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2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题

时间:2013-01-12


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2011 年高考试题数学(理科)
数列
一、选择题: 1. (2011 年高考天津卷理科 4)已知 ?an ? 为等差数列, 其公差为-2, a7 是 a3 与 a9 的等比中 且 项, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N ,则 S10 的值为

*

A.-110

B.-90

C.90

D.110

已知 ?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,

Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为
B.-90

A.-110 【答案】D.

C.90

D.110

2 【解析】∵ a7 ? a3 ? a9 , d ? ?2 ,∴ (a1 ? 12) 2 ? (a1 ? 4)(a1 ? 16) ,解之得 a1 ? 20 ,

∴ s10 ? 10 ? 20 ?

10 ? 9 (?2) ? 110 . 2

2. (2011 年高考江西卷理科 5)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? S m ? S n? m ,且 a1 ? 1 , 那么 a10 ? ( A. 1 答案:A 解析:? S2 ? a1 ? a2 ? 2S1 ,? a2 ? 1 ) B. 9 C. 10 D. 55

? S3 ? S1 ? S2 ? 3,?a3 ? 1 ,? S4 ? S1 ? S3 ? 4,?a4 ? 1 ,? a10 ? 1

S A?2 ? Sn ? 24 ,则 k ?
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(A)8 【答案】D (B)7

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(C)6 (D)5

【解析】 Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ? 1)d ? a1 ? (k ? 1 ?1)d

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
5.(2011 年高考上海卷理科 18)设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形 面积( i ? 1, 2,? ) ,则 { An } 为等比数列的充要条件为( A. {an } 是等比数列。 B. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 或 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 是等比数列。 C. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 均是等比数列。 D. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 均是等比数列,且公比相同。 【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题,难度较大. 【答案】D 【解析】由题意知 Ai = ai ai ?1 , 若 { An } 是等比数列,则 )

An ?1 an ?1an ? 2 an ? 2 A a A a = = 为非 0 常数,即 2 = 3 , 3 = 4 ,??, An an an ?1 an A1 a1 A2 a2

∴ a1 , a3 , a5 ,? 和 a2 , a4 , a6 ,? 成等比数列,且公比相等; 反之, 若奇数项和偶数项分别成等比数列, 且公比相等, 设为 q , 则 是等比数列,故选 D. 二、填空题 1. (2011 年 高 考 广 东 卷 理 科 12) 设 Sn 是 等 差 数 列 {an }(n ? N * ) 的 前 n 项 和 , 且

An ?1 an ? 2 = = q , { An } 则 An an

a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S5 ? ______
答案:25 解析:由 a1 ? 1, a4 ? 7 可得 a1 ? 1, d ? 2, an ? 2n ?1,所以 S5 ?

(1 ? 9) ? 5 ? 25 。 2

2. (2011 年高考广东卷理科 11)等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若

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a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ?
【答案】10 .

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4?3 ? 9?8 d ? 4? d 1 ?9 ? 【解析】由题得 ? ?d ? ? 2 2 6 ?1 ? (k ? 1)d ? 1 ? 3d ? 0 ?

k ? 10

3. (2011 年高考湖北卷理科 13)《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自下 而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的 容积为 答案: 升

67 66

解析: 设从上往下的 9 节竹子的容积依次为 a1,a2,, ,9, ?? a 公差为 d, 则有 a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即 4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得: a5 ?

67 67 .即第 5 节竹子的容积 . 66 66

4.(2011 年高考陕西卷理科 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一 棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自 树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 【答案】2000 【解析】设树苗集中放置在第 i 号坑旁边,则 20 名同学返所走的路程总和为 (米) 。

l ? 2[(i ?1) ? (i ? 2) ?? ?2 ? 1 ?1 ? 2 ? ? ? (19 ? i) ? (20 ? i)] ?10
2 = (i ? 21i ? 210) ? 20 ? [(i ?

