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高中全程复习方略配套课件:3.1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数


第一节

任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数

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三年3考 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化.

高考指数:★★

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1.三角函数的定义及应用是本节的考

查重点,注意三角函数值
符号的确定.

2.主要以选择题、填空题的形式考查,题目属于低档题.

1.角的有关概念
端点 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着它的_____从一个位

旋转 置_____到另一个位置所成的图形.
正角 负角 零角 (2)分类:_____、_____、_____. (3)终边相同的角: k×360°,k∈Z 与角α 终边相同的角可构成集合S={β |β =α +______________}.

【即时应用】 (1)思考:角α 为锐角是角α 为第一象限角的什么条件?

提示:充分不必要条件.因为锐角为大于0小于 的角,而第一
象限角为(2kπ,2kπ+ ? )(k∈Z).
2

? 2

(2)若α 是第二象限角,判断下列表述是否正确.(在括号内填 “√”或“×”) ①{α |α =k×360°+45°,k∈Z} ②{α |90°<α <180°} ③{α |k×360°+90°<α <k×360°+180°,k∈Z} ( ( ( ) ) )

④{α |α =k×180°+135°,k∈Z}

(

)

【解析】①α=k×360°+45°,k∈Z表示的是与45°终边相同 的角,是第一象限的角,故不正确. ②90°<α<180°,不能表示所有第二象限的角,故不正确. ③正确. ④α=k×180°+135°表示的是当k为偶数时,与135°终边相 同的角;当k为奇数时,与315°终边相同的角,不能表示第二

象限的角,故不正确.
答案:①× ②× ③√ ④×

2.弧度的定义和公式 单位长度 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心 rad 弧度 角为1弧度的角,它的单位符号是____,读作_____.

(2)公式
角 ? 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式

l r ? =_____(弧长用l表示) ? 180 ①1°=______rad
弧长l=_______

180 ? ②1rad=(______) °

r?

1 1 2 lr r ? 2 2 S=_____ =_______

【即时应用】

(1)337°30′的弧度数是______.
(2)5? 的度数为______.
12

(3)扇形半径为45,圆心角为120°,则弧长为______. 【解析】(1)337°30′表示的弧度数为 337.5 ? ? ? 15? .
5? ?180? 5? (2) 的度数为 12 ? 75?. 12 ?
180 8

2? 2? , (3)圆心角120°对应的弧度数为 故弧长l= ×45=30π. 3 3 15? 答案:(1) (2)75° (3)30π 8

3.任意角的三角函数 y (1)定义:设角α 终边与单位圆交于P(x, y),则sinα =___,
y (x ? 0) x cosα =___,tanα =_______. x

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正
弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点

都是(1,0). 正弦线 如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α 的________,角α 的
正切线 余弦线 ________和角α 的________.

y
P

y
T
P

?
O
M

A(1,0)

?
O
M

A(1,0)

x

x
T

y
T
M

y

?
O

A(1,0)

?
O

M

A(1,0)

x

x
P T

P

(3)由三角函数的定义可得到以下关系: ①sin2α +cos2α =1(平方关系);② tan? ? sin? (商数关系).
cos?

【即时应用】 (1)已知角α 终边上的一点A(2,2),则tanα =______. (2)满足sinα > 1 的角α 的取值集合为______.
2

【解析】(1) tan? ? y ? 2 ? 1;
x 2

(2)作出正弦值等于 1 的角α的终边,正弦
2

值大于

1 的角的终边与单位圆的交点在劣弧 2

P1P2上,所以所求角的范围为图中的阴影部 分,α的取值集合为 {? | 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? 5 ?, k ? Z}.
6 6

答案:(1)1

(2) {? | 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? 5 ?, k ? Z}
6 6

终边相同的角的表示

【方法点睛】终边相同的角的表示及应用
(1)所有与α 的终边相同的角都可表示为β =α +k×360°,k∈Z. (2)根据与α 终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角, 也可以根据α 的终边所在的象限,判断α 的倍数角所在的象限. (3)与α 终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π ,这 一点要注意.

? 【例1】已知角α 是第一象限角,确定2α , 的终边所在的象 2

限位置. 【解题指南】本例可由α所在的象限写出角α的范围,从而得 2α、 ? 的范围,再确定终边所在的位置.
2

【规范解答】∵α是第一象限角,
∴k·2π<α<k·2π+ ? (k∈Z).
2

(1)k·4π<2α<k·4π+π(k∈Z),
即2k·2π<2α<2k·2π+π(k∈Z), ∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.

(2)k·π< ? <k·π+ ? (k∈Z),
4 ? ? 当k=2n(n∈Z)时,2nπ< <2nπ+ (n∈Z), 4 2 ∴ ? 的终边在第一象限. 2 2

当k=2n+1(n∈Z)时,
? <(2n+1)π+ ? (n∈Z), 2 4 ? 即2nπ+π< <2nπ+ 5? (n∈Z), 2 4 ∴ ? 的终边在第三象限. 2 综上, ? 的终边在第一象限或第三象限. 2

(2n+1)π<

【反思·感悟】1.已知角α所在的象限,应熟练地确定 ? 所在
2

的象限:

α
α 2

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

第一或第三象限 y
45°

第二或第四象限
45° 135°

y
O 225°

y

135°

y

区 域
O

x

x

O

x
315°

O

x
315°

225°

2.若α为第一象限角,则0<α< ? ,从而
2

? 是第一象限角,这种 2

说法是片面的,是错误的.必须用象限角的一般表示法,再用不 等式的性质及对整数k的奇、偶讨论后确定 ? 或2α所在的象限.
2

弧度制的应用
【方法点睛】弧度制的应用

(1)引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转化,在弧度制
下可以应用弧长公式:l=r|α |,扇形面积公式: ? lr ? r 2 | ? | . S 计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便. (2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示. 【提醒】弧度制和角度制不能混用,解决问题时要先统一.
1 2 1 2

【例2】已知扇形的圆心角是α ,半径为R,弧长为l. (1)若α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α 为多少弧度时,

这个扇形的面积最大?
(3)若 ? ? ? , R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
3

【解题指南】(1)可直接用弧长公式,但要注意用弧度制. (2)可用弧长或半径表示出扇形面积,然后确定其取最大值时 的半径和弧长,进而求出圆心角α. (3)利用S弓=S扇-S△,这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.

