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江苏省高考数学第一轮复习单元试卷13:直线与圆锥曲线的位置关系

时间:2013-01-06


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第十三单元
一.选择题. (1) ( A3 (2) 过抛物线 的直线 A 有且仅有一条 (3) 设双曲线 椭 圆 ) B

直线与圆锥曲线的位置关系
x ? 2y ? 2 ? 0
C 的 最 大 距 离 是

x2 y2 ? ?1 16 4

上 的 点 到 直 线

11

2 2

D 10

y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样
( B 有且仅有两条
2

)

C 有无穷多条

D 不存在

x y ? 2 ?1 2 a b


2

(0<a<b)的半焦距 c, 直线 l 过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线 l 的距离为 双 曲 线 的 离 心 率 为

3 4
( A D
2 3 3

c, ) 2

B

3

C

2

(4)

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 如果椭圆 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0

(

)

(5)过双曲线 2x2-y2-8x+6=0 的由焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点, 若|AB|=4, 则这样 的直线有 ( A 4 条 B 3 条 D1条 (6) 已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 A ( )

) C 2 条

1 2

B

3 2

C

7 2

D5

(7) 直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点, 椭圆的上顶点为 B 点, 若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦 点 上 , 则 直 线 l 的 方 程 是 ( ) A 5x+6y-28=0 B 5x+6y-28=0 C 6x+5y-28=0 D 6x-5y -28=0 (8) 过抛物线 则

y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q,
()

1 1 ? 等于 p q

A2a

B

1 2a

C 4a

D

4 a

(9) 已知双曲线 为 ( A )

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直线 F2M 的距离 6 3

3 6 5

B

5 6 6

C

6 5

D

5 6

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(10) 点 P(-3,1)在椭圆

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x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上,过点 P 且方向为 a ? (2,?5) 的光线, a2 b2
( )

经直线

y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为

A

3 3

B

1 3

C

2 2

D

1 2

二.填空题 (11) 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1, 2, F 一直线过 F1 交椭圆于 P、 则△PQF2 的周长为 Q, 25 9

___________.

(12) 若直线 l 过抛物线 a=_______

y ? ax 2 (a>0)的焦点,并且与

y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则

(13) 过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线 (14) 已知 F1 、F2 是椭圆 是 三.解答题 .

x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程为 4

.

x2 4

+y2=1 的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF1|·|PF2|的最大值

(15) 如图,O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物 线 y2=2x 于 M(x1,y1),N(x2, y2)两点. (1)写出直线 l 的方程; (2)求 x1x2 与 y1y2 的值; (3)求证:OM⊥ON.

(16)

x2 已知椭圆 C: 2 a

y2 + 2 b

=1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线

l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的 对称点,设

AM =λ AB .
? 3 ,△PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程. 4

(Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)若 ?

(17) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l :

3,0)

y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为

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原点). 求 k 的取值范围.

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(18) 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,长轴 A A2 1 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 为 l 上的动点,求∠F1PF2 最大值

P

l
M A1 F1

y

l1

o

F2 A2 x

参考答案 一选择题: 1.D

[解析]:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 P(4cosθ 16 4

,2sinθ )

则点 P 到直线 x ? 2 y ?

2 ? 0 的距离
| 4 2 sin(? ? 5

d=

| 4 cos ? ? 4 sin ? ? 2 | 5

?
4

?

)? 2 |

d max ?
2.B

| ?4 2 ? 2 | 5

? 10

[解析]:过抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,

若直线 AB 的斜率不存在,则横坐标之和等于 2,不适合。 故设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AB 为

y ? k ( x ? 1)

代入抛物线

y 2 ? 4 x 得, k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0
4 2(k 2 ? 2) ? 5,k 2 ? 2 3 k

∵A、B 两点的横坐标之和等于 5,∴ 则这样的直线有且仅有两条 3.A

[ 解 析 ] : 直 线 l 过 (a, 0), (0, b) 两 点 . 即 为 : bx ? ay ? ab ?

0 ,故原点到直线

l 的距离

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| ?ab | a2 ? b2
2

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2 2

=

3 c, a (c ? a ) ? 3 c 2 16 c2 4

1?

1 3 ? e2 2 16 e

∴e = 2 3 或 2, 3
2

又 0<a<b,故 e ∴e = 2 4.D

?

c2 a2 ? b2 a2 ? a2 ? ? ?2 a2 a2 a2

[解析]:用‘点差法’ 这条弦的两端点位 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则 :

? x1 2 y1 2 ? ?1 ? ? 36 9 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 36 9 ?

两式相减再变形得

x1 ? x2 y ? y2 ?k 1 ?0 36 9

又弦中点为(4,2),故 k= ?

1 2 1 (x-4) 2

故这条弦所在的直线方程 y-2= ? 5.B

[解析]:过双曲线 2x -y -2=0 的由焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点, 若 l ? x轴, AB 为通径,而通径长度正好是 4,故直线 l 交双曲线于同支上的 A、B 则 两点且|AB|=4,这样的直线只有一条, 若 l 经过顶点,此时|AB|=2, 故直线 l 交双曲线于异支上的 A、B 两点且|AB|=4,这样的 直线有且只有两条, 故选 B。 6.C [解析]:已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则点 P 的轨迹是以 A、B 为左右焦点 的双曲线的右支, 故|PA|的最小值是 A 到右顶点的距离,为 2+ 7.D [解析]:设 M(x1,y1) 、N(x2,y2), 而 B(0,4), 又△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点(2,0) 上, 故 x1+ x2=6,y1+ y2=-4,又 A、B 在椭圆上,故得

2

2

3 7 ? 2 2

?6 x1 ? 5 y1 ? 28 ? 0 ? ?6 x2 ? 5 y 2 ? 28 ? 0
则直线 l 的方程是 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 8.C [解析]:过抛物线

y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,
y1 ? 1 1 , q ? y2 ? 4a 4a

设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),则 p=

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设直线 PQ 为

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1 ,联立直线方程与抛物线方程可得 4a
1 16 a 2

y ? kx ?

y1 ? y2 =

1 ? 2k 2 a



y1 ? y 2 ?

