nbhkdz.com冰点文库

2016届江西省南昌三中高三(上)第三次月考数学试卷(理科)(解析版)

时间:


2015-2016 学年江西省南昌三中高三(上)第三次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( )

A.M∪N C.(?UM)∪(?UN) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合.

B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

【分析】由题意可得 5∈?UM,且 5∈?UN;6∈?UM,且 6∈?UN,从而得出结论.

【解答】解:∵5?M,5?N,故 5∈?UM,且 5∈?UN. 同理可得,6∈?UM,且 6∈?UN, ∴{5,6}=(?UM)∩(?UN), 故选:D. 【点评】本题主要考查元素与集合的关系,求集合的补集,两个集合的交集的定义,属于基 础题.

2.设 a,b∈R,则“(a﹣b)a2<0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分必要条件定义判断,结合不等式求解. 【解答】解:∵a,b∈R,则(a﹣b)a2<0, ∴a<b 成立,

由 a<b,则 a﹣b<0,“(a﹣b)a2≤0, 所以根据充分必要条件的定义可的判断: a,b∈R,则“(a﹣b)a2<0”是 a<b 的充分不必要条件, 故选:A 【点评】本题考查了不等式,充分必要条件的定义,属于容易题.

3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+2﹣Sn=36,则 n=(



A.5

B.6

C .7

D.8

【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由 Sn+2﹣Sn=36,得 an+1+an+2=36,代入等差数列的通项公式求解 n. 【解答】解:由 Sn+2﹣Sn=36,得:an+1+an+2=36, 即 a1+nd+a1+(n+1)d=36, 又 a1=1,d=2, ∴2+2n+2(n+1)=36. 解得:n=8. 故选:D. 【点评】本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的通项公式,是基础题.

4.已知向量

,若

,则 k 等于(



A.6

B.﹣6

C.12

D.﹣12

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】计算题. 【分析】先根据向量的加减和数乘运算求出 立等式,求出 k 的值即可. 【解答】解:∵ , 的坐标,然后根据 建

∴ ∵ ∴(2 解得 k=12

=(4,2)﹣(﹣1,k)=(5,2﹣k) , ) =2×5+1×(2﹣k)=0

故选:C. 【点评】 本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系, 以及向量的加减和数乘运算, 属于基础题.

5.设函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值是 1,最小值是﹣7,那么 acosx+bsinx 的最 大值是( A.1? ) B.4 C .5 D.7?

【考点】三角函数的最值. 【专题】计算题. 【分析】先根据函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值是 1,最小值是﹣7 求出 a,b 的值, 然后代入到 acosx+bsinx 中根据辅角公式进行化简,再由正弦函数的最值可得到答案.

【解答】解:∵函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值是 1,最小值是﹣7,

∴若 a>0,则 a+b=1,b﹣a=﹣7∴b=﹣3,a=4 若 a<0,则 a+b=﹣7,b﹣a=1,解得,a=﹣4,b=﹣3 代入到 acosx+bsinx 得到:4cosx﹣3sinx=5(cosx﹣sinx), 不妨设 sinρ=,cosρ=, 则据两角和的正弦公式有,4cosx﹣3sinx=5sin(x+ρ), ∴acosx+bsinx 的最大值等于 5 故选:C. 【点评】本题主要考查三角函数的最值和辅角公式的应用.考查基础知识的综合应用,属于 中档题.

6.如图,在△ ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 的值为( )

BD,BC=2BD,则 sinC

A. 【考点】余弦定理. 【专题】解三角形.

B.

C.

D.

【分析】设 BD=a,则由题意可得:BC=2a,AB=AD=

a,利用余弦定理表示出 cosA,把

三边长代入求出 cosA 的值,进而确定出 sinA 的值,由 AB,BC,以及 sinA 的值,利用正 弦定理求出 sinC 的值即可. 【解答】解:设 BD=a,则由题意可得:BC=2a,AB=AD= a,

在△ ABD 中,由余弦定理得:cosA=

=

=,

∴sinA=

=



在△ ABC 中,由正弦定理得,

=

,即

=



解得:sinC= 故选:D.



