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椭圆基础训练题(含答案提示)






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椭圆基础训练题
题目:1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是 5:3,焦距是 8,焦点在 x 轴上,则此椭圆的标准 方程是( ) (A)
x2 x2 y2 y2 + =1(B) + =1 3 9

5 25 x2 x2 y2 y2 + =1 (D) + =1 5 25 3 9

(C)

答案:B 题目:2.椭圆 (A) 2 5 答案:B 题目:3.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是(
1 2 3 3 (A) (B) (C) (D) 2 2 3 2
y2 x2 + =1 的两条准线间的距离是( 5 4 50 (B)10 (C)15 (D) 3





答案:B 题目:4.椭圆 是( ) 。
9 5
y2 x2 9 + =1 上有一点 P,它到右准线的距离是 ,那么 P 点到左准线的距离 25 9 4

(A) 答案:D

(B)

16 5

(C)

41 4

(D)

41 5

题目:5.已知椭圆 x2+2y2=m,则下列与 m 无关的是( ) (A)焦点坐标 (B)准线方程 (C)焦距 (D)离心率 答案:D 题目:6.椭圆 mx2+y2=1 的离心率是 (A)1 答案:B 题目:7.椭圆的中心为 O,左焦点为 F1,P 是椭圆上一点,已知△PF1O 为正三角形,则 P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是( ) (A) 3 -1 答案:C 题目:8.若椭圆 答案:-3<m<0
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(B)1 或 2

(C)2

3 ,则它的长半轴的长是( 2 1 (D) 或 1 2



(B)3- 3

(C) 3

(D)1

y2 x2 ? =1 的准线平行于 y 轴,则 m 的取值范围是 3m ? 12 m







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题目:9.椭圆的长半轴是短半轴的 3 倍,过左焦点倾斜角为 30°的弦长为 2 则此椭圆的标准 方程是 。 答案:
x2 +y2=1 9

题目:10. 椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中 项等于椭圆的焦距, 又已知直线 2x-y-4=0 被此椭圆所截得的弦长为
4 5 ,求此椭圆的方程。 3

答案:4x2+5y2=24 提示:∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距, ∴4c2=(a+c)(a-c), 解得 a2=5c2, ∴b2=4c2, 将 4 x2+5y2=m 与 2x-y-4=0 联立, 代入消去 y 得 24x2-80x+80-m=0, 由弦长公式 l= 1? k 2 |x1-x2|得
4 5 3m ? 40 = 5× ,解得 m=24,∴椭圆的方程是 4x2+5y2=24 3 18

题目:11.证明:椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。 答案:定值为 a2+b2 提示:设椭圆的方程是 b2x2+a2y2=a2b2, P(x, y)是椭圆上的任意一点,|PO|2+|PF1||PF2|=x2+y2 +(a+ex)(a-ex)= x2+y2+a2-
c2 2 a 2b2 ? b2x 2 x , 把 y2= 代入得|PO|2+|PF1||PF2|=a2+b2 a2 a2

题目:12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率 e= ,长轴长为 6,那么椭圆的方程是(
x 2 y2 + =1 36 20 x 2 y2 (C) + =1 9 5

(A)

2 3 2 2 2 x x y y2 (B) + =1 或 + =1 36 20 20 36 2 2 x x 2 y2 y (D) + =1 或 + =1 9 5 5 9

) 。

答案:D 题目:13. 椭圆 25x2+16y2=1 的焦点坐标是( (A)(±3, 0) (B)(± , 0) (C)(± 答案:D 题目:14. 椭圆 4x2+y2=4 的准线方程是( (A)y= ? 答案:C
4 3x 3 1 3

) 。 (D)(0, ±
3 ) 20

3 , 0) 20

) 。
4 3 3

(B)x= ?

4 3y 3

(C)y= ?

(D)x= ?

4 3 3

题目:15. 椭圆

x2 y2 + 2 =1 (a>b>0)上任意一点到两个焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c,若 b a2

d1, 2c, d2,成等差数列则椭圆的离心率为( (A) 答案:A
1 2

) 。
3 4

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

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提示:4c=d1+d2=2a, ∴e=

1 2

题目:16. 曲线

x2 y2 y2 x2 + =1 与曲线 + =1 (k<9),具有的等量关系是( 25 k - 9?k 25 9

) 。

(A)有相等的长、短轴 (C)有相等的离心率 答案:B

(B)有相等的焦距 (D)一相同的准线

题目:17. 椭圆 是( ) 。
3 2

x2 y2 + 2 =1 的两个焦点 F1, F2 三等分它的两条准线间的距离,那么它的离心率 b a2

(A) 答案:B

(B)

