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2010年北京市中学生数学竞赛初赛(高一)


2011年第1期

31

2010年北京市中学生数学竞赛初赛(高一)
中圈分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2011)01-0031—03

一、选择题(每小题6分,共36分)

(A)31.5

(B)30.5

>1.函数Y=2sinI 3x一号)的图像向左平
移妒(妒>0)个单位,所得到的图像对应的函 数为奇函数.则p的最小值是( ).

(C)一30.5

(D)一31.5

二、填空题(每小题8分,共64分)
1.已知函数f(菇)=膏2—1的定义域为 D,值域为{一l,0,l,3}.试确定这样的集合D 最多有多少个.

(A)詈 (B)詈 (c)詈 (D)詈
2.已知P(a,b)是第一象限内的矩形 ABCD(含边界)中 的一个动点,A、B、 C、D的坐标如图1


的值.

厶累——、磊再丽虿面硒一
,七嘞l092丁+%,了3+嵫,丁4+%,了5+嘞,丁6+%,T7
3.如图2,在长方形
A E B

所示.则旦的最大值


ABCD中,E为边AB上一 点,AB=14,CE=13,DE
图1

与最小值依次是
( ).

=15,CF_L DE于点F,

联结AF、BF.求△ABF的 面积.

(A)q,p(B)-p-,q (C)旦,卫 (o).e-,卫

图2

4.在同一个直角坐标系中,已知直线 ,,=kx与函数
,2戈+4, 茗<一3; 一3≤菇≤3; ,,={一2, 【2x一8.菇>3

3.已知P是△ABC所在平面上一点,满

足赢+一PB+_PC=2 A_B.若s邰8c=6,则s蜊日
=( ). (A)4 (8)3 (C)2 (D)1

的图像恰有三个不同的交点.试确定k的取
值范围. 5.已知P是△ABC内一点,且满足


4.若二次函数火菇)=似2+bx+c的对称

轴为石=l,且其图像过点(2,o),则琴蠹学的
值是( ). (B)一2 (C)2 ). (D)3 (A)一3 5.在△ABC中,中线AD与BE垂直交 于点G.则sin C的最大值是(

PA+3朋+6 PC=0.

试确定△PAB、△PBC、△PCA的面积
之比. 6.在凸四边形ABCD中,么BAD+ 么ADC=2400。E、F分别是边AD、BC的中

(A)子(B’了3(c)手(D’了4
6.已知函数八茗)的定义域为(一∞,0)

点,盱=∥.若以AB、CD为边分别画两个正
方形A。、A:,再画一个长度、宽度分别为AB、 CD的长方形A,.求所画的三个图形A。、A2、 A,的面积之和.

u(o,+∞),且满足一÷)+知一名)=4茁. 则以2啊一寺)的值等于( ).
万方数据

7.求sin4詈+cos4擎+sin'警+cos4塑8

32

中等数学
C=

的值.
COS

8.在△ABC中,么ABC=100。,么ACB
=650,分别在边AB、AC上取点肘、Ⅳ,使得 么MCB=55。,么NBC=80。.试确定 么NMC的度数.

—矿≥■i孑~2了‘
口2+62一C2.a2+b2一C2 4 3 。。5‘

又么C是锐角,则

参考答案
一、1.C.

6.D.

把菇=一2,茗=÷分别代人题设等式得

由题意知,题给函数的最小正根为詈,而
奇函数的必要条件是在原点的函数值为0,

于是,妒的最小值是詈.
2.B.

附讣一寺‘ 羹荔凳-8,醐if(2)=9,鲁. 一2)+砜一÷)=2
故八2以一虿1)=一31.5.
二、1.27.

因为.后0P=ib,且J|}0c≤后DP≤后0^,所以,
旦的最大值为卫,最小值为旦.
3.C.

因为八0)=一1,人±1)=0,
以±以)=1,以±2)=3,

所以,0∈D;{一1,1},{一在,厄},{一2,2}
各组中都至少一个属于D. 于是,这样的D共有3×3×3=27个.