21 2 399 ) ? ] ? 20 即 i ? 10或11 时 lmin ? 2000 . 2 4

5.(2011 年高考重庆卷理科 11)在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 解析:74. a2 ? a8 ? a4 ? a6 ? a3 ? a7 ? 37 ,故 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2 ? 37 ? 74 6.(2011 年高考江苏卷 13)设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数 列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________ 【答案】 3 3 【解析】 考察综合运用等差、 等比的概念及通项公式, 不等式的性质解决问题的能力, 难题。 由题意: 1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ? 1 ? a1q ? a2 ? 2 ? a1q ,
2 3

?a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q2 ? a2 ? 2
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的最小值分别为 1, 3; qmin ? 3 3 。 2, ?

而 , 1 , ,? , q3 ? a2 ? 2 ? 3 , ? a2 ? 1a1 ? ? a2 a2 1 a22?

7. (2011 年高考北京卷理科 11)在等比数列{an}中,1= a

1 ,4=-4, a 则公比 q=______________; 2

a1 ? a2 ? ... ? an ? ____________。
【答案】—2 三、解答题: 1. (2011 年高考山东卷理科 20)(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

2 n ?1 ?

1 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2n . 【解析】 (I)当 a1 ? 3 时,不合题意; 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; 当 a1 ? 10 时,不合题意。 因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公式 q=3, 故 an ? 2 ? 3n?1. (II)因为 bn ? an ? (?1)n ln an

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

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S2n ? 2(1 ? 3 ??? 32n?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ? ?? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 5 ? ?? (?1) n n]ln3,
所以 当 n 为偶数时, Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2

1 ? 3n n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 当 n 为奇数时, Sn ? 2 ? 1? 3 2
? 3n ? n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2

? n n ?3 ? 2 ln 3 ? 1, n为偶数 ? 综上所述, S n ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2
2.(2011 年高考辽宁卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= -10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?

(I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

?a1 ? d ? 0, ?2a1 ? 12d ? ?10,

解得 ?

? a1 ? 1, ? d ? ?1.
………………5 分

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. (II)设数列 {

an a a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn 1 , 故S1 ? 1 , n ?1 2 2 2?

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n
所以,当 n ? 1 时,

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Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . 2n
所以 S n ?

n 2 n ?1

.

综上,数列 {

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 2

3.(2011 年高考浙江卷理科 19)(本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项

a1 ? a ( a ? R ),设数列的前 n 项和为 Sn ,且
的通项公式及 Sn (Ⅱ)记 An ?

1 1 1 , , 成等比数列(Ⅰ)求数列 {an } a1 a2 a4

1 1 1 1 1 1 1 1 ,当 ? ? ? ... ? , Bn ? ? ? ? ... ? S1 S2 S3 Sn a1 a2 a22 a2n

n ? 2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.[
【解析】 (Ⅰ)

1 1 1 2 ? ? ? a2 ? a1a4 ? (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? a 2 a2 a1 a4

则 an ? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (n ?1)a1 ? na1 ? na ,

n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) d ? an ? a? a 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (Ⅱ) An ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? ... ? 2?3 3? 4 n(n ? 1) S1 S2 S3 Sn 1? 2 a a a a 2 2 2 2 2 1 2 1 ? ? a 1? 2 a 2 ? 3 Sn ? a1n ?
? 2 1 2 1 2 1 ?? ? ? (1 ? ) a 3? 4 a n(n ? 1) a n ?1

1 1 ? ( )n 2 1 1 1 1 1 n 2 ? (1 ? 1 ) 因为 a2n ? 2 a ,所以 Bn ? ? ? ? ? ? ... ? a 2n a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 2

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1 1 ? 1? n ; n ?1 2

0 1 2 n 当 n ? 2 时, 22 ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? n ? 1 即 1 ?