【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解 本题的关键.

7.已知 sin(π+θ)+cos(

+θ)=﹣2

cos(2π﹣θ),则 sinθcosθ﹣cos2θ=(



A.

B.﹣

C.

D.

【考点】同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.

【专题】三角函数的求值. 【分析】已知等式利用诱导公式化简,再利用同角三角间基本关系求出 tanθ 的值,原式分 母看做“1”,利用同角三角函数间基本关系化简后,将 tanθ 的值代入计算即可求出值.

【解答】解:已知等式整理得:﹣sinθ﹣sinθ=﹣2

cosθ,即﹣2sinθ=﹣2

cosθ,

∴tanθ= 则原式= 故选:C.

, = = = ,

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

8.△ ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量,满足 是( A.||=1 ) B.⊥ C. =1

=2,

=2+,则下列结论正确的

D.(4+)⊥

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由题意,知道 , ,根据已知三角形为等边三角形解之.

【解答】解:因为已知三角形 ABC 的等边三角形,,满足 ∴的方向应该为 所以 所以 4 , =2, 的方向. , =1×2×cos120°=﹣1, =4,所以 ;

=2,

=2+,又



=4×1×2×cos120°=﹣4, =0,所以

=0,即(4



=0,即

故选 D.

【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用;注意:三角形的内角与向量的夹角的关系.

9.函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称,则 y=f(x)的反函 数是( ) B.y=g(﹣x) C.y=﹣g(x) D.y=﹣g(﹣x)

A.y=g(x) 【考点】反函数.

【专题】函数的性质及应用. 【分析】设 P(x,y)为 y=f(x)的反函数图象上的任意一点,则 P 关于 y=x 的对称点 P′ (y,x)一点在 y=f(x)的图象上,P′(y,x)关于直线 x+y=0 的对称点 P″(﹣x,﹣y) 在 y=g(x)图象上,代入解析式变形可得. 【解答】解:设 P(x,y)为 y=f(x)的反函数图象上的任意一点, 则 P 关于 y=x 的对称点 P′(y,x)一点在 y=f(x)的图象上, 又∵函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称, ∴P′(y,x)关于直线 x+y=0 的对称点 P″(﹣x,﹣y)在 y=g(x)图象上, ∴必有﹣y=g(﹣x),即 y=﹣g(﹣x) ∴y=f(x)的反函数为:y=﹣g(﹣x) 故选:D 【点评】本题考查反函数的性质和对称性,属中档题.

10.已知函数

的两个极值点分别为 x1,x2,且 x1∈(0,1),x2∈

+∞) n 为横、 n) (1, , 记分别以 m, 纵坐标的点 P (m, 表示的平面区域为 D, 若函数 y=loga (x+4)(a>1)的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为( )

A.(1,3]

B.(1,3)

C.(3,+∞)

D.[3,+∞)

【考点】函数在某点取得极值的条件. 【专题】导数的综合应用. 【分析】根据极值的意义可知,极值点 x1、x2 是导函数等于零的两个根,可得方程 x2+mx+ (m+n)=0 的两根,一根属于(0,1),另一根属于(1,+∞),从而可确定平面区域为 D,

进而利用函数 y=loga(x+4) (a>1)的图象上存在区域 D 上的点,可求实数 a 的取值范围.

【解答】解:求导函数可得 y'=x2+mx+(m+n), 依题意知,方程 y'=0 有两个根 x1、x2,且 x1∈(0,1),x2∈(1,+∞), 构造函数 f(x)=x2+mx+(m+n), ∴ ,∴ ,

∵直线 m+n=0,2+3m+n=0 的交点坐标为(﹣1,1) ∴要使函数 y=loga (x+4) (a>1) 的图象上存在区域 D 上的点, 则必须满足 1<loga (﹣1+4)

∴loga3>1,解得 a<3 又∵a>1, ∴1<a<3, 故选 B.

【点评】 本题主要考查了利用导数研究函数的极值, 以及二元一次不等式 (组) 与平面区域, 属于中档题.

