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1.3.1函数的单调性(2)u


复习:函数的单调性指的是什么?

注意!
1、函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质,是函数的局部性质; 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)或 f(x1)>f(x2) 才能称之在区间D内是增函数 或减函数.

利用定义判断或证明函数f(x)在

给定的区间D 上的单调性的一般步骤:

1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;
2 作差变形(通常是因式分解和配方)

f(x1)-f(x2);
3 判断符号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

4 结论(即指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单 调性).

1 函数 f ( x) ? 1 ? 在(? ?,0 )上是增函数。 x

练习: 试判断函数 y ? x的单调性并证明 .
作出该函数的图象

比较其中的两个函数图象及其值域,你能发现什么?

一般地, 设函数y ? f ( x)的定义域I , 如果存在实数 M满足 : (1)对于任意的x ? I , 都有f ( x) ? M ; (2)存在x0 ? I , 使得f ( x0 ) ? M . 那么, 我们称M是函数y ? f ( x)的最小值.

思考 : 你能结合f ( x ) ? ? x 2的图象,仿照函数最小 值的定义, 给出函数y ? f ( x )的最大值的定义吗 ?

一般地, 设函数y ? f ( x )的定义域I , 如果存在实数M满足 : (1)对于任意的x ? I , 都有f ( x ) ? M ; ( 2)存在x0 ? I , 使得f ( x0 ) ? M . 那么, 我们称M是函数y ? f ( x )的最大值.
练习:P32 5

例4 : 已知函数 f ( x) ?

2 ( x ? [4,8]), 求函数的最大值和最小 值. x?3

例3 :"菊花" 烟花是最壮观的烟花之 一, 制造时一般是期在 它达到最高点时爆裂 .如果烟花距地面的高度 h(m)与时时间 t(s)之间的关系为 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18那么烟花冲出后 什么时候是它爆裂的最 佳时刻? 这时距地面的高度是多 少?

利用函数单调性求最值
已知函数f ( x ) ? x ? 2 x ? 3
2

(1)若x ? ?? 2,0?,求函数f ( x )的最值;

( 2 )若x ? ?2,4? ,求函数f ( x )的最值;
?1 5? ( 3 )若x ? ? , ?,求函数f ( x )的最值; ?2 2? ? 1 3? ( 4 )若x ? ?? , ?,求函数f ( x )的最值; ? 2 2?


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