所以当 a ? 0 时, An ? Bn ;当 a ? 0 时, An ? Bn . 4.(2011 年高考安徽卷理科 18)(本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个 数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ? tan an?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【命题意图】 :本题考查等比和等差数列,指数和对数运算,两角差的正切公式等基本知 识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力。 【解析】(Ⅰ t1 , t2 ,……,tn?2 构成递增的等比数列,其中 t1 ? 1 , tn?2 ? 100 ,则 : )

Tn ? t1 ? t2 ?……? tn?1 ? tn?2 Tn ? tn?2 ? tn?1 ?……? t2 ? t1

① ②

①×②并利用等比数列性质 tn?2 ? t1 ? tn?1 ? t2 ? ……=t1 ? tn?2 ? 102 得

Tn2 ? (tn?2 ? t1 ) ? (tn?1 ? t2 ) ?……?(t1 ? tn?2 ) ? 102( n?2) an ? lg Tn ? lg10n?2 ? n ? 2 , n ? 1
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 bn ? tan an ? tan an?1 ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3) , n ? 1 又? tan[(n ? 3) ? tan(n ? 2)] ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ? tan1 1 ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3)

? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3) ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ?1 tan1

所以数列 {bn } 的前 n 项和为

S n ? tan(1 ? 2) ? tan(1 ? 3) ? tan(2 ? 2) ? tan(2 ? 3) ? …… ? tan( n ? 2) ? tan( n ? 3) tan(1 ? 3) ? tan(1 ? 2) tan(2 ? 3) ? tan(2 ? 2) tan( n ? 3) ? tan( n ? 2) ? ? …… ? ?n tan1 tan1 tan1 tan(n ? 2) ? tan 3 ? ?n tan1 ?

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【解题指导】 :做数列题时应优先运用数列的相关性质,本题考查的是等比数列前 n 项积,自然想到等比数列性质: tn?2 ? t1 ? tn?1 ? t2 ? ……=t1 ? tn?2 ? 102 ,倒序相乘法是借鉴 倒序相加法得到的,这样处理就避免了对 n 奇偶性的讨论。 第二问的数列求和应联想常规的方法:倒序相加法,错位相减法,裂项相消法。而出 现 tan ? ? tan ? 时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合 起来就可以创造性的把问题解决。 5. (2011 年高考全国新课标卷理科 17)(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前项和. ? bn ?

分析:(1)先求首项和公比,后求通项(2)可以先求出 bn ,然后得新数列通项后再求和
2 3 2 解析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?
2

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

点评:本题考查等比数列通项公式,性质、等差数列前 n 项和,对数运算以及数列求和(列
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项求和)与数列综合能力的考查。解答过程要细心,公式性质要灵活运用。 6. (2011 年高考天津卷理科 20)(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 与 {bn } 满足: bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1)n * , n ? N ,且 2

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(Ⅰ )求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ )设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N * ,证明: ?cn ? 是等比数列; (Ⅲ)设 Sk ? a2 ? a4 ???? ? a2k , k ? N * , 证明:

?a
k ?1

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) . 6

【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证 能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. (Ⅰ )解:由 bn ?

?1, n是奇数 3 ? (?1) n * , n ? N ,可得 bn ? ? , 又 bn an ? an?1 ? bn?1an?2 ? 0, 2 2, n是偶数 ?

当 n=1 时, a1 ? a2 ? 2a3 ? 0 ,由 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,得 a3 ? ?3 ;

当 n=2 时, 2a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,可得 a4 ? ?5 . 当 n=3 时, a3 ? a4 ? 2a5 ? 0 ,可得 a5 ? 4 . (Ⅱ )证明:对任意 n ? N ,
*

a2n?1 ? a2n ? 2a2n?1 ? 0 ,① 2a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? 0 ,② a2n?1 ? a2n?2 ? 2a2n?3 ? 0 ,③
②-③得

a2n ? a 2n?

3

④,
*

将④代入①,可得 a2n?1 ? a2 n?3 ? ?(a2n?1 ? a2 n?1 ), 即 cn?1 ? ?cn ( n ? N ),又 c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故 cn ? 0 ,因此

cn ?1 ? ?1 ,所以 ?cn ? 是等比数列. cn

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(III)证明:由(II)可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? (?1)k , 于是,对任意 k ? N 且k ? 2 ,有
*

a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
将以上各式相加,得 a1 ? (?1)k a2k ?1 ? ?(k ?1), 即 a2k ?1 ? (?1)k ?1 (k ?1) , 此式当 k=1 时也成立.由④式得 a2k ? (?1)k ?1 (k ? 3). 从而 S2k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4k ?2 ? a4k ) ? ?k ,