11.已知函数 f(x)=ax3﹣3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则实数 a 的取 值范围是( A.(1,+∞) ) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用.

【分析】由题意可得 f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;分类讨论确定函数的零点 的个数及位置即可. 【解答】解:∵f(x)=ax3﹣3x2+1, ∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1; ①当 a=0 时,f(x)=﹣3x2+1 有两个零点,不成立; ②当 a>0 时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上有零点,故不成立; ③当 a<0 时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(0,+∞)上有且只有一个零点; 故 f(x)=ax3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上没有零点; 而当 x=时,f(x)=ax3﹣3x2+1 在(﹣∞,0)上取得最小值; 故 f()= 故 a<﹣2; 综上所述, 实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2); 故选:D. 【点评】 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用, 同时考查了函数的零点的判定 的应用,属于基础题. ﹣3 +1>0;

12.已知数列{an}满足 an=nkn(n∈N*,0<k<1)下面说法正确的是( ①当 k=时,数列{an}为递减数列; ②当<k<1 时,数列{an}不一定有最大项; ③当 0<k<时,数列{an}为递减数列; ④当 A.①② 为正整数时,数列{an}必有两项相等的最大项. B.②④ C.③④



D.②③

【考点】数列的函数特性. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】分别根据数列的通项公式进行判断即可. 【解答】解:①当 ∵ 时, ,

,∴a1=a2,即数列{an}不是递减数列,∴①错误.

②当

时,

=

=







因此数列{an}数列{an}可有最大项,因此错误; ③当 为递减数列; ④ = = , 时, = = ≤1,∴an+1<an,故数列{an}



为正整数时,1>



当 k=时,a1=a2>a3>a4>…. 当 时,令 ,解得 k= ,则 ,数列{an}必有两项

相等的最大项. 故选:C. 【点评】本题考查了数列的单调性和分类讨论的思想方法,属于难题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)

13.复数 z=

的共轭复数是 ﹣1﹣i .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题. 【分析】根据复数除法法则,分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式,再根据共轭复 数的定义求出所求即可. 【解答】解:z= ∴复数 z= = 的共轭复数是﹣1﹣i = =﹣1+i

故答案为:﹣1﹣i

【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,以及共轭复数的定义,同时考查了运算 能力,属于基础题.

14.已知||=2,||=6,与的夹角为 【考点】平面向量数量积的运算.

,则

在上的投影为 5 .

【专题】计算题;向量法;综合法;平面向量及应用. 【分析】根据投影的定义便可得到向量 在上的投影为

= 值.

,而根据条件是可以求出

的,从而便可得出

在上的投影的

【解答】解:根据条件, =

在上的投影为:

= 故答案为:5.

=



【点评】考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义,向量夹角的余弦公式,以及向量 数量积的计算公式.

15.设 f(x)=ax﹣b,其中 a,b 为实数,f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n=1, 2,3,…,若 f7(x)=128x+381,则 a+b= ﹣1 . 【考点】函数的表示方法. 【分析】由 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x))推理出 f7(x)建立方程,再用待定系 数法求得. 【解答】解:由 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n=1,2,3,…, 又∵f7(x)=128x+381 ∴a7x﹣(a6+a5+…+1)b=128x+381 ∴a7=128 且﹣(a6+a5+…+1)b=381 ∴a=2,b=﹣3

∴a+b=﹣1 故答案是:﹣1 【点评】本题主要考查求函数解析式和待定系数法.

16.已知函数 值为 .

,则 f(x)的最小

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】分别研究分子、分母的最小值与最大值,即可求得 f(x)的最小值.

