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第二部分 第4讲 转化与化归思想

时间:2015-10-15


第4讲

转化与化归思想

1.(2012 年江西)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( C ) A.5 B.4 C.3 D.2

解析:因为 x∈A,y∈B,所以当 x=-1 时,y=0,2,此时
z=x+y=-1,1.当 x=1 时,y=0,2,此时 z=x+y=1,3,所以

集合{z|z=-1,1,3}={-1,1,3}共三个元素.故选 C.

2.(2012 年浙江)设 a>0,b>0,( A )
A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<b

C.若2a-2a=2b-3b,则a>b
D.若2a-2a=2b-3b,则a<b 解析:若2a+2a=2b+3b,必有2a+2a>2b+2b.构造函数:

f(x)=2x+2x,则f′(x)=2x· ln2+2>0恒成立,故有函数 f(x)=2x
+2x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其余选项用同样方法

排除.故选 A.

3.(2012 年江西)如图 1,已知正四棱锥 S- ABCD 的所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一 动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成 上、下两部分,记 SE=x(0<x<1),截面下面部分 的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图象大致为( )

图1

1 解析:当0<x< 时,随着x的增大,观察图形可知,V(x) 2 1 单调递减,且递减的速度越来越快;当 ≤x<1时,随着x的增 2

大,观察图形可知,V(x)单调递减,且递减的速度越来越慢; 再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A. 答案:A

4.(2011 年湖北)若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0, 则称 a 与 b 互补,记j(a,b)= a2+b2 -a-b,那么j (a,b)= 0是 a 与 b 互补的( C ) A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则 a 与 b 至少有一个为 0,不妨设 b=0,则 φ(a,b)= a2-a=a-a=0; 反之,若 φ(a,b)= a2+b2-a-b=0, a2+b2=a+b≥0,两 边平方,得 a2+b2=a2+b2+2ab?ab=0,则 a 与 b 互补.故选 C.

1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难, 通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数

学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自
己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的, 这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”. 2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简 单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的 问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已 知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,

解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比 皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识

向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平
面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转 化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化 思想的体现. 3.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条 件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行 不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论 进行必要的验证.

4.化归与转化应遵循的基本原则:

(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于
我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简 单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的 启示和依据. (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更 符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推 演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.

(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题 来解决.

(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问
题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.

5.常见的转化与化归的方法:对于立体几何问题,通常要
转化为平面几何问题,对于多元问题,要转换为少元问题,对 于高次函数,高次方程问题,转化为低次问题,特别是熟悉的 一次、二次问题,对于复杂的式子,通过换元转化为简单的式 子问题等等.

函数、方程与不等式之间的转化与化归 函数、方程与不等式就像“同胞三兄弟”,解决方程、不

等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题也需要借助于方程、
不等式.因此通过函数、方程与不等式之间的转化与化归可以 将问题化繁为简. 例 1 : 已知 二 次 函 数 f(x)=ax2+2x-2a-1, 其中 x=
? 7π? 2sinθ?0<θ≤ 6 ? ? ?

.若二次方程 f(x)=0 恰有两个不相等的实根 x1 和

x2,求实数 a 的取值范围.

解:由以上分析,问题转化为二次方程 ax2+2x-2a-1 =0.在区间[-1,2]上恰有两个不相等的实根,由 y=f(x)的图象 (如图2 所示),得等价不等式组:

图 2

2 1?>0,?-1<- <2,?af?-1?=a?-a-3?≥0,?af?2?=a?2a+3? 2a 2 <2,?af?-1?=a?-a-3?≥0,?af?2?=a?2a+3?≥0. 2a
? 3? 的取值范围为?-3,-2?. ? ?

? 2 ?Δ=4+4a?2a+1?>0,?-1<- <2,?af?-1?=a?-a-3 2a ?

?≥0,?af?2?=a?2a+3?≥0.
解得实数 a

7π 【思维点拨】注意 0<θ≤ 6 ,则-1≤2sinθ≤2,即- 1≤x

≤2,问题转化为二次方程根的分布问题,根据图象得出等价的
不等式组.本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化,直观

明了.

【配对练习】 1.设函数 f(x)=ax3-3x+1,若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,求实数 a 的值.
解:(1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)=1>0 恒成立. (2)若 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 3 1 3 1 可化为 a≥x2-x3.设 g(x)=x2-x3, 3?1-2x? 则 g′(x)= x4 ,
? ?1 ? 1? ∴g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减. ? ? ? ?

?1? ∴g(x)max=g?2?=4,从而 ? ?

a≥4.

(3)若 x<0,即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 3 1 3 1 可化为 a≤x2-x3.设 h(x)=x2-x3, 3?1-2x? 则 h′(x)= x4 , ∴h(x)在[-1,0)上单调递增. ∴h(x)min=h(-1)=4,从而 a≤4. 综上所述,实数 a 的值为 4.