S2k ?1 ? S2k ? a4k ? k ? 3.
所以,对任意 n ? N * , n ? 2 ,
n Sk S S S S ? ? ( 4 m?3 ? 4 m?2 ? 4 m?1 ? 4 m ) ? a m?1 a a4 m?2 a4m?1 a4 m k ?1 k 4 m ?3
n

4n

? ?(
m ?1 n

2m ? 2 2m ? 1 2m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2m ? 1 2m ? 3 2 3 ? ) 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2)

? ?(
m ?1

?

n 2 5 3 ?? ? 2 ? 3 m?2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 n 5 3 ? ?? ? 3 m?2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)
1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)

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1 5 5 1 3 ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 7 ? . 6
对于 n=1,不等式显然成立. 所以,对任意 n ? N * ,

S S S1 S2 ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 n a1 a2 a2 n?1 a2 n ?( S S S S S1 S2 ? ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n?1 ? 2 n ) a1 a2 a3 a4 a2 n?1 a2 n

1 1 1 2 1 n ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ? n ) 2 4 12 4 4 ? (4 ? 1) 4 (4 ? 1) 1 1 1 2 1 n ? n?( ? )?( 2 ? 2 2 ) ?? ? ( n ? n n ) 4 12 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1)
1 1 1 ? n?( ? ) ? n? . 4 12 3
7. (2011 年高考江西卷理科 18)(本小题满分 12 分) 已知两个等比数列 ?an? ,?bn? ,满足 a1 ? a(a ? 0) ,b1 ? a1 ? 1 ,b2 ? a2 ? 2 ,b3 ? a3 ? 3 . (1)若 a ? 1 ,求数列 ?an? 的通项公式; (2)若数列 ?an? 唯一,求 a 的值. .解: (1)当 a=1 时, b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a 2 , b3 ? 3 ? a3 ,又? ?a n ? ?bn ? 为等比数列,不 , 妨设 ?a n ?公比为 q1 ,由等比数列性质知: b2 ? b1b3 ? ( 2 ? a 2 ) ? 2?3 ? a 3 ? ,同时又有
2 2
[来源:Z#xx#k.Com]

a 2 ? a1q1 , a3 ? a1q1 ? ?2 ? a1q1 ? ? 2 3 ? a1q1 ? ?2 ? q1 ? ? 2 3 ? q1 ? q1 ? 2 ? 2
2 2 2 2 2

?

?

?

?

所以: a n ? 2 ?

?

2

?

n ?1

,n ?1

( 2 ) ?a n ? 要 唯 一 , ? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 由 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a 2 , b3 ? 3 ? a3 且

b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ? 3 ? aq12 ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,
2

?

?

? a ? 0 ,? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)
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? ?4a ? ? 4a ?3a ? 1? ? 0 ? 4a ?a ? 1? ? 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 等 比 数 列 ?a n ? 首 项 为 a , 其 余 各项 均 为常 数 0 , 唯 一 ,此 时 由

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,可推得 3a ? 1 ? 0, a ? 1 符合
3
综上: a ?

1 。 3
?

8. (2011 年高考湖南卷理科 16)对于 n ? N ,将 n 表示为

n ? a0 ? 2k ? a1 ? 2k ?1 ? a2 ? 2k ?2 ? ? ? ? ? ak ?1 ? 21 ? ak ? 20 ,当 i ? 0 时,
ai ? 1 ,当 1 ? i ? k 时, a i 为 0 或1 .记 I ?n? 为上述表示中 a i 为 0 的个数(例如:1 ? 1? 2 0 ,

4 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 ,故 I ?1? ? 0 , I ?4? ? 2 ) ,则(1) I ?12? ?

; (2)

?2 ? ? ?
I n n ?1

127

.
127

答案: I ?12? ? 2; ? 2 I ?n ? ? 1093
n ?1

解析: (1)由题意知 12 ? 1? 2 (2)通过例举可知: I

3

? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 ,所以 I ?12? ? 2;

?1? ? 0 , I ?2? ? 1 , I ?4? ? 2 , I ?8? ? 3 , I ?16? ? 4 , I ?32? ? 5 ,

I ?64? ? 6 , I ?128? ? 7 ,且相邻之间的整数的个数有 0,1,3,7,15,31,63.它们正好满足“杨辉三
角”中的规律: 从而

? 2 ? ? ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1) ? 2
I n n ?1

127

0

? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? 21 ? (1 ? 3 ? 6 ? 10 ? 15) ? 2 2

? (1 ? 4 ? 10 ? 20) ? 23 ? (1 ? 5 ? 15) ? 24 ? (1 ? 6) ? 25 ? 1? 26 ? 1093.
评析:本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背 景,着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.