【解答】解:考查函数 g(x)=sinπx﹣cosπx+2= ∵ ∴0≤πx﹣ ≤π )≤ 1 +2

sin(πx﹣

)+2

∴0≤sin(πx﹣ ∴2≤g(x)≤

当且仅当 x=或时,函数 g(x)取得最小值 2 又 h(x)= ,当且仅当 x=时,函数 h(x)取得最大值

∴当且仅当 x=时,f(x)的最小值为

故答案为: 【点评】本题考查函数的最值,解题的关键是确定分子、分母的最小值与最大值,属于中档 题.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设函数 f(x)= ﹣ sin2ωx﹣sinωxcosωx(ω>0),且 y=f(x)的图象的一个对称 ,

中心到最近的对称轴的距离为

(Ⅰ)求 ω 的值 (Ⅱ)求 f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值.

【考点】 二倍角的余弦; 两角和与差的正弦函数; 二倍角的正弦; 正弦函数的定义域和值域.

【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ) 通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式, 利用函数的正确求出 ω 的值 (Ⅱ)通过 x 的范围求出相位的范围,利用正弦函数的值域与单调性直接求解 f(x)在区 间[ ]上的最大值和最小值. ﹣ sin2ωx﹣sinωxcosωx

【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)= = = = .

因为 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

,故周期为 π

又 ω>0,所以

,解得 ω=1; ), , , , ]上的最大值和最小值分别为: .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=﹣sin(2x﹣ 当 所以 因此,﹣1≤f(x) 所以 f(x)在区间[ 时,

【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数,三角函数的周期,正弦函数的 值域与单调性的应用,考查计算能力.

18.数列{an}中,a1=3,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3,…),且 a1,a2,a3 成公比不 为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式. 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(1)由递推式表示出 a2,a3,由 a1,a2,a3 成等比数列可得关于 c 的方程,解出 即得 c 值,注意检验; (2)利用累加法可求得 an,注意检验 n=1 时是否满足 an; 【解答】解:(1)a1=3,a2=3+c,a3=3+3c, ∵a1,a2,a3 成等比数列,∴(3+c)2=3(3+3c), 解得 c=0 或 c=3. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故 c=3. ( 2)当 n≥2 时,由 a2﹣a1=c,a3﹣a2=2c,…,an﹣an﹣1=(n﹣1)c,

. 又 a1=3,c=3,∴ 当 n=1 时,上式也成立, ∴ . .

【点评】本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识,属中档题.

19.某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以 及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收 获 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米.

(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率;

(II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

【考点】离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望 与方差. 【专题】概率与统计. 【分析】(I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数,分别求出基本事件的个数,即 可求它们恰好“相近”的概率; (II)确定变量的取值,求出相应的概率,从而可得年收获量的分布列与数学期望.

【解答】解: (I)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3, 边界上的作物株数为 12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36 种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8,∴从三角形地块的内部 和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率为 =;

(II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 Y 的分布列 ∵P(Y=51)=P(X=1),P(48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4)

∴只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3

由 P(X=k)=

得 P(X=1)=

,P(X=2)=

,P(X=3)=

=,P(X=4)=

=

∴所求的分布列为 Y P 数学期望为 E(Y)=51× +48× +45×+42×=46 51 48 45 42

【点评】本题考查古典概率的计算,考查分布列与数学期望,考查学生的计算能力,属于中 档题.

20. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示, 其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形.

(1)求证:BN⊥平面 C1B1N; (2)设 θ 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角,求 sinθ 的值; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上求一点 P,使 MP∥平面 CNB1,求 的值.

【考点】直线与平面所成的角;简单空间图形的三视图;直线与平面平行的判定;直线与平 面垂直的判定. 【专题】综合题. 【分析】(1)该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, BA,BC,BB1 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BC,BB1 所在直线别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 ,证出 =0, =0 后即可证明 BN⊥平面 C1B1N; ,利用 与此法向量的夹角求出直线 C1N 与平面

(2)求出平面 NCB1 的一个法向量 CNB1 所成的角

(3)设 P(0,0,a)为 BC 上一点,由 MP∥平面 CNB1,得知 为 0 求出 a 的值,并求出 .



