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指数与指数幂的运算学案


莱芜二中“三五一”高效课堂 高一数学学案
班级 2.1.1 指数与指数幂的运算 组别 姓名 设计人吕秀英

学习目标
(1)理解 n 次方根与根式的概念; 理解有理指数幂的含义, (2)正确运用根式运算性质化简、求值; 会用幂的运算法则进行有关计算

探究预案
1、阅读教材 p48 的两个问题,思考:对比初中所

学,指数幂中指数的范围有什么变化? 2、 (1)平方根的定义: (2)立方根的定义: (3)一个数的平方根、立方根各有几个?(可举例说明)

探究导案
一、根式(阅读教材 p49 ,类比平方根、立方根的知识思考、讨论) 1、什么叫一个数的 n 次方根? 2、一个数的 n 次方根有几个?怎样表示?

3、根式:式子

叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数。

体会: n a 与 a 的 n 次方根的关系: 4、常用等式: 归纳: (1)

? a? ?
n n
3

如:

? 5? ?
2
n



?
.

5

?3 ?
3

?

5

问题:计算: 4 16 ?

2 ; (? 2) ?

; 23 =



?8 ?

(? 2 n) =

(2) n a n ? 例 2:求下列各式的值 (1)
3

( ?8)3

(2)

4

(3 ? ? ) 4 (3) 2 (a ? b) 2

1

二、分数指数幂及运算性质 问题:观察以下式子,其中 a >0 ①
5

a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5
4

10

② =

a8 ? ( a 4 ) 2 ? a 4 ? a 2
④ 5 a10 ? = =

8

类似的写出③

a12 =

=

并总结出规律: 根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式. 如:
3

a ? a ? (a ? 0) ; b ? b ? (b ? 0) ; c ? c ? (c ? 0) 。
2 4 5

2 3

1 2

5 4

总结: 1、正数的正分数指数幂的意义是: a
m n

?

( a ? 0, m, n ? N , n ? 1 ) 。

?

2、正数的负分数指数幂的意义是: a 3、0 的正分数指数幂为:

?

m n

?

( a ? 0, m, n ? N , n ? 1 ) 。 。

?

,0 的负分数指数幂

4、分数(有理数)指数幂的运算性质:

思考:和整数指数幂的运算性质有什么异同? 口答:根式与分数指数幂的互化:
n

am =

(a ? 0, m, n ? N ?n ? 1) ; 2 35 =


; 3 54 =


2 ? 3

a ?

1 2

a ?

3 4



a

3 ? 5

?

; a

?

.

自学例 2、例 3,要求:说出所用的运算性质,规范解题步骤。 例 2 求值:

? 16 ? ?1? 8 ; 25 ; ? ? ; ? ? ? 81 ? ? 2?
?

2 3

1 2

?5

?

3 4

2

例 3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中 a ? 0 )

a 3 ? a ; a 2 ? 3 a 2 ; a3 a 。

自学例 4,要求:说出所用的方法,规范解题步骤。
3 1 5 1 1 ? ? ? 1 ? 2 1 ?? ? ? ? 8? 4 m n 例 4、 (1) ? 2a 3 b 2 ?? ? 6a 2 b 3 ? ? ? ? 3a 6 b 6 ? ; (2) ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 8

探究练案
一、当堂练习: 1、用分数指数幂表示下列各式 (1) 3 x 2
2 (3) 3 ( m ? n) ( m ? n) 3 (2) 4 ( a ? b) (a+b>0) 4 (4) ( m ? n ) (m>n)

(5)

p ? q (p>0)
6 5

(6)

m3 m

2、计算下列各式:

? 36 ? 2 (1) ? ? ? 49 ?

3

(2) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

二、自我检测: 1.
4

(?3)4 的值是(

). D. 81 D. 25

A. 3 B. -3 C. ? 3 2. 625 的 4 次方根是( ). A. 5 B. -5 C. ±5 3. 化简 ( ?b ) 是(
2 2

). C. ?b D.

A. ?b

B. b

1 b

3

4、对于 a, b ? 0, r , s ? Z ,以下运算正确的是( A. a ? a ? a
s r
3


s r ?s

rs

B. a

? ?

r s

?a

r ?s

C. a ? b ? ?ab?
r

?a? D. ? ? ? a r ? b ?r ?b?

r

5、化简 25 2 的结果是( A. 5 B. 15 C. 25 6、计算 ? ? 2 ? ? A.
2

). D. 125 ). D. ?

?

?

?2

? 2 的结果是( ? ?

?

1

B. ? 2

C. .

2 2

2 2

7. 化简 6 (a ? b)6 = 8. 计算: ( 3 ?5)3 =

; 2 34

.

四、课下探究: 1、

? a? ?
n n

n

a n 吗?给出说明。
?

2、阅读无理指数幂部分并知道:一般的,无理指数幂 a (a ? 0, ?是无理数 ) 是一个确定的 实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂。

4


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