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nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

9. (2011 年高考广东卷理科 20)设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足 a1 =b, an ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n, an ?

b n ?1 ?1 2n ?1

【解析】 (1)由 a1 ? b ? 0, 知an ?

nban?1 n 1 2 n ?1 ? 0, ? ? . an?1 ? 2n ? 2 an b b an?1

令 An ?

n 1 , A1 ? , an b
1 2 ? An ?1 b b

当 n ? 2时, An ?

?

1 2 2n ?2 2n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ?1 A1 b b b b

1 2 2n?2 2n?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n . b b b b
①当 b ? 2 时,

1 ?2? (1 ? ? ? ) n n b ?b? ? b ?2 , An ? 2 b n (b ? 2) 1? b
②当 b ? 2时, An ?

n

n . 2

? nbn (b ? 2) ,b ? 2 ? an ? ? bn ? 2n ?2, b?2 ?
(2)当 b ? 2 时, (欲证 an ?

nbn (b ? 2) b n ?1 bn ?1 b n ? 2n ? n ?1 ? 1, 只需证nbn ? ( n ?1 ? 1) ) b?2 b n ? 2n 2 2

(2

n ?1

?b

n ?1

b n ? 2n ) ? (2n ?1 ? bn ?1 )(bn ?1 ? 2bn ?2 ? ? ? 2n ?1 ) b?2

? 2n?1 bn?1 ? 2n?2 bn?2 ? ? ? 22n ? b2n ? 2b2n?1 ? ? ? 2n?1 bn?1

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2 22 2n b n b n ?1 b ? 2n bn ( ? 2 ? ? ? n ? n ? n ?1 ? ? ? ) b b 2 b 2 2

? 2n bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2n ? 2n bn ? n ? 2n?1 bn ,
? an ? nbn (b ? 2) bn?1 ? n ?1 ? 1. b n ? 2n 2

bn?1 当 b ? 2时, an ? 2 ? n ?1 ? 1. 2
综上所述 an ?

b n ?1 ? 1. 2n ?1

10. (2011 年高考湖北卷理科 19)(本小题满分 13 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a(a ? 0), an?1 ? rSn (n ? N ? , r ? R, r ? ?1) (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若存在 k ? N ? , 使得 Sk ?1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列, 试判断: 对于任意的 m ? N ? , m ? 2 , 且
am ?1 , am , am ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一 般的思想. 解析: (Ⅰ)由已知 an ?1 ? rSn ,可得 an ? 2 ? rSn ?1 ,两式相减可得 an ? 2 ? an ?1 ? r ( Sn ?1 ? Sn )ran ?1 即 an ? 2 ? (r ? 1)an ?1 又 a2 ? ra1 ? ra ,所以当 r ? 0 时,数列 {a n } 为: a, 0, ?, 0,? ; 当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,所以 an ? 0(n ? N ? ) 于是由 an ? 2 ? (r ? 1)an ?1 ,可得
? a2 , a3.?, n ,.? 成等比数列, a

an? 2 ? r ? 1(n ? N ? ) , an?1

当 n ? 2 时, an ? r (r ? 1)n ? 2 a 综上,数列 {a n } 的通项公式为 an ? ?
?a, n ? 1 n?2 ?r (r ? 1) a, n ? 2.

(Ⅱ)对于任意的 m ? N ? ,且 m ? 2, am ?1, am , am ? 2 成等差数列,证明如下: 当 r=0 时,由(Ⅰ)知, an ?
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?

a, n ? 1, 0, n ? 2.