1 1 ? = p q
9.C

y1 ? y 2 ?

1 2a

1 1 y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4a 16a 2

=4 a

x2 y2 6 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴,M(3, [解析]:已知双曲线 )则 6 3 2
MF1=

6 2

, 故 MF2=

2 6?

6 5 6 ? 2 2

, 故 F1 到 直 线 F2M 的 距 离 为

6 6? F1 F2 ? MF1 2 ?6 ? MF2 5 5 6 2
10.A

[解析]:

点 P(-3,1)在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上, a2 b2



a2 ?3 c

点 P(-3,1)关于直线 左焦点为 F,则直线 FQ 为

y ? ?2 的对称的点为 Q,则 Q(-3,-5) ,设椭圆的
5 5 ( x ? 5) ,故 5 ? ( ?c ? 3) 2 2

y? ?

∴c 二填空题: 11. 20

? 1, a ? 3

[解析]:△PQF2 的周长=4 a 12.

1 4
[解析]:l 被抛物线截得的线段长 即为通径长

1 a

,故

1 a

=4,

13. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 [解析]: 14. 4 . [解析]:由焦半径公式|PF1|= a ? ex ,|PF2|= a ? ex |PF1|·|PF2|=( a ? ex ) a ? ex )= a ( 第 5 页 共 8 页
2

参考选择题(4) ,由‘点差法’ 可得斜率为 ?

3 4

? e2 x 2

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则|PF1|·|PF2|的最大值是 a =4. 三解答题 (15)解 (Ⅰ)解:直线 l 的方程为
2

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y ? k ( x ? 2)
(Ⅱ)解:由①及 y2=2x 消去 y 可得

(k ? 0)



k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0.
点 M,N 的横坐标 x1 与 x2 是②的两个根,



xx ? 由韦达定理得 1 2

4k 2 ? 4. k2 2 2 由y1 ? 2 x1 , y 2 ? 2 x2

得( y1 y 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 ? 4 ? 16, 注意到y1 y 2 ? 0, 所以y1 y 2 ? ?4.
(Ⅲ)证明:设 OM,ON 的斜率分别为 k1, k2,

则k1 ?

y1 y , k2 ? 2 . x1 x2 y1 y 2 ? 4 ? ? ?1, x1 x 2 4
y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,

相乘得k1 k 2 ?

所以OM ? ON.
(16) (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l:

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 所以 A、B 的坐标分别是 (? ,0), (0, a). ? x 由 得? y2 b 2 这里c ? a ? b e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a
所以点 M 的坐标是( ? c,

.

b2 a

).

由 AM

? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ?e ? c ? ? e ? 即? 2 ? b ? ?a ?a ?

解得? ? 1 ? e 2

证法二: 因为 A、 分别是直线 l:y B

a ? ex ? a 与 x 轴、 轴的交点, A、 的坐标分别是 ( ? ,0), (0, a ). y 所以 B e a a 设 M 的坐标是 ( x 0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x 0 ? , y 0 ) ? ? ( , a ), e e

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a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? y 0 ? ?a. ?

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2 2 x0 y 0 ? 2 ? 1, a2 b

因为点 M 在椭圆上,所以

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 e 即 ? 2 ? 1, 所以 ? ? 1. a2 b e2 1 ? e2
e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
(Ⅱ)当 ? 解得 e
2

? 1? ?

即? ? 1 ? e 2 .
? 6.

?

1 3 时, c ? ,所以 a ? 2c. 2 4

由△MF1F2 的周长为 6,得 2a ? 2c

所以 a

? 2, c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(17) 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0). a2 b2

由已知得 a

? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 22 , 得b 2 ? 1.
x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

故双曲线 C 的方程为

(Ⅱ)将

y ? kx ? 2代入

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ?

?1 ? 3k 2 ? 0, ? ?? ? (6 2k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0. ?

即k

2

1 ? 且k 2 ? 1. 3



设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

x A ? xB ?
而 x A xB

6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1

3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 于是 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 1 ? k 2 ? 3. ② 3 1 ? k 2 ? 1. 由①、②得 3
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故 k 的取值范围为 (?1,? (18)解 (Ⅰ)设椭圆方程为

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3 3 ) ? ( ,1). 3 3
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? ,半焦距为 c ,则 a 2 b2

MA1 ?

a2 ? a, A1 F1 ? a ? c c

? a2 ? c ? a ? 2?a ? c? ? ? ? 由题意,得 ?2a ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?

a ? 2, b ? 3, c ? 1

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
?0
y0 y ,直线PF2的斜率k2 ? ? 0 3 5

(Ⅱ) 设P ? ?4, y0 ? , y0

设直线PF1的斜率k1 ? ? ? ?

0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1 M ? ?F1 PF 为锐角。

?
2

,

? tan ?F1 PF2 ?

2y 2 y0 k2 ? k1 15 ? 2 0 ? ? . 1 ? k1k2 y0 ? 15 2 15 y0 15

当 y0 ? 15,即y0 = ? 15时, ?F1 PF2 取到最大值,此时?F1 PF2 最大, tan 故?F1 PF2的最大值为arctan 15 . 15

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