? 10 ? 【规范解答】(1)l=10× = (cm). 3 3

(2)由已知得:l+2R=20, 所以 S ? 1 lR ? 1 (20 ? 2R)R
2 2

=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α=2 rad.
2? cm 3 S弓=S扇-S△= 1 ? 2? ? 2 ? 1 ? 22 ? sin ? 2 3 2 3 2? ? ( ? 3)cm 2 . 3

(3)设弓形面积为S弓,由题知l=

【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下
n?r 扇形面积公式 n?r 2 有着必然的内在联系. 的弧长公式 l ? 、 S? 180 360

2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角
所在的三角形.

三角函数的定义
【方法点睛】 1.三角函数定义的理解 在直角坐标系xOy中,设P(x, y)是角α 终边上任意一点,且 |PO|=r,则 sin?= y ;cos?= x ;tan?= y .
r r x

2.定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α 终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距 离r,然后利用三角函数的定义求解.

(2)已知角α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点
的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求

解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α
的三角函数值.

【例3】(2012·西安模拟)已知角α 的终边经过点P(-4m,3m) (m≠0),则2sinα +cosα 的值是( (A)1或-1 (C)1或2 5

)

(B)

2 2 或5 5 (D)-1或 2 5

【解题指南】先求出r,再根据三角函数定义求出sinα、cosα,

其中由于不知m的正负,因此需分类讨论.

【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,
? r ? (?4m)2 ? (3m)2 ? 5 m .

①当m>0时, r ? 5m,sin? ? 3 ,cos? ? ? 4 ,
5 5

则 2sin? ? cos? ? 6 ? 4 ? 2 .
5 5 5

②当m<0时, r ? ?5m,sin? ? ? 3 ,cos? ? 4 ,
5 5 6 4 2 ? 2sin? ? cos? ? ? ? ? ? , 5 5 5

故2sinα+cosα的值为 2 或 ? 2 .
5 5

【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时,方法比较灵活, 若是角α的终边落到一条直线上,一般要分类讨论. 2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系. (1)联系:锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例,它 们的基础是建立于相似或直角三角形的性质,“r”同为正值.

(2)区别:锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角

函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐
角三角函数的定义. (3)实质:由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义 是由特殊到一般的认识和研究过程.

【易错误区】忽略三角函数值的符号致误
3 【典例】(2011·重庆高考)若 cos? ? ? 3 , 且α ∈(π ,? ),则 5 2

tanα =______. 【解题指南】根据角所在的范围,先求出sinα的值,再根据

商数关系求出正切值.
3 【规范解答】因为 ? ? (?,? ),cos? ? ? 3 , sin? ? ? 1 ? cos 2? ? ? 4 , 所以 2 5 5

所以 tan? ?
4 答案: 3

sin? 4 ? . cos? 3

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议: 求解本题时,常会出现以下两种失误: 误 区 警 示 (1)易忽视题目中已知条件α的范围,求得sinα的两 个值而致错. (2)虽注意到α的范围,但判断错sinα的符号而导致

tanα的值错误.

用sin2α+cos2α=1求值时要注意以下两点:
备 考 建 议 (1)题目中若没有限定角α的范围,则sinα或cosα 的符号应有两种情况,不可漏掉.

(2)若已给出α的范围,则要准确判断在给定范围内
sinα或cosα的符号,不合题意的一定要舍去.

1.(2011·新课标全国卷)已知角θ 的顶点与原点重合,始边与 x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ =(
(A) ? 4 5 (B) ? 3 5 (C) 3 5 (D) 4 5 3 5

)

【解析】选B.由题意知,tanθ=2,即sinθ=2cosθ,将其代 入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ= , 故cos2θ=2cos2θ-1= ? .
1 5

2.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别 为E,F,则( )

(A)E

F

(B)E

F

(C)E=F

(D)E∩F=?

【解析】选A.因为sinx=0,sin2x=0,所以角x和角2x的终边都

在x轴上,所以E={x|x=kπ,k∈Z},F={x| x ? k? , k∈Z},所以
2

E

F.

3.(2012·咸阳模拟) ? ? ? ”是“cos2? ? 1 ” 的( “
6 2

)

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
6

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】选A.当α= ? 时,cos2? ? cos ? ? 1 .

3 2 反之,当cos2α= 1 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? , 2 3 6 或 2? ? 2k? ? ? ? ? ? k? ? ? ? k ? Z ?, 故应选A. 3 6

4.(2011·江西高考)已知角θ 的顶点为坐标原点,始边为x轴
的正半轴,若P(4,y)是角θ 终边上一点,且 sin? ? ? 2 5 ,
5

则y=______. 【解析】由P(4,y)是角θ终边上一点,且 sin? ? ? 2 5 可知
5

y<0,OP ? 42 ? y2,根据任意角的三角函数的定义得
y 42 ? y 2 ?? 2 5 化简得y2=64,解得y=-8. , 5

答案:-8


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