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∴对于任意的 m ? N ? ,且 m ? 2, am ?1, am , am ? 2 成等差数列; 当 r ? 0, r ? ?1 时, Sk ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1. ? Sk ? 2 ? Sk ? ak ?1 ? ak ? 2 , 若存在 k ? N ? ,使得 Sk ?1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列,则
Sk ?1 ? Sk ? 2 ? 2 Sk , ? 2 Sk ? 2ak ?1 ? ak ? 2 ? 2 Sk ,

即 ak ? 2 ? ?2ak ?1 , 由 (Ⅰ) 知,a2 , a3 , ?, an , ? 的公比 r+1=—2, 于是对于任意的 m ? N ? , m ? 2 , 且
am ?1 ? ?2am 从而 am ? 2 ? 4am , ? am ?1 ? am ? 2 ? 2am ,

即 am ?1 , am , am ? 2 成等差数列. 综上,对于任意的 m ? N ? ,且 m ? 2, am ?1, am , am ? 2 成等差数列. 11.(2011 年高考重庆卷理科 21)(本小题满分 12 分。 (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分)
* 设实数数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S n ?1 ? an ?1S n n ? N

?

?

(Ⅰ)若 a1 , S2 , ?2a2 成等比数列,求 S2 和 a3 (Ⅱ)求证:对 k ? 3 有 0 ? an ?1 ? an ?

4 。 3

2 ?S2 ? ?2a1a2 2 解析: (Ⅰ)由题意 ? ,得 S2 ? ?2S2 , S2 ? a2 S1 ? a1a2 ?

由 S2 是等比中项知 S2 ? 0 ,因此 S2 ? ?2 , 由 S2 ? a3 ? S3 ? a3S2 ,解得, a3 ?

S2 2 ? S2 ? 1 3

(Ⅱ)证明:有题设条件有 an?1 ? n ? an?1 ? Sn , S 故 Sn ? 1, an?1 ? 1 ,且 an ?1 ?

Sn a , Sn ? n?1 Sn ? 1 an?1 ? 1
ak ?1 ?

ak ?1 Sk ?1 a ? Sk ?2 ak ?1 ? 1 ? k ?1 ? 从而对 k ? 3 有 ak ? ① Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? S k ? 2 ? 1 a ? ak ?1 k ?1 ak ?1 ? 1
2 因 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? ? ak ?1 ?

? ?

1? 3 2 ? ? ? 0 ,且 ak ?1 ? 0 , 2? 4

2

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要证 ak ?

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2 4 ak ?1 4 ,由①,只要证 2 ? 3 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3

2 2 即证 3ak ?1 ? 4 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ,即 ? ak ?1 ? 2 ? ? 0 ,此式明显成立, 2

?

?

因此 ak ?

4 ? k ? 3? 。 3
2 ak ? ak , 2 ak ? ak ? 1

最后证, ak ?1 ? ak ,若不然, ak ?1 ?

又因 ak ? 0 ,故

2 ak 2 ? 1 ,即 ? ak ? 1? ? 0 。矛盾, 2 ak ? ak ? 1

12.(2011 年高考四川卷理科 20) (本小题共 12 分) 设 d 为非零实数,an =

1 1 2 2 n-1 n-1 n n * [C n d+2Cn d +?+(n—1)Cn d +nC nd ](n∈N ). n

(I) 写出 a1,a2,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由; (II)设 bn=ndan (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解析: (1)
*

a1 ? d a2 ? d ( d ? 1) a3 ? d ( d ? 1) 2
0 1 2 n an ? Cn d ? Cn d 2 ? Cn d 3 ? ? ? Cn ?1d n ? d (1 ? d ) n ?1

an ?1 ? d (1 ? d ) n an ?1 ? d ?1 an
因为 d 为常数,所以 {an } 是以 d 为首项, d ? 1 为公比的等比数列。

bn ? nd 2 (1 ? d ) n ?1
(2) Sn ? d (1 ? d ) ? 2d (1 ? d ) ? 3d (1 ? d ) ? ?? ? nd (1 ? d )
2 0 2 1 2 2 2 n ?1

? d 2 [(1 ? d )0 ? 2(1 ? d )1 ? 3(1 ? d ) 2 ? ?? ? n(1 ? d ) n ?1 ](1)

