( x)

? 2 x ? m ? xe x ? x 2 ? m ? x 2 ? 2 x ? xe x
要想存在正数 x ,使 m ? h( x) ,则有 m ? h( x) max ? ln 2 2 , 转化为求 h( x) 的最大值问题,借助导数知识求解,
2 ∴所求的 m 的取值范围是 m ? ln 2 .

试题解析: (Ⅰ)∵ g ? (x ) ? 由g? (x ) ? 0 ,得 x ? 0

ex ? 1

(x ) ? 0 , g(x )在(??, 0)上为减函数, ? 当 x ? 0 时, g ?
当 x ? 0 时, g ? (x ) ? 0 , g(x )在(0, ? ?)上为增函数,

? g(x )在 x ? 0 时有最小值 g(0) ? 1 .
(Ⅱ)

2x ? m ? x ? 2 x ? m ? xg ( x)(? g ( x) ? e x ? x ? 0) g ( x)

? 2 x ? m ? xe x ? x 2 ? m ? x 2 ? 2 x ? xe x
令 h( x) ? x ? 2 x ? xe ( x ? 0)
2 x

则 h?( x) ? 2x ? 2 ? e ? xe ? x(2 ? e ) ? (2 ? e ) ? ?( x ? 1)(e ? 2)
x x x x x

答案第 7 页,总 8 页

∴当 x ? ln 2 时 h ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? ln 2 时 h ?( x) ? 0 ∴ h( x) max ? h(ln 2) ? ln 2 2 要想存在正数 x ,使 m ? h( x) ,则有 m ? h( x) max ? ln 2 2 ∴所求的 m 的取值范围是 m ? ln 2 2 . 考点:导数,函数.

答案第 8 页,总 8 页


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