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高等数学下册期末考试试题及答案

时间:2017-07-28


高数
高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期:2009 年

?2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 9 ? 1、求曲线 ? 在点 M 0 (1, ?1, 2) 处的切线及法平面方程. 2 2 2 ? z ? 3x ? y ?
2、求由曲面 z

? 2 x2 ? 2 y 2 及 z ? 6 ? x2

? y 2 所围成的立体体积.
n

3、判定级数

? (?1)
n ?1

?

ln

n ?1 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? n
具有二阶连续偏导数,求

4.设 z

x ? f ( xy, ) ? sin y ,其中 f y

?z ? 2 z . , ?x ?x?y

5. 计算曲面积分

??
?

dS , z

其中 ? 是球面 x

2

? y 2 ? z 2 ? a2 被平面 z ? h (0 ? h ? a) 截出的顶部.

6. 抛物面 z

? x 2 ? y 2 被平面 x ? y ? z ? 1 截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.

7. 计算曲面积分 I

? ?? 2x3dydz ? 2 y3dzdx ? 3( z 2 ?1)dxdy ,其中 ? 为曲面 z ? 1 ? x2 ? y 2 ( z ? 0) 的上侧
?

8. 设

f ( x)

为连续函数,

f ( 0 )? a



F (t ) ? ??? [ z ? f ( x 2 ? y 2 ? z 2 )]dv
?t

,其中

?t

是由曲面

z ? x2 ? y 2



z ? t 2 ? x2 ? y2

所围成的闭区域,求

t ?0

lim ?

F (t ) . t3

高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月

dz ? dy 3y ? z ? ?2 x ? dx ? dx 1、解:方程两边对 x 求导,得 ? , dy dz ? y ? z ? ?3x ? dx dx ?
该曲线在

从而

dy 5x ?? dx 4y



dz 7 x …………..【4】 ? dx 4 z

?1, ?1,2? 处的切向量为 T ? (1,

? ?

5 7 1 , ) ? (8,10,7). …………..【5】 4 8 8

故所求的切线方程为

x ?1 y ? 1 z ? 2 ………………..【6】 ? ? 8 10 7

法平面方程为

8? x ?1? ? 10 ? y ?1? ? 7 ? z ? 2? ? 0



8x ? 10 y ? 7 z ? 12 ……..【7】

第 1 页 共 2 页

高数
? z ? 2x2 ? 2 y 2 ? x2 ? y 2 ? 2 ,该立体 ? 在 xOy 面上的投影区域为 Dxy : x 2 ? y 2 ? 2 .…..【2】 2、解: ? 2 2 ?z ? 6 ? x ? y
故所求的体积为 V

? ??? dv ? ? d? ?
? 0

2?

2 0

?d ? ?

6? ? 2 2?
2

dz ? 2? ?

2 0

? (6 ? 3? 2 )d ? ? 6? ……..【7】

3、解:由

? 1 1 lim n un ? lim n ln(1 ? ) ? lim ln(1 ? ) n ? 1 ? 0 ,知级数 ? un n?? n?? n n?? n n ?1

发散…………………【3】



1 1 1 【7】 | un |? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ?| un?1 | , lim | un |? lim ln(1 ? ) ? 0 .故所给级数收敛且条件收敛. n?? n?? n n ?1 n

4、解:

?z 1 1 ? ( f1?? y ? f 2? ? ) ? 0 ? yf1? ? f 2? , ?x y y

…………………………………【3】

1 x ?2 z x 1 1 x ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? f1?? y[ f11 ? x ? f12 ? (? 2 )] ? 2 f 2? ? [ f 21 ? x ? f 22 ? (? 2 )] ? f1? ? xyf11 ? 2 f 2? ? 3 f 22 . 【7】 y y ?x?y y y y y
5、解: ? 的方程为

z ? a2 ? x2 ? y 2

,? 在

xOy 面上的投影区域为 Dxy ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? a 2 ? h2} .



2 2 1 ? zx ? z y ? a

a 2 ? x 2 ? y 2 ,…..………【3】
a 2 ? h2

2? a 2 ? h2 ? d ? dS adxdy ? 1 2 2 ? 故 ?? z ? D a 2 ? x2 ? y 2 ? a ? 0 d? ? 0 a 2 ? ? 2 ? 2? a ?? 2 ln(a ? ? )?0 ?? ? ? ? xy

? 2? a ln

a ..【7】 h

6. 解:设

M ( x, y, z) 为该椭圆上的任一点,则点 M

到原点的距离为

d ? x 2 ? y 2 ? z 2 ……【1】



L( x, y, z) ? x2 ? y 2 ? z 2 ? ?( z ? x2 ? y 2 ) ? ?( x ? y ? z ?1) ,

? Lx ? 2 x ? 2? x ? ? ? 0 ? L ? 2 y ? 2? y ? ? ? 0 ? y ?1 ? 3 ? Lz ? 2 z ? ? ? ? ? 0 ,解得 x ? y ? 则由 ? , z ? 2 ? 3 .于是得到两个可能极值点 2 ? z ? x2 ? y 2 ? x ? y ? z ?1 ? ?

M1 (

?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 , ,2 ? 3), M 2 ( , ,2 ? 3). …………………【7】 2 2 2 2

又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得. 故

d max ?| OM 2 |? 9 ? 5 3, d min ?| OM1 |? 9 ? 5 3.

……【9】

7. 解 : 取

?1



z ? 0( x2 ? y 2 ? 1)

的 下 侧 , 记

?



?1

所 围 成 的 空 间 闭区 域为

?

, 则 由 高 斯 公 式, 有

第 2 页 共 2 页

高数
I2 ?
???1

? 2 x dydz ? 2 y dzdx ? 3? z ??
3 3

2

? 1? dxdy ? ??? 6 ? x 2 ? y 2 ? z ? dv ………….…
?

【5】

? 6 ? d? ? d ? ?
0 0

2?

1

1? ? 2 0

??

2

? z ?? dz ? 2? …………………….…【7】

而 1

I ? ?? 2 x3dydz ? 2 y 3dzdx ? 3 ? z 2 ? 1? dxdy ? ?? 3 ? z 2 ? 1? dxdy ? 3
?1 ?1

x ? y ?1
2 2

??

dxdy ? 3? ….…

【9】

? I ? I 2 ? I1 ? 2? ? 3? ? ?? . …………………….…
2?

【10】

8. 解:

F ? t ? ? ? d? ? 4 sin ? d? ? ?r cos ? ? f ? r 2 ? ? r 2dr ….… ? 0 0 0?
t

?

【2】

? t t ? ? ? 3 4 ? 2? ? ? sin ? cos ? d? ? r dr ? ? 4 sin ? d? ? f ? r 2 ? r 2 dr ? 0 0 0 0 ? ?

?t4 ?? ? ? 2? 2 ?8

?

??

t

? r 2 f ? r 2 ? dr ? ….… 0 ?

【4】

F ?t ? 故 lim ? lim 3 t ?0 ? t t ?0 ?

??

? t3 ? ? 2 ? 2 t 2 f (t 2 ) ? ?2 ? ? 2 ? 2 ? lim f (t 2 ) ? 2 ? 2 ? a. 2 t ?0 ? 3t 3 3

?

?

【6】

第 3 页 共 2 页


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