(1 ? d )Sn ? d 2[(1 ? d )1 ? 2(1 ? d )2 ? 3(1 ? d )3 ? ??? n(1 ? d )n ](2)
(2) ? (1) ? dSn ? ?d [
2

1? (1 ? (1 ? d )n ) ? d 2 n(1 ? d )n ? d ? (d 2 n ? d )(1 ? d )n 1 ? (1 ? d )

? Sn ? 1 ? (dn ?1)(1 ? d )n

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1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n
n

13.(2011 年高考全国卷理科 20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

【解析】(Ⅰ)由 :

? 1 ? 1 1 ? ? 1.得 ? ? 为等差数列 , 1 ? an ? 1 ? a n ?1 1 ? a n ?

前项为

1 1 1 1 ? 1, d ? 1, 于是 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,?1 ? an ? , an ? 1 ? n n 1 ? a1 1 ? an

(Ⅱ) bn ?
n

1 ? an ? 1 n

1? ?

n ? 1 ?1 n ? 1 ? n ?1 ? n ? 1 ? 1 n n ?1 n n n ?1

Sn ? ? bk ? (
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? 1? n ?1 1 2 2 3 n n ?1

14.(2011 年高考江苏卷 20)设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立 (1)设 M={1} a 2 ? 2 ,求 a5 的值; , (2)设 M={3,4} ,求数列 {an } 的通项公式 【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题 的能力,其中(1)是容易题, (2)是难题。 (1)? k ? 1,??n ? 1, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ),? Sn?2 ? Sn ? 2(Sn?1 ? S1 ) 即:

an?2 ? an ? 2an?1
所以,n>1 时,?an ? 成等差,而 a 2 ? 2 ,S2 ? 3, S3 ? 2(S2 ? S1 ) ? S1 ? 7,? a3 ? 4,? a5 ? 8; (2)由题意: ?n ? 3, Sn?3 ? Sn?3 ? 2(Sn ? S3 ),(1); ?n ? 4, Sn?4 ? Sn?4 ? 2(Sn ? S4 ),(2) ,

?n ? 4, Sn?4 ? Sn?2 ? 2(Sn?1 ? S3 ),(3); ?n ? 5, Sn?5 ? Sn?3 ? 2(Sn?1 ? S4 ),(4);
当 n ? 5 时,由(1) (2)得: an?4 ? an?3 ? 2a4 ,(5) 由(3) (4)得: an?5 ? an?2 ? 2a4 ,(6)
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由(1) (3)得: an?4 ? an?2 ? 2an?1 ,(7); 由(2) (4)得: an?5 ? an?3 ? 2an?1 ,(8); 由(7) (8)知: an?4 , an?1 , an?2 , 成等差, an?5 , an?1 , an?3 , 成等差;设公差分别为: d1 , d2 , 由(5) (6)得:

an?5 ? an?3 ? 2d2 ? an?4 ? 2a4 ? 2d2 ,(9); an?4 ? an?2 ? 2d1 ? an?5 ? 2a4 ? 2d1,(10);
由(9) (10)得:an?5 ? an?4 ? d2 ? d1 , 2a4 ? d1 ? d2 , an?2 ? an?3 ? d2 ? d1; ??a n ? (n ? 2) 成 等差,设公差为 d, 在(1) (2)中分别取 n=4,n=5 得: 2a1 +6a 2 ? 15d ? 2(2a1 ? 5a2 ? 5d ),即4a2 ? 5d ? ?2;

2a1 ? 8a2 ? 28d ? 2(2a1 ? 7a2 ? 9d ),即3a2 ? 5d ? ?1 ? a2 ? 3, d ? 2,? an ? 2n ?1.
15.(2011 年高考江苏卷 23)(本小题满分 10 分) 设整数 n ? 4 , P ( a, b) 是平面直角坐标系 x O y 中的点,其中

a, b? {1 , 2 ,? , n , a} , b 3 ?
(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn 解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。 (1)因为满足 a ? b ? 3 a, b ?{1, 2,3, ?, n}, a ? b 的每一组解构成一个点 P,所以