,利用向量数量积

【解答】(1)证明:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直 角梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直. …(2 分)

以 B 为坐标原点,分别以 BA,BB1,BC 所在直线别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,

则 N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4) ∵ =(4,4,0)(﹣4,4,0)=﹣16+16=0 =(4,4,0)(0,0,4)=0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; …(4 分)

(2)解:设 n2=(x,y,z)为平面 NCB1 的一个法向量, 则



;…(8 分) ,∵MP∥

(3)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 平面 CNB1, ∴ 又 PM?平面 CNB1,∴MP∥平面 CNB1, ∴当 PB=1 时,MP∥平面 CNB1 ∴ …(12 分) .

【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断,线面角求解,利用空间向量的 方法,能够降低思维难度,但要注意有关的运算要准确.

21.已知函数 f(x)=ax﹣2

﹣1(a>0 且 a≠1).

(1)求函数 f(x)的定义域、值域; (2)求实数 a 的取值范围,使得函数 f(x)满足:当定义域为[1,+∞)时,f(x)≥0 恒成 立. 【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法;函数的值域. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)由根式内部的代数式大于等于 0 得 ax≤4.然后分 a>1,0<a<1 求得函数的 定义域.令 t= 换元,配方后利用函数的单调性求函数 f(x)的值域;

(2)结合(1)中的函数定义域可得 0<a<1 时,函数的定义域为[loga4,+∞).然后把使 定义域为[1,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,转化为 ≥0 恒成立的实数 a 的值不存在. 【解答】解:(1)由 4﹣ax≥0,得 ax≤4. 当 a>1 时,x≤loga4;当 0<a<1 时,x≥loga4. 即当 a>1 时,f(x)的定义域为(﹣∞,loga4];当 0<a<1 时,f(x)的定义域为[loga4, +∞). 令 t= ,则 0≤t<2,且 ax=4﹣t2, ,分析可知 f(x)

∴f(x)=g(t)=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣(t+1)2+4, 当 t≥0 时,g(x)是 t 的单调减函数, ∴g(2)<g(t)≤g(0),即﹣5<f(x)≤3, ∴函数 f(x)的值域是(﹣5,3]; (2)当 a>1 时,f(x)的定义域为(﹣∞,loga4],不满足题意; 当 0<a<1 时,函数的定义域为[loga4,+∞). 要使定义域为[1,+∞)时,f(x)≥0 恒成立, 则 ,

由①得:a≤4,又 0<a<1,∴0<a<1; 由②得:ax≥3.此式对于任意 0<a<1 不满足在[1,+∞)上恒成立.

综上,当定义域为[1,+∞)时,f(x)≥0 恒成立的实数 a 的值不存在. 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,训练了利用换元法求函数的值域,对于(2) 的解答,体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,是中档题.

22.已知函数 f(x)=ln(x+1)+ax2﹣x,a∈R. (Ⅰ)当 a=时,求函数 y=f(x)的极值; (Ⅱ)若对任意实数 b∈(1,2),当 x∈(﹣1,b]时,函数 f(x)的最大值为 f(b),求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)将 a=时代入函数 f(x)解析式,求出函数 f(x)的导函数,令导函数等于 零,求出其根;然后列出 x 的取值范围与 f′(x)的符号及 f(x)的单调性情况表,从表就 可得到函数 f(x)的极值; (Ⅱ)由题意首先求得: ,故应按 a<0,a=0,a>0 分

类讨论:当 a≤0 时,易知函数 f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 从而当 b∈(0,1)时 f(b)<f(0),则不存在实数 b∈(1,2),符合题意;当 a>0 时, 令 f′(x)=0 有 x=0 或 ,又要按根 大于零,小于零和等于零分类讨论;

对各种情况求函数 f(x)x∈(﹣1,b]的最大值,使其最大值恰为 f(b),分别求得 a 的取 值范围,然而将所得范围求并即得所求的范围;若求得的 a 的取值范围为空则不存在,否则 存在. 【解答】解:(Ⅰ)当 a=时, 则 列表如下: x f′(x) f(x) (﹣1,0) + 增 0 极大值 0 ﹣ 减 (0,1) 1 0 极小值 + 增 (1,+∞) ,化简得 , (x>﹣1),

