nbhkdz.com冰点文库

2015届高考调研文科课时作业18

时间:2014-05-16


课时作业(十八)
1.(2011· 辽宁理)设函数 f(x)=x+ax2+blnx,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2. 答案 解析 (1)a=-1,b=3 (2)略

b (1)f′(x)=1+2ax+x.

?f?1?=0, ?1+a=

0, 由已知条件得? 即? ?f′?1?=2, ?1+2a+b=2. 解得 a=-1,b=3. (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知 f(x)=x-x2+3lnx. 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则 ?x-1??2x+3? 3 g′(x)=-1-2x+ x =- . x 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2. 2.设函数 f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有的实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.(其中,e 为自然 对数的底数). 答案 解析 (1)增区间(0,a),减区间(a,+∞) (2)a=e (1)因为 f(x)=a2lnx-x2+ax,其中 x>0,

?x-a??2x+a? a2 所以 f′(x)= x -2x+a=- . x 由于 a>0,所以 f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞). (2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.

?f?1?=a-1≥e-1, ① 只要? 2 2 2 ?f?e?=a -e +ae≤e , ② 由①得 a≥e;由②得 a≤e.因此 a=e. 故当 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立时,实数 a 的值为 e. 3.已知函数 f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,试求实数 m 的值. 答案 (1)y=-6x+7 (2)2≤a≤6

(3)m=h(4)=-16ln2-24 解析 8 (1)因为 f′(x)=2x-x,所以切线的斜率 k=f′(1)=-6.

又 f(1)=1,故所求的切线方程为 y-1=-6(x-1).即 y=-6x+7. (2)因为 f′(x)= 2?x+2??x-2? , x

又 x>0,所以当 x>2 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时,f′(x)<0. 即 f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减. 又 g(x)=-(x-7)2+49,所以 g(x)在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞)上单 调递减. ?a≥2, 欲使函数 f(x)与 g(x)在区间 (a ,a + 1)上均为增函数,则? 解得 ?a+1≤7, 2≤a≤6. (3)原方程等价于 2x2-8lnx-14x=m, 令 h(x)=2x2-8lnx-14x,则原方程即为 h(x)=m. 因为当 x>0 时原方程有唯一解, 所以函数 y=h(x)与 y=m 的图像在 y 轴右侧 有唯一的交点. 2?x-4??2x+1? 8 又 h′(x)=4x- x -14= ,且 x>0, x 所以当 x>4 时,h′(x)>0;当 0<x<4 时,h′(x)<0. 即 h(x)在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故 h(x)在 x=4 处取得 最小值,从而当 x>0 时原方程有唯一解的充要条件是 m=h(4)=-16ln2-24.

1 4.(2014· 西安市质检)设函数 f(x)=-3x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))点处的切线的方程; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值; 1 (3)已知函数 g(x)=f(x)+3有三个互不相同的零点,求 m 的取值范围. 答案 (1)3x-3y-1=0 (2)减区间(-∞,1-m),(1+m,+∞),增区间(1 2 (3)(3,+∞)

2 1 2 1 -m,1+m),极大值3m3+m2-2,极小值-3m3+m2-3 解析

1 (1)当 m=1 时,f(x)=-3x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故 f′(1)=1.

所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 1. 切线方程为 3x-3y-1=0. (2)f′(x)=-x2+2x+m2-1,令 f′(x)=0,得到 x=1-m 或 x=1+m. 因为 m>0,所以 1+m>1-m. 当 x 变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,1-m) - 1-m 0 极小值 (1-m,1+m) + 1+m 0 极大值 (1+m,+∞) -

f′(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)内减函数,在(1-m,1+m)内增函数. 2 1 函数 f(x)在 x=1+m 处取得极大值 f(1+m),且 f(1+m)=3m3+m2-3. 函数 f(x)在 x=1-m 处取得极小值 f(1-m), 2 1 且 f(1-m)=-3m3+m2-3. (3)由(2)知, 1 2 函数 g(x)在 x=1+m 处取得极大值 g(1+m)=f(1+m)+3,且 g(1+m)=3m3 +m2. 1 2 函数 g(x)在 x=1-m 处取得极小值 g(1-m)=f(1-m)+3, 且 g(1-m)=-3m3 +m2. 1 根据三次函数的图像与性质,函数 g(x)=f(x)+3有三个互不相同的零点,只

需要 2 3 2 ? ?g?1+m?=3m +m >0, ? 2 ?g?1-m?=-3m3+m2<0, ? m>0, ? ? 即? 3 m> . ? ? 2

?2 ? 所以 m 的取值范围是?3,+∞?. ? ? 1 5.(2014· 西北五校)已知函数 f(x)=2ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R). (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2],使得 f(x1)<g(x2), 求 a 的取值范围. 答案 解析 2 (1)3 (2)略 (3)a>ln2-1

2 f′(x)=ax-(2a+1)+x(x>0).