3 3

(C)

6 3

(D)

6 6

题目:18. P(x, y)是椭圆
x y + =1 4 9
2 2

x2 y2 + =1 上的动点,过 P 作椭圆长轴的垂线 PD,D 是垂足,M 是 16 9

PD 的中点,则 M 的轨迹方程是(
2

) 。 (C)
x2 4y 2 + =1 9 16

(A) 答案:C

(B)

x y2 + =1 64 9

(D)

x2 y2 + =1 16 36

提示:设 M(x, y)为轨迹上一点,则 P(x, 2y),代入到

x2 x2 4y 2 y2 + =1 得方程 + =1 9 16 9 16

题目:19. 已知椭圆的准线为 x=4,对应的焦点坐标为(2, 0),离心率为 , 那么这个椭圆的方 程为( ) 。 (A)
y2 x2 + =1 8 4

1 2

(B)3x2+4y2-8x=0 (D)2x2+2y2-7x+4=0
( x ? 2) 2 ? y 2 4?x

(C)3x2-y2-28x+60=0 答案:B 提示:设椭圆上的点 P(x, y),则

?

1 , 化简得 3x2+4y2-8x=0 2

题目:20. 椭圆

x2 y2 + =1 上的一点 P 到它的右准线的距离是 10,那么 P 点到它的左焦点的 100 36

距离是( ) 。 (A)14 (B) 12 (C)10 答案:B

(D)8

题目:21. 椭圆 4x2+9y2=144 内有一点 P(3, 2),过 P 点的弦恰好以 P 为中点,那么这条弦所在 的直线方程是( ) 。 (A)3x-2y-12=0 (B)2x+3y-12=0
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(C)4x+9y-144=0 (D)4x-9y-144=0 答案:B 提示:设弦 AB 的两个端点坐标 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 4x12+9y12=144,4x22+9y22=144, 两式相 减得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, 有 x1+x2=6, y1+y2=4, ∴AB 的斜率是- , AB 的方 程是 2x+3y-12=0 题目:22. 椭圆 4x2+16y2=1 的长轴长为 是 ,准线方程是 答案:1; ;
1 2
3 3 ? ;(± , 0);x=± 2 4 3

2 3

,短轴长为 。

,离心率为

,焦点坐标

题目:23. 已知两点 A(-3, 0)与 B(3, 0),若|PA|+|PB|=10,那么 P 点的轨迹方程是 答案:
y x ? ?1 25 16
2 2



题目:24. 椭圆 3x2+y2=1 上一点 P 到两准线的距离之比为 2 : 1,那么 P 点坐标为 答案:(
10 6 10 6 , ± )或(- , ± ) 6 6 6 6



题目:25. 已知椭圆

x2 +y2=1 的两焦点为 F1, F2,上顶点为 B,那么△F1BF2 的外接圆方程 2

为 。 2 2 答案:x +y =1 提示:焦点的坐标为 F1(-1, 0), F2(1, 0), B 点坐标为(0, 1), ∴外接圆的方程是 x2+y2=1 题目:26. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,两准线间的距离为 方程为 答案:
y y x x ? ?1或 ? ?1 9 4 4 9 x 2 y2 ? ? 1 共焦点,并经过点 P(3, -2),则 9 4
2 2 2 2

18 5 ,焦距为 2 5 ,则椭圆的 5



题目:27. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,和椭圆 椭圆的方程为 答案:
y x ? ?1 15 10
2 2



提示:焦点坐标是 F1(- 5 , 0), F2( 5 , 0), 设椭圆方程是 a=3, ∴椭圆的方程是
x 2 y2 ? ?1 15 10

y2 x2 ? 2 ? 1 , 将 P(3, -2)代入得, a2 a ? 4

题目:28. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,经过 A(0, 2)与 B( , 答案:x2+
y2 =1 4
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1 2

3 )则椭圆的方程为



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题目:29. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上,焦点间的距离等于长轴和短轴两端点间的距离,且
3 3 , ), 则椭圆的方程为 2 2 x 2 5y 2 5x 2 y 2 ? ?1或 ? ?1 答案: 2 6 6 2

经过点 P(



提示:∵焦点间的距离等于长轴和短轴两端点间的距离,∴4c2=a2+b2, ∴3a2=5b2, 设椭圆方 程为
x 2 5y 2 3 3 x 2 5y 2 ? ? 1 ,同样设长轴在 y ? 2 ? 1 ,把 P( , )代入,解得 a2=2, 得椭圆方程为 2 2 2 6 a 2 3a

