2013年高考数学(文)解析分类汇编6不等式

2013 年高考数学（文）解析分类汇编 6：不等式
一、选择题

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, ? 1 ． （2013 年高考四川卷（文 8） ）若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b 的值 ? x ? 0, ? ? y ? 0,
是 A． 48
【答案】C

（ B． 30 C． 24 D． 16

）

? x ? y ? 8, ?2 y ? x ? 4, ? 【解析】条件 ? 表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四顶点可知，当 x ? 4 ， y ? 4 时， x ? 0, ? ? ? y ? 0,
a ? zmax ? 5 ? 4 ? 4 ? 16 ，当 x ? 8 ， y ? 0 时， b ?min ? 5 ? 0 ? 8 ? ?8 ，所以 a ? b ? 24 ，选 C.
?x ? y ? 2 ? 2 ． （2013 年高考福建卷（文） ）若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 （ ?y ? 0 ?
A．4 和 3 B．4 和 2 C ．3 和 2 D．2 和 0 【答案】B 【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为 4 和 2．

）

y 2

O

1

2

x

? x ? y ? 1 ? 0, ? 3 ． （2013 年高考课标Ⅱ卷（文 3） ） 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ，则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是（ ? x ? 3, ?
（A） ?7 【答案】B （B） ?6 （C） ?5 （D） ?3

）

【解析】由 z=2x-3y 得 3y=2x-z，即 y ?

2 z x ? 。作出可行域如图 3 3

,平移直线 y ?

2 z x ? ，由图象可知当直 3 3

线y?

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 3 2 z 2 z x ? 经过点 B 时，直线 y ? x ? 的截距最大，此时 z 取得最小值，由 ? 得? ，即 B(3, 4) ,代入 3 3 3 3 ?x ? 3 ?y ? 4
x

直线 z=2x-3y 得 z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?6 ，选 B.
4 ． （2013 年高考福建卷（文） ）若 2

? 2 y ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是

（

）

A． [0,2]
【答案】D

B． [?2,0]

C． [?2,??)

D． (??,?2]

【解析】 本题考查的是均值不等式． 因为 1 ? 2

x

x? y x y ? 2?2 ， 即2 所以 x ? y ? ?2 ， 当且仅当 2 ? 2 ， 即x ? y ? 2 y ? 2 2x ? 2 y ，

时取等号．
5 ． （2013 年高考江西卷（文 6） ）下列选项中,使不等式 x<

1 2 < x 成立的 x 的取值范围是 x
D．(1,+ )

（

）

A．(

,-1)

B．(-1,0)

C．0,1)

【答案】A

1 ? x? ? ? x2 ? 1 ? ? x 【解析】本题考查不等式的解法。若 x ? 0 ，则原不等式等价为 ? ，即 ? ，解得无解。若 x ? 0 ，则原不等式 3 ? ?1 ? x ? 1 ? x2 ? ?x 1 ? x? 2 ? ? ? x ? ?1 ? ?x ? 1 x 等价为 ? ，即 ? ，即 ，所以 x ? ?1 ，即 x 的取值范围是 (??, ?1) ，选 A. ? 3 3 ? ?1 ? x ?1 ? x ? 1 ? x2 ? ?x

6 ． （2013 年高考山东卷（文 12） ）设正实数 x, y, z 满足 x

2

? 3 xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当

z 取得最大值时, x ? 2 y ? z 的最大值为 xy
（ ）

A．0
【答案】C

B．

9 8

C ．2

D．

9 4

z x 2 ? 3xy ? 4 y 2 x 4y 【解析】由题设知 z ? x ? 3xy ? 4 y ，解得 ? ? ?3? ? 4 ? 3 ? 1 ，当且仅当 x ? 2 y 时取等号， xy xy y x
2 2

(

1 1 2y ? 4 ? x 2 z ) ? 2 ，故选 C. ) min ? 1 . x ? 2 y ? z ? 2 y ? 2 y ? xy ? y (4 ? x) ? ? (2 y )(4 ? x) ? ( 2 2 2 xy

7 ． （2013 年高考课标Ⅱ卷（文 12） ）若存在正数 x 使 2

x

( x ? a) ? 1 成立，则 a 的取值范围是（
（D） (?1, ??)

）

（A） (??, ??) 【答案】D

（B） (?2, ??)

（C） (0, ??)

【解析】 因为 2 ? 0 ， 所以由 2
x

x

( x ? a) ? 1 得 x ? a ?