∴函数 f(x)在(﹣1,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且 f(0) =0,

f(1)=ln2﹣, ∴函数 y=f(x)在 x=1 处取到极小值为 (Ⅱ)由题意 ,在 x=0 处取到极大值为 0; ,

(1)当 a≤0 时,函数 f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,

此时,不存在实数 b∈(1,2),使得当 x∈(﹣1,b)时,函数 f(x)的最大值为 f(b);

(2)当 a>0 时,令 f′(x)=0 有 x=0 或 ①当 ,即 a>时,函数 f(x)在(

, )和(0,+∞)上单调递增,

在(

)上单调递减,要存在实数 b∈(1,2),使得当 x∈(﹣1,b]时,

函数 f(x)的最大值为 f(b),则 f(

)<f(1),代入化简得



令 ∵

(a>), 恒成立,故恒有 ,

∴a ②当

时,

恒成立; ,即 0<a<时,函数 f(x)在(﹣1,0)和( )上单调递增,

在(0,

)上单调递减,此时由题,只需

,解得 a≥1﹣ln2,

又 1﹣ln2



∴此时实数 a 的取值范围是 1﹣ln2≤a<; ③当 a=时,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,显然符合题意.

综上,实数 a 的取值范围是[1﹣ln2,+∞). 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,着重考查 了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法, 解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能 力,属难度较大的题目.


赞助商链接

江西省南昌三中2016届高三英语第三次(11月)月考试题

江西省南昌三中2016届高三英语第三次(11月)月考试题_英语_高中教育_教育专区。南昌三中 2015—2016 学年度上学期第三次月考 高三英语试卷第Ⅰ卷(共 105 分) ...

江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第三次月考(语文)

江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第三次月考(语文)_数学_高中教育_教育专区。南昌市第三中学 2016 届高三上学期第三次月考 语文共 70 分) 第Ⅰ卷(阅读...

江西省南昌三中2016届高三第三次(11月)月考英语试卷

江西省南昌三中2016届高三第三次(11月)月考英语试卷_资格考试/认证_教育专区。南昌三中 2015—2016 学年度上学期第三次月考 高三英语试卷第Ⅰ卷(共 105 分) ...

2017届江西省南昌三中高三上学期11月第三次月考英语试题

2017届江西省南昌三中高三上学期11月第三次月考英语试题 - 南昌三中 2016—2017 学年度上学期第三次月考 命题:高三英语备课组 审题:胡会玲 第Ⅰ卷 第一部分:...

2016届江西省南昌三中高三第三次(11月)月考生物试题 wo...

2016届江西省南昌三中高三第三次(11月)月考生物试题 word版_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。2016 届江西省南昌三中高三第三次(11 月)月考生 物试题一...

2017届江西省南昌三中高三上学期11月第三次月考语文试题

2017届江西省南昌三中高三上学期11月第三次月考语文试题 - 南昌三中 2016—2017 学年度上学期第三次考试 高三语文试卷 命题:高三语文备课组 审题:任小龙 注意事项...

江西省南昌三中2016届高三第三次(11月)月考语文试题

江西省南昌三中2016届高三第三次(11月)月考语文试题_语文_高中教育_教育专区。...南昌三中 2015—2016 学年度上学期第三次月考 高三语文试卷第Ⅰ卷(阅读题 共...

江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第三次(11月)月...

江西省南昌市第三中学2016届高三上学期第三次(11月)月考语文试题_高三语文_语文_高中教育_教育专区。南昌三中 2015—2016 学年度上学期第三次月考 高三语文试卷...

江西省南昌三中2014届高三11月第三次月考数学理试题 Wo...

江西省南昌三中2014届高三11月第三次月考数学理试题 Word版含答案 隐藏>> 南昌三中 2013—2014 学年度上学期第三次月考 高三数学()试卷一、选择题:本大题共...

2016届江西省南昌三中高三第三次(11月)月考政治试题 wo...

2016届江西省南昌三中高三第三次(11月)月考政治试题 word版_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。2016 届江西省南昌三中高三第三次(11 月)月考政 治试题...