轴上,得

5x 2 y 2 ? ?1 6 2

题目:30. 在椭圆

x2 y2 + =1 内有一点 M(4, -1),使过点 M 的弦 AB 的中点正好为点 M,求弦 10 40

AB 所在的直线的方程。 答案:x-y-5=0 提示: 设直线的斜率为 k, y+1=k(x-4), 与椭圆 则 +8k)-40=0,∴ x1+x2=
x2 y2 + =1 联立, 消去 y 得(1+4k2)x2-(32k2 10 40

32k 2 ? 8k =8, 解得 k=1, ∴AB 的方程是 x-y-5=0 1 ? 4k 2

题目:31. 在椭圆

x2 y2 + =1 上求一点 P,使它到两焦点的距离之积等于短半轴的平方数。 25 16

答案:(5, 0), (-5, 0) 提示:a=5, b=4, c=3, e= , |PF1||PF2|=(a+ex)(a-ex), (5+ x)(5- x)=16, 解得 x=5, ∴P 点坐 标是(5, 0)或(-5, 0) 题目:32. 椭圆 (A)4 答案:B 题目:33. F 是椭圆的一个焦点,BB′是椭圆的短轴,若△BFB′是等边三角形,则椭圆的离 心率 e 等于( ) 。 (A) 答案:C 题目:34. 椭圆 (A)10 答案:A
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3 5

3 5

3 5

x 2 y2 + =1 的焦距等于( 32 16

) 。

(B)8

(C)16

(D)12 3

1 4

(B)

1 2

(C)

2 2

(D)

3 2

x2 y2 + =1 的两条准线间的距离是( 20 4 5 (B)5 (C) 5 (D) 2

) 。





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题目:35. 椭圆

x2 y2 + =1 的焦点在 y 轴上,则 m 的取值范围是( m2 (m ? 1) 2

) 。

(A)全体实数 (B)m<- 且 m≠-1 (C)m>- 且 m≠0 (D)m>0 答案:C 题目:36. 与椭圆
x2 3 y2 + =1 共焦点,且经过点 P( , 1)的椭圆方程是( ) 。 2 2 5 x2 5y 2 x2 x2 y2 y2 (A)x2+ =1 (B) + =1 (C) +y2=1 (D) + =1 8 4 2 4 4 7

1 2

1 2

答案:A 题目:37. 到定点( 7 , 0)和定直线 x= (A) 答案:B 题目:38. 直线 y=kx+2 和椭圆 (A) 答案:B
3 2
x2 +y2=1 有且仅有一个公共点,则 k 等于( 4 x2 y2 + =1 9 16 7 16 的动点轨迹方程是( 7 的距离之比为 4 7 x2 x2 y2 y2 (B) + =1 (C) +y2=1 (D)x2+ =1 16 9 8 8

) 。

) 。

(B)±

3 2

(C)

3 4

(D)±

3 4

x2 ? 题目:39. 过椭圆 +y2=1 的一个焦点且倾角为 的直线交椭圆于 M、N 两点,则|MN|等 9 6
于( ) 。 (A)8 答案:C (B)4 (C)2 (D)1

题目:40. 如果椭圆

x2 y2 + =1 上有一点 P,它到左准线的距离为 2.5,那么 P 点到右焦点的 25 9

距离与到左焦点的距离之比是( ) 。 (A)3 : 1 (B)4 : 1 (C)15 : 2 答案:B
4 5

(D)5 : 1

提示:e= ,P 点到左准线的距离为 2.5,它到左焦点的距离是 2, 2a=10, P 点到右焦点的距离 是 8,∴P 点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 4 : 1 题目:41. 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分,那么这个椭圆的两条准线的距离与焦距的比是 ( ) 。 (A)4 : 1 (B)9 : 1 (C)12 : 1 (D)18 : 1 答案:B
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题目:42. 已知椭圆的两个焦点是 F1(-2, 0)和 F2(2, 0),两条准线间的距离等于 13,则此椭圆 的方程是 。 答案:
x 2 y2 ? =1 13 9 3 , 则 m= 2