1 ?x ? 2? x ， 在坐标系中， 作出函数 f ( x) ? x ? a, g ( x) ? 2 的图象， 当x ?0 x 2

时， g ( x) ? 2

?x

? 1 ，所以如果存在 x ? 0 ，使 2x ( x ? a) ? 1 ，则有 ?a ? 1 ，即 a ? ?1 ，所以选 D.

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 8 ． （2013 年高考天津卷（文 2） ）设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为 （ ? y ? 3 ? 0, ?

）

A．-7 C ．1
【答案】A

B．-4 D．2

【解析】 由 z ? y ? 2x 得 y ? 2x ? z 。 作出可行域如图

， 平移直线 y ? 2 x ? z ， 由图象可知当直线 y ? 2 x ? z

?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 5 经 过 点 D 时 ， 直 线 y ? 2x ? z 的 截 距 最 小 ， 此 时 z 最 小 ， 由 ? ，得 ? ， 即 D ( 5, 3)代 入 z ? y ? 2 x 得 ?y ? 3 ? 0 ?y ? 3

z ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 ，选 A.
9 ． （2013 年高考湖北卷（文） ）某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36

人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最 少为 （ ） A．31200 元 B．36000 元 C．36800 元 D．38400 元 【答案】C

?36 x ? 60 y ? 900 ? 【解析】本题考查线性规划的实际应用。设 A 、 B 两种车辆的数量为 x, y ，则由题意知 ? x ? y ? 21 ，则所求的租金 ?y ? x ? 7 ?

z ? 1600 x ? 2400 y 。作出可行域如图
移直线 y ? ?

，由 z ? 1600x ? 2400 y 得， y ? ?

2 z x? ，平 3 2400

2 z 2 z 2 z x? ， 由图象可知当直线 y ? ? x ? 经过点 C 时， y ? ? x ? 的截距最小， 此时 z 最小。 3 2400 3 2400 3 2400

由?

?36 x ? 60 y ? 900 ?x ? 5 ，解得 ? ，即 C (5,12) ,代入 z ? 1600 x ? 2400 y 得 z ? 1600 ? 5 ? 2400 ?12 ? 36800 ，选 C. ?y ? x ? 7 ? y ? 12
（ ）

10． （2013 年高考陕西卷（文 7） ）若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为

A．-6
【答案】A 【解析】

B．-2

C ．0

D．2

y ?| x | 与y ? 2 的图像围成一个三角形区域，3 个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y = - 6

取最小值。所以选 A

11 ． （ 2013 年高考重庆卷（文 7 ） ） 关于

x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 ( a ? 0 ) 的解集为 ( x1 , x2 ) , 且 : x2 ? x1 ? 15 , 则 a ?
（ ）

A．

5 2

B．

7 2

C．

15 4

D．

15 2

【答案】A

【解析】本题考查一元二次不等式的解法。不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 的解集为 ( x1 , x2 ) ，则 x1 , x2 是方程 x ? 2ax ? 8a ? 0 的
2 2 2 2

两个根，所以 x1 ? x2 ? 2a, x1x2 ? ?8a2 。 ? ? 4a2 ? 4(?8a2 ) ? 36a2 ? 0 又 x2 ? x1 ? 15 ，所以 ( x2 ? x1 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ，
2 即 152 ? (2a)2 ? 4(?8a2 ) ，整理得 a ?

225 15 5 ? ，选 A. ，因为 a ? 0 ，所以 a ? 36 6 2
（ D． a ? b
3 3

12． （2013 年高考北京卷（文 2） ）设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则

）

A． ac ? bc
【答案】D

B．

1 1 ? a b

C． a ? b
2

2

【解析】 利用特值法和排除法结合可快速判断， A： 由于 C 的正负号不确定， 若 C 为零或负数， 不成立， 则错误； B： 若a ? 0，

无意义，错误；C： a ? ?1 ， b ? 1 就不满足，错误；答案只能为 D。另外从函数的单调性的角度亦可快速判断，A 容易排除， BCD 四个选项分别代表了反比例函数，二次函数，三次幂函数，只有三次幂函数定义域为 R 且在 R 上单调递增。
二、填空题

? x ? 0, ? 13． （2013 年高考大纲卷（文 15） ）若 x、 y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z ? ? x ? y的最小值为 ____________. ?3 x ? y ? 4, ?
【答案】0

【解析】作出可行域，如图

， A(0,4) ， B(1,1) ， 过 B(1,1) 时 截 距 最 少 ， 此 时

z ? ?1 ? 1 ? 0 ，填 0.
14． （2013 年高考浙江卷 （文 16） ）设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x -x +ax+b≤(x -1) ,则 ab 等于______________.
4 3 2 2