2 (1)由 f′(1)=f′(3),解得 a=3. (2)f′(x)= ?ax-1??x-2? (x>0). x

①当 a≤0 时,x>0,ax-1<0, 在区间(0,2)上 f′(x)>0;在区间(2,+∞)上 f′(x)<0. 故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). 1 1 ②当 0<a<2时,a>2, 1? ?1 ? ? 在区间(0,2)和?a,+∞?上 f′(x)>0;在区间?2,a?上 f′(x)<0,故 f(x)的单调 ? ? ? ? 1? 1 ? 递增区间是(0,2)和(a,+∞),单调递减区间是?2,a?. ? ? ?x-2? 1 ③当 a=2时,f′(x)= 2x , 故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 1 1 ④当 a>2时,0<a<2,
2

1? ? ?1 ? 在区间?0,a?和(2,+∞)上 f′(x)>0;在区间?a,2?上 f′(x)<0,故 f(x)的单 ? ? ? ? 1? ? ?1 ? 调递增区间是?0,a?和(2,+∞),单调递减区间是?a,2?. ? ? ? ? (3)由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 a≤2时,f(x)在(0,2]上单调递增, 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2. 所以-2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1. 1 故 ln2-1<a≤2. 1? 1 1 ? ?1 ? ②当 a>2时,f(x)在?0,a?上单调递增,在?a,2?上单调递减,故 f(x)max=f(a) ? ? ? ? 1 =-2-2a-2lna. 1 1 1 由 a>2可知 lna>ln2>ln e=-1,2lna>-2,-2lna<2. 所以-2-2lna<0,f(x)max<0. 综上所述,a>ln2-1. 6.(2013· 北京)已知函数 f(x)=x2+xsinx+cosx. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 答案 解析 (1)a=0,b=1 (2)(1,+∞)

由 f(x)=x2+xsinx+cosx,得 f′(x)=x(2+cosx).

(1)因为曲线 y=f(x)在点(a, f(a))处与直线 y=b 相切, 所以 f′(a)=a(2+cosa) =0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f′(x)=0,得 x=0.

f(x)与 f′(x)的变化情况如下: x f′(x) (-∞,0) - 0 0 (0,+∞) +

f(x)

1

所以函数 f(x)在区间(-∞, 0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0) =1 是 f(x)的最小值. 当 b≤1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点; 当 b>1 时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b, 所以存在 x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得 f(x1)=f(x2)=b. 由于函数 f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当 b>1 时曲线 y= f(x)与直线 y=b 有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范 围是(1,+∞). 7.(2013· 课标全国Ⅰ)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y= f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 答案 解析 (1)a=4,b=2,c=2,d=2 (2)[1,e2]

(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.

而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0,得 x1=-lnk,x2=-2. ①若 1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1, +∞)时,F′(x)>0.即 F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故 F(x)在[-2,+∞)上的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2-x2 1-4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. ②若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e2).

从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)上单调递增. 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. ③若 k>e2,则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2].


【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:10...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:10-4 古典概型]课时作业(六十八) 1.(2013· 课标全国Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:6-...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:6-1 数列的基本概念]_高中...1 8 ∴a36=a18+a18=2a18=2(a9+a9)=4a9=4(a1+a8)=4(9+9)=4. 12...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:4-...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:4-6 三角函数的性质]_高中教育_教育专区。【高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:4-6 三角函数的...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:10...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:10-7 用样本估计总体2]_高中...年 1 月 18 日至 24 日,在全国范围内进行了持续一周的在 线调查, 随机...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:7-...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:7-3 二元一次不等式(组)的解与简单的线性规划]_高中教育_教育专区。【高考调研2015高考数学(人教新课标文科...

江门市2015届普通高中高三调研测试文科数学及评分标准

江门市2015届普通高中高三调研测试文科数学及评分标准...测试用时 120 分钟. 注意事项: ⒈答题前,考生务必...16 ? 18 ,椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 ? ? ...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:9-...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:9-5 椭圆(一)]_高中教育_教育专区。【高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:9-5 椭圆(一)]课时...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:专...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:专题研究 最值与范围]_高中教育_教育专区。【高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:专题研究 最值与...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:1-...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:1-3 逻辑联结词与量词]_高中教育_教育专区。【高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:1-3 逻辑联结...

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:3-...

高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:3-2 导数的应用(一)——单调性]_高中教育_教育专区。【高考调研2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:3-...