题目:43. 方程 4x2+my2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且离心率 e= 答案:1 题目:44. 椭圆 答案:
4 6 3



x2 y2 + =1 上一点 P 到左准线的距离等于 2,则 P 点到右焦点的距离是 6 2



题目:45. 已知直线 y=x+m 与椭圆 是 答案:-5<m<5 。

x2 y2 + =1 有两个不同的交点,则 m 的取值范围 16 9

题目:46. 椭圆
1 2

x2 y2 + =1 的准线平行于 x 轴,则 m 的取值范围是 m2 (m-) 2 1



答案:m< 且 m≠0
x2 y2 1 + =1 的离心率 e= , 则 k 的值是 k ?8 9 2

题目:47. 椭圆 答案:4 或-
5 4



提示:当 k+8>9 时,

5 k ?1 1 1? k 1 = , ∴k=4, 当 9>k+8 时, ? , k=- 4 9 4 k ?8 4
x2 y2 + =1 上一点 A 到左焦点的距离是 4,那么 A 到椭圆两条准线的距离 25 9

题目:48. 如果椭圆 分别是 答案:5,
15 2



题目:49. 如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在 x 轴上,且 a-c= 3 , 那么椭圆的方程是 答案:
y2 x2 + =1 12 9



题目: 已知过定点 A(4, 0)且平行于 y 轴的直线 l , 定点 F(1, 0), 设动点 P(x, y)到定点 F 的距 50. 离与它到定直线 l 的距离之比为 1:2,则 P 点的轨迹方程是 。
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答案:

y2 x2 + =1 4 3

提示:直线 l : x=4, 题目:51. 在椭圆

( x ? 1) 2 ? y 2 4?x

?

y2 x2 1 , 化简得 + =1 4 3 2

x2 y2 + =1 上求一点 P,使 P 点和两个焦点的连线互相垂直。 20 56 4 10 4 10 10 10 答案:P( , ± )或 P(- , ± ) 3 3 3 3

提示: 1(0, 6), F2(0, -6), PF1⊥PF2, ∴P 点在以原点为圆心, 为半径的圆上, F 6 联立方程组 +
4 10 4 10 y2 10 10 =1 和 x2+y2=36, 解得 x= , y=± 或 x=- , y=± 56 3 3 3 3

x2 20

题目:52. 直线 l 过点 M(1, 1), 与椭圆 为 , 求直线 l 的方程。
1 2

x2 y2 + =1 交于 P,Q 两点,已知线段 PQ 的中点横坐标 16 4

5 5 5 5 )x- 或 y=(1- )x+ 2 2 2 2 2 2 x y 提示:联立方程组 + =1 和 y-1=k(x-1), 消去 y,得 x2+4[k(x-1)+1]2=16, x1+x2=2, 解得 16 4 5 5 5 5 5 5 k=1+ 或 k=1- , ∴直线的方程是 y=(1+ )x- 或 y=(1- )x+ 2 2 2 2 2 2

答案:y=(1+

题目:53. 直线 x=3 和椭圆 x2+9y2=45 交于 M,N 两点,求过 M,N 两点且与直线 x-2y+11=0 相 切的圆的方程。 答案:x2+y2+2x-19=0 或 x2+y2-28x+71=0 提示: 联立 x=3 和 x2+9y2=45 解得, M(3, 2) , N(3, -2), ∴圆心在 x 轴上, 设圆心坐标是(a, 0), 则 圆心到 M 的距离等于圆心到直线 x-2y+11=0 的距离,∴(a-3)2+22= a=14,∴圆的方程是 x2+y2+2x-19=0 或 x2+y2-28x+71=0 题目:54. 短轴长为 5 ,离心率为 的椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两点,则△ABF2 的周长为( ) 。 (A)24 (B)12 (C)6 (D)3 答案:C 提示:b= 5 , e= , ∴c=1, a= , △ABF2 的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=6
2 3 3 2 2 3
(a ? 11) 2 , 解得 a=-1 或 5

题目:55. 设 A(-2,

3 ),椭圆 3x2+4y2=48 的右焦点是 F,点 P 在椭圆上移动,当|AP|+2|PF|
) 。

取最小值时 P 点的坐标是(

(A)(0, 2 3 ) (B)(0, -2 3 ) (C)(2 3 , 答案:C
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3)

(D)(-2 3 ,

3)

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提示:椭圆 3x2+4y2=48 中,a=4, c=2, e= , 设椭圆上的 P 点到右准线的距离为 d,则

1 2

| PF | 1 = , 2 d

∴|AP|+2|PF|=|AP|+d, ∴当 AP 平行于 x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间时,|AP|+d 为一直线 段,距离最小,此时 P 点纵坐标等于 3 ,∴P 点坐标是(2 3 ,

3)

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