【答案】 ?1 【解析】当 x ? 1 时，代入不等式有 0 ? a ? b ? 0 ，所以 a ? b ? 0 。当 x ? 0 时，可得 0 ? b ? 1 ，结合 a ? b ? 0 ，得 ?1 ? a ? 0 。

令 f ( x) ? x ? x ? ax ? b ， 则 f ( 1? ) a? b? 。 0 f '( x) ? 4 x ? 3x ? a 。 令 g ( x) ? f '( x) ? 4 x ? 3x ? a ， 则
4 3 3 2 3 2

g ' (x ? )

2 1 x ? 2

， 由 ' x) ? 1 2x 6 ?x? 0 x6 g (
2

， 解得 x ?

1 1 1 3 2 ， 即函数 g ( x) ? f '( x) ? 4 x ? 3x ? a 在 [0, ] 上递减， 在 [ , ??) 2 2 2
4 3

上递增。又 ?1 ? a ? 0 ，所以 g (0) ? f '(0) ? a ? 0， g (1) ? f '(1) ? 1 ? a ? 0 ，且当 x ? 0 时，恒有 0 ? x ? x ? ax ? b ，且
4 3 f (1) ? a ? b ? 0 知， 1 必为函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? b 的极小值点， 也是最小值。 所以 g (1) ? f '(1) ? 1 ? a ? 0 ， 解得 a ? ?1 ，

b ? 1 ，所以 ab ? ?1 。

? x ? 2 y ? 8, ? 15． （2013 年高考湖南（文 13） ）若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 x+y 的最大值为________ ?0 ? y ? 3, ?
【答案】6

【命题立意】本题考查线性规划的应用。设 z ? x ? y ，则 y ? ? x ? z 。作出可行域如图 线 y ? ?x ? z ， 由图象可知当直线 y ? ? x ? z 经过点 A 时， 直线 y ? ? x ? z 的截距最大， 此时 z 最大。 由? 即 A(4, 2) ，代入 z ? x ? y ,得 z ? 4 ? 2 ? 6 .

。平移直

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 4 ， 得? ， x ? 4 y ? 2 ? ?

16 ． （ 2013 年高考重庆卷（文 15 ） ） 设 0 ? ? ? ? , 不等式 8x

2

对 x ? R 恒成立 , 则 a 的取值范围为 ? (8sin? ) x ? cos ? 2? 0

____________.
【答案】 [0,

?
6

]?[

5? ,? ] 6
2

【解析】本题考查一元二次不等式恒成立问题以及三角函数的基本运算。不等式 8x

? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 恒成立，所以
2 1 ， 所 以 sin ? ?

? ? 0 ， 即 ? ? ( 8 s i? n? ? c o? s? 2 n 2? ) ? 4? 8 c ? o? s 2，整 0理 得 2 s i 2
?

n? ? ，0 即 4 s i2

1 1 ? 5? ? 5? ? sin ? ? ，因为 0 ? ? ? ? ，所以 0 ? ? ? 或 ? ? ? ? ，即 ? 的取值范围是 [0, ] ? [ , ? ] 。 2 2 6 6 6 6

1 ，即 4

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 17． （2013 年高考山东卷（文 14） ）在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点,则直线 ?y ? 0 ?

OM 的最小值为_______
【答案】

2
| ?2 | ? 2。 1?1

【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知|OM|的最小值应是 O 点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离，即 d =

18． （2013 年高考四川卷（文 13） ）已知函数 f ( x) ? 4 x ? 【答案】36 【解析】解法一： f ( x ) ? 4 x ?

a ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小值,则 a ? __________. x

a a a ? 4 x ? ? 4 a (当且仅当 4 x ? ，即 a ? 4 x 2 时取等号)，所以 a ? 4 ? 32 ? 36 ，故 x x x

填 36. 解法二： f ( x ) ? 4 x ?

a a a ， f ?( x) ? 4 ? 2 ? 0 ，所以 x ? ? 3 ，所以 a ? 36 ，故填 36. x x 2

19． （2013 年高考课标Ⅰ卷（文 14） ）设 x, y 满足约束条件 【答案】3

?1 ? x ? 3, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为______. ? ??1 ? x ? y ? 0