1 3

An ? n ? 3 。
(2)设 ( a ? b) ? k ? N ,则 a ? b ? 3k , 0 ? 3k ? n ? 1,? 0 ? k ?
*

1 3

n ?1 , 3

对每一个 k 对应的解数为:n-3k,构成以 3 为公差的等差数列;

1 ? n ? 3 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? 2 3 6 2 ? n ? 3 n ? 2 (n ? 2)(n ? 1) ? 当 n-1 被 3 除余 1 时,解数一共有: 2 ? 5 ? ? ? n ? 3 ? 2 3 6 3 ? n ? 3 n ? 3 (n ? 3)n ? 当 n-1 被 3 除余 2 时,解数一共有: 3 ? 6 ? ? ? n ? 3 ? 2 3 6
当 n-1 被 3 整除时,解数一共有: 1 ? 4 ? ? ? n ? 3 ?
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? (n ? 1)(n ? 2) , n ? 3k ? 1orn ? 3k ? 2 ? ? 6 ? Bn ? ? (k ? N * ) (n ? 3)n ? , n ? 3k ? 3 ? 6 ?
16.(2011 年高考北京卷理科 20)(本小题共 13 分) 若数列 An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2) 满足 an?1 ? a1 ? 1(k ? 1,2,..., n ?1) , 数列 An 为 E 数列, 记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (Ⅰ )写出一个满足 a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ )若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ )对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0? 如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。 解: )0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (Ⅰ (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ )必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1,2,?,1999 . ) 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 an?1 ? an ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 即An 是递增数列. ), 综上,结论得证。 (Ⅲ)令 ck ? ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1),则c A ? ?1. 因为 a2 ? a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? c2 ??

an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,

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所以 S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn?1

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c 2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? c n ?1 )]. 2

因为 ck ? ?1, 所以 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ? 1). 1 所以 *1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ) 为偶数, 所以要使 S ( An ) ? 0, 必须使

n(n ? 1) 为偶数, 2

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N *) . 当

n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An的项满足a4k ?1 ? a4k ?1 ? 0, a4k ?2 ? ?1, a 4 k ? 1
(k ? 1,2,?, m) 时,有 a1 ? 0, S ( An ) ? 0;

a4k ? 1(k ? 1,2,?, m), a4k ?1 ? 0时, 有a1 ? 0, S ( An ) ? 0;
当 n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An 的项满足, a4k ?1 ? a3k ?3 ? 0, a4k ?2 ? ?1, 当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ? 3(m ? N )时, n(m ? 1) 不能被 4 整除,此时不存在 E 数 列 An, 使得 a1 ? 0, S ( An ) ? 0. 17.(2011 年高考福建卷理科 16)(本小题满分 13 分) 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= (I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 x ? 大值为 a3,求函数 f(x)的解析式。 解: (I)由 q ? 3, S3 ? 解得 a1 ?

13 。 3

?
6

处取得最大值,且最

13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 3 1? 3 3

1 . 3 1 n ?1 n?2 所以 an ? ? 3 ? 3 . 3
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(II)由(I)可知 an ? 3n?2 , 所以a3 ? 3. 因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A=3。 因为当 x ?

?
6

时 f ( x ) 取得最大值,

所以 sin(2 ?

?
6

? ? ) ? 1.

又 0 ? ? ? ? , 故? ?

?
6

.

所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

)

18.(2011 年高考上海卷理科 22)(18 分)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 ,将集合 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N * )

{x | x ? an , n ? N *} ?{x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列
c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。
(1)求 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,?; (3)求数列 {cn } 的通项公式。 解:⑴

c1 ? 9 , c2 ? 1 1, 3 ? 1 2 4 ? ; 3 c c, 1

* ⑵ ① 任意 n ? N ,设 a2n?1 ? 3(2n ?1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k ? 3n ? 2 ,即

a2n?1 ? b3n?2
② 假设 a2n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ? N * (矛盾) ,∴ 2

a2n ?{bn }

∴ 在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 。 ⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6 ? 5 ? 6 ? 6 ? k ? 7 k k 6

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,??
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? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? ∴ cn ? ? ,k ? N* 。 6k ? 6 (n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) ?

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