由南+商+庇:2压:2(南一一PA),得 ---o?--o ,—--_——-_
3 PA=PB—PC=CB.

故.s删丑=÷Is创朋=2.
4.A.

由题意知曲线过点(0,0),故C啾0)=0.
于是,以戈)=似2+缸.

腓墨蕊2
1092

lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8

3砸4





7)

又图形的对称轴为菇=罢=1,即6:



10922~一2



地测错=糍一3.
5.R

2忑r21r2工一乱
tg 8

319 2



如图3,在

设朋=茗.贝ⅡAE=14一髫.
在Rt△ADE和Rt△BCE中分别应用
勾股定理得
B D C


△ABC中,设BC
=口,CA=b。AB= c,GD=算,GE=Y.

DE2一AE2=AD2=BC2=CE2一BE2.


GA=2x。 GB=2y.

即152一(14一算)2=132一菇2. 解得龙=5. 则AD=BC=132一z2=12.

图3

在Rt△AGB、Rt△AGE和Rt△BGD
中,分别应用勾股定理得

骶以,s蛳nE={AB?Bc=84.
又Rt△CDF∽Rt△DEA,则
s雠DF C萨

4x2+4y2----C2缸2+广=百b2,戈2+句2=£4.
由余弦定理得

.s伽一DE2‘

万方数据

2011年第1期

33

因此,s一=》一=47m
由s△。卯+s出肼=吉§矩黝。cD=84,则
.s脚胛=84一SAcor--36.96.

么BPC=60。.

联结BD,取BD的中点G,联结EG、粥.
则由三角形中位线定理知

朋丝扣口,FG//吉CD,EGF=120。.
在△EGF中,由余弦定理得
1:EF2=EG2+FG2+EG.FG

4.(纠.
在坐标系中画出函数草图,即图4中的 粗黑折线. 直线fl: Y=2x与该折 线只有一个公 共点; 直线Z2:
,'

=(竽)2+(竽)2+(竽)(竽),


3 口 / 7, // /



J / 莎 / b, 刁 , , 多 / / / ∥ , 彳 O l /




即A曰2+CD2+AB×CD=28.

所以,三个图形Al、A2和A,的面积之和 为28.





} |




,,=÷菇与该折 ,,2≯勺玖折
线只有两个公 共点.





7吾. sin4詈+c。s4警+sin4等+c。,孚
-81n虿+s虿 =sin4詈+sin4詈+co¥4詈+cos4詈 i+c08 i

图4

对于过原点的直线,当由Z:逆时针旋转

到z,时,即当且仅当斜率k满足÷<k<2时,
直线Z,:,,=k与该折线恰有三个交点.
5.6:2:3.

=÷【(,一c。s詈)2:(?+c∞詈)2】 =,…2手=寻.
8.250.

如图5,取点A,、8I、c,,使

易知么BAC=15。. 如图7.作△MCB的外接圆与BN的延 长线交于点肘卜则在
,‘一、

PAl=2蹦,PBl=3

PB,PCI=6 PC.

贝0PAl+PBl+PCI=0. 于是,P为△A。曰。C。的重心.

这个圆中弧CM,与
/‘、

故S蜊l凡=S卿lcl=5幽l^l,
S△j,A8:S△PBc:S△Pc^

CM所对的圆周角互 补.所以,CMl=CM.


=点:点6:6南2=6:2:3.
—u’二’J‘

一2×3+3×。

又么M。CM =么朋,BM


/ I



=1000一80。=200,、、、 么ACM
=650一55。=100.
图7

C。 图5



F 图6

则么MlCⅣ=100. 又CⅣ=CN,则△M。CN丝△MCN. 故么NMC=么NMl C=么CMB =么BAC+么ACM=150+10。=25。. (李延林提供)

6.28.

如图6,延长8A与CD交于点P. 由么BAD+么ADC=240。,得

万方数据

2010年北京市中学生数学竞赛初赛(高一)
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2011(1)

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