【解析】由 z ? 2 x ? y 得 y ? 2 x ? z 。作出可行域如图

，平移直线 y ? 2 x ? z ，由图象可知当直线

?x ? 3 ?x ? 3 得? ，即 E (3,3) ，代入 z ? 2 x ? y 得最 y ? 2 x ? z 经过点 E 时，直线 y ? 2 x ? z 的截距最小，此时 z 最大，由 ? ?x ? y ? 0 ? y ? 3
大值 z ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 。

?x ? 2 ? 20． （2013 年高考浙江卷 （文 15） ） 设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则 实数 k ? ________ . ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
【答案】2 【解析】次不等式表示的平面区域如图 4 所示 y=-kx+z 。当 k>0 时，直线 l0 ： y ? ?kx 平移到 A 点时目标函数取最大值，即当

4k+4=12 所以 K=2 ，当 K<0 时 ，直线： y ? ?kx 平移到 A 或 B 点是目标函数取最大值，可知 k 取值是大于零，所以不满足，所以 k=2，所以填 2

21． （2013 年上海高考数学试题（文科 1） ）不等式 【答案】 (0, ) 【解析】 x(2 x ? 1) ? 0 ? x ? (0, )

x ? 0 的解为_________. 2x ?1

1 2

1 2

? x?0 ? 22． （2013 年高考北京卷（文 12） ）设 D 为不等式组 ? 2 x ? y ? 0 ,表示的平面区 域,区域 D 上的点与点(1,0) 之间的距离的最 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
小值为___________.
【答案】

2 5 5

【解析】画出可行域，到(1，0)距离最小值为点(1，0)到直线 y ? 2 x 的距离。

此时 d ?

2 2 5 。 ? 5 5

23． （2013 年高考陕西卷（文 14） ）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长

x 为___(m).

【答案】20 【解析】 利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为 y, 由三角形相似得:

x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40 40 40

? 40 ? x ? y ? 2 xy , 仅当x ? y ? 20时，矩形的面积 s ? xy取最大值400.
1 |a| ? 的最小值为______. 2|a| b

24． （2013 年高考天津卷（文 14） ）设 a + b = 2, b>0, 则

【答案】

3 4
1 |a| a?b |a| a b |a| a ? ? ? ? ? ? ?1? 。显然当 a ? 0 时，且 b ? 2 a 时，上式取 4|a| b 4|a| 4|a| b 4|a| 2|a| b

【解析】因为 a ? b ? 2 ，所以

等号， 此时 b ? ?2a ， 联立 a ? b ? 2 ， 解得 a ? ?2 ， 此时 1 ?

3 a 2 3 1 |a| ?1? ? 。 ? 所以当 a ? ?2 时， 的最小值为 。 4|a| 4?2 4 2|a| b 4

25． （2013 年上海高考数学试题（文科 13） ）设常数 a ? 0 ,若 9 x ? 【答案】 [ , ??) 【解析】 考查均值不等式的应用。

a2 ? a ? 1对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为________. x

1 5

由题知，当 x ? 0时, f ( x) ? 9 x ?

a2 a2 1 ? 2 9x ? ? 6a ? a ? 1 ? a ? x x 5

?x ? y ? 3 ? 0 ? 26． （2013 年高考广东卷（文 13） ）已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是___. ? y ?1 ?
【答案】 5

【解析】画出可行域如图，最优解为

?1, 4? ，故填

5 ；

27． （2013 年高考安徽（文） ）若非负数变量 x, y 满足约束条件 ? 【答案】4 【解析】由题意约束条件的图像如下：

? x ? y ? ?1 ,则 x ? y 的最大值为__________. ?x ? 2 y ? 4

当直线经过 (4, 0) 时， z ? x ? y ? 4 ? 0 ? 4 ，取得最大值. 【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时 z 取最大.
三、解答题 28． （2013 年上海高考数学试题（文科） ）本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

甲厂以 x 千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得的利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a (5 ?

3 x

1 3 ? ); x x2

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润.
【答案】解:(1)每小时生产 x 克产品,获利 100 ? 5 x ? 1 ?

? ?

3? ?, x?

生产 a 千克该产品用时间为

a 3? a 1 3? ? ? ,所获利润为 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? ? 100a ? 5 ? ? 2 ? . x x? x x x ? ? ?

(2)生产 900 千克该产品,所获利润为 90000 ? 5 ? 所以 x ? 6 ,最大利润为 90000 ?

? ?

1 3? ? ? 1 1 ? 61? ? 2 ? ? 90000 ??3 ? ? ? ? ? x x ? ? ? x 6 ? 12 ?

61 ? 457500 元. 12