陌生的问题与熟悉的问题之间的转化与化归

解决新定义问题,首先要把定义读懂理解透,把陌生的新
内容转化为熟悉的已知的内容,在此基础上进一步研究熟悉的 问题. 例 2:如图3的韦恩图中,A,B是非空集合,定义集合A#B 为阴影部分表示的集合.若 x,y∈R,A={x|y= 2x-x2 },B ={y|y=3x(x>0)},则 A#B 为( )

图3

A.{x|0<x<2} C.{x|0≤x≤1 或 x≥2}

B.{x|1<x≤2} D.{x|0≤x≤1 或 x>2}

解析:A={x|y= 2x-x2 }={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B

={y|y=3x(x>0)}={y|y>1},则 A∩B={x|1<x≤2},根据新运算,
得 A#B=?A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1 或 x>2}. 答案:D 【思维点拨】根据图形语言可知定义的 A#B 转化为原有的 运算应该是表示为?A∪B(A∩B),所以需要求出 A∪B 和 A∩B,

借助数轴求出并集与交集.解题的关键是由图形语言把新定义
运算转化为原有的普通运算解出.

【配对练习】 2.从点 P(x,3)向圆 C:(x+2)2+(y+2)2=1 作切线,切线 PA 的长度最短为( B )
A.4 B.2 6 C.5 11 D. 2

解析:点 P(x,3)在直线 y=3 上,圆 C 的半径 r=1,显然有

|PA|= |PC|2-r2= |PC|2-1
“PA 长度最短”实质上就是“PC 长度最短”的“伪装”, |PC|min=|-2-3|=5,

即|PA|min= 52-1=2 6.

空间与平面之间的转化与化归
研究立体问题常常以平面为基准,把立体问题转化为平面 问题,把曲线问题转化为直线问题,把空间角与距离的计算总 是转化为平面内来求解,这就是空间与平面之间的转化与化归. 例 3:如图 4,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴 截面是边长为 2 的正方形,P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外 壁 A 处,内壁 P 处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的 最短路程为____________.

解析:把圆柱侧面展开,并把里面也展开,如图 4 所示, 则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段
2 AP,则 AB=p,BP=3,AP= π +9 .

图 4 答案: π2+9 【思维点拨】研究最短距离,需要把立体图展为平面图,

由两点间的线段最短,求线段的长.

【配对练习】
3.已知正三棱锥 S—ABC 的侧棱长为 2,侧面等腰三角形 的顶角为 30°,过底面顶点 A 作截面△AMN 交侧棱 SB,SC 分
2 2 别于 M,N ,则△ AMN 周长的最小值为____________ .

未知与已知之间的转化与化归 应用题、算法、信息给予题一直是高考的热点,解题的关 键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言,实现未知与 已知、陌生与熟悉的转化与化归. 例 4:若方程 x4+ax2+a2-1=0有且仅有一个实根,那么

实数 a 值的个数有(
A.1 个 C.3 个

)

B.2 个 D.4 个

解析:方法一:设 f(x)=x4+ax2+a2-1,则 f(x)为偶函数? f(x)与 x 轴交于原点?a2-1=0?a=±1,经检验 a=-1 时,原

方程有三个实数根,不合题意.故选 A.
方法二:设 x2=t≥0,方程x4+ax2+a2-1=0 转化为一元 二次 t2+at+a2-1=0, 原方程 x4+ax2+a2-1=0有且仅有一个实根,等价于 t2+ at+a2-1=0 有一负根一零根, a2-1=0,a=±1,经检验 a=-1 时,原方程有三个实数 根,不合题意.故选 A. 答案:A

【思维点拨】t2+at+a2-1=0 有两正根 ? 方程 x4+ax2+ a2-1=0 有4 个不同实根; t2+at+a2-1=0有一正 根一零 根?方 程x4+ax2+a2-1= 0 有 3 个不同实根; t2+at+a2-1=0有一正根一负根 ? 方程x4+ax2+a2-1= 0 有 2 个不同实根; t2+at+a2-1=0有一负根一零根 ? 方程x4+ax2+a2-1= 0 有 1 个不同实根; t2+at+a2-1=0有两负根或无根 ? 方程x4+ax2+a2-1= 0 有 0 个不同实根.

【配对练习】 1+f?x? ,则 4.已知 x∈R,a∈R,a 为常数,且 f(x+a)= 1-f?x? 函数 f(x)必有一周期为( C ) A.2a B.3a C.4a D.5a

解析:由于

? π? 1+tanx tan?x+4?= , ? ? 1-tanx

从而函数 f(x)的一个特例为正切函数 tanx,
π π 取a =4,可得必有一周期为 4a.故选 C. 取 a= ,可得必有一周期为 4 a . 故选 C. 4


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