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2012届二轮复习专题3--恒成立存在性问题


2012 届二轮复习专题 恒成立存在性问题 新泰一中
知识点梳理
1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?min 2、能成立问题的转化: a ? f ? x ? 能成立 ? a ? f ? x ?min ; a ? f ? x ?能成立 ? a ?

f ? x ?max 3、恰成立问题的转化: a ? f ? x ? 在 M 上恰成立 ? a ? f ? x ? 的解集为 M ? ?

闫辉

另一转化方法: x ? D, f ( x) ? A 在 D 上恰成立, 若 等价于 f (x) 在 D 上的最小值 f min ( x) ? A , x ? D, f ( x) ? B 若 在 D 上恰成立,则等价于 f (x) 在 D 上的最大值 f max ( x) ? B . 4、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,对任意的 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f min ?x ? ? g min ?x ? 5、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,对任意的 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f max ?x? ? g max ?x ? 6、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,存在 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f max ?x ? ? g min ?x ? 7、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,存在 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f min ?x ? ? g max ?x ? 上方; 下方; 8、若不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上函数 y ? f ? x ? 和图象在函数 y ? g ? x ? 图象 9、若不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上函数 y ? f ? x ? 和图象在函数 y ? g ? x ? 图象

?a ? f ? x ? 在 M 上恒成立 ? ?a ? f ? x ? 在CR M 上恒成立 ?

例题讲解:
题型一、常见方法 1、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1, g ( x) ?
2

1)对任意 x ?[1,2] ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2)对任意 x1 ?[1,2], x2 ?[2,4] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

a ,其中 a ? 0 , x ? 0 . x

2、设函数 h( x) ?

a 1 1 ? x ? b ,对任意 a ? [ ,2] ,都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒成立,求实数 b 的取值范围. x 2 4

3、已知两函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ? ? ? m ,对任意 x1 ? ?0,2? ,存在 x2 ? ?1,2? ,使得 f ( x1 ) ? g ?x2 ? ,则实
1

?1? ?2?

x

数 m 的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数) 1、对于满足 p ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。 2、已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)(a为常数) 是实数集 R 上的奇函数,函数 g ? x ? ? ? f ( x) ? sin x 是区间 ? ?1,1? 上的减函数,
2 (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)若 g ( x) ? t ? ?t ? 1在x ? ??1,1? 上恒成立,求 t 的取值范围;

题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来) 1、当 x ? ?1, 2? 时,不等式 x2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 .

题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) ) 1、若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是________

2 2、已知函数 f ? x ? ? x ? 2kx ? 2 ,在 x ? ?1 恒有 f ? x ? ? k ,求实数 k 的取值范围。

题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ;
2 1、存在实数 x ,使得不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 有解,则实数 a 的取值范围为______。

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B .

2、已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ? a ? 0 ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围 2

小结: 恒成立与有解的区别 恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体。 ①不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? f max ( x) ? M?, x ? I 。即 f ? x ? 的上界小于或等于 M ;
2

②不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ? f min ( x) ? M?, x ? I 。 或 f ? x ? 的下界小于或等于 M ; ③不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? f min ( x) ? M?, x ? I 。即 f ? x ? 的下界大于或等于 M ; ④不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ? f max ( x) ? M , x ? I .。 或 f ? x ? 的上界大于或等于 M ;

课后作业:姓名:

班级

座号


1、 a ? 1 , 设 若对于任意的 x ? [a, 2a] , 都有 y ?[a, a 2 ] 满足方程 loga x ? loga y ? 3 , 这时 a 的取值集合为 ( (A) {a |1 ? a ? 2} (B) {a | a ? 2} (C) {a | 2 ? a ? 3} (D) {2,3} ?x ? y ? 0 ? 2、若任意满足 ? x ? y ? 5 ? 0 的实数 x , y ,不等式 a( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 恒成立,则实数 a 的最大值是 ___ . ?y ? 3 ? 0 ? 3、不等式 sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? a ? 0 有解,则 a 的取值范围是 4、不等式 ax ?

x ? 4 ? x ? 在 x ??0,3? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

2 3 2 5、已知两函数 f ? x ? ? 7 x ? 28x ? c , g ? x ? ? 2 x ? 4 x ? 40 x 。

(1)对任意 x ? ??3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? )成立,求实数 c 的取值范围; (2)存在 x ? ??3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c 的取值范围; (3)对任意 x1 , x2 ? ??3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围; (4)存在 x1 , x2 ? ??3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围;

6、设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b (0 ? a ? 1 , b ? R) . 3 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ? ? x ? ? a 成立,求 a 的取值范围。

3

→ → → 7、已知 A、B、C 是直线 ? 上的三点,向量OA,OB,OC满足: OA ? ?y ? 2f ??1?? ? OB ? ln?x ? 1? ? OC ? 0 . (1)求函数 y=f(x)的表达式; 2x (2)若 x>0,证明:f(x)>x+2; (3)若不等式

1 2 x ? f x 2 ? m 2 ? 2bm ? 3 时, x ? ?? 1 , 1? 及 b ? ?? 1 , 1?都恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

? ?

8、设 f ?x ? ? px ?

q p ? 2 ln x ,且 f ?e? ? qe ? ? 2 (e 为自然对数的底数) x e (I) 求 p 与 q 的关系; (II)若 f ?x ? 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; 2e (III)设 g?x ? ? ,若在 ?1 , e? 上至少存在一点 x 0 ,使得 f ?x 0 ? ? g?x 0 ? 成立, 求实数 p 的取值范围. x

4

参考答案:
题型一、常见方法 1、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1, g ( x) ?

1)对任意 x ?[1,2] ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2)对任意 x1 ?[1,2], x2 ?[2,4] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 【分析: 】 1)思路、等价转化为函数 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立,在通过分离变量,创设新函数求最值解决. 2)思路、对在不同区间内的两个函数 f (x) 和 g (x) 分别求最值,即只需满足 f min ( x) ? g max( x) 即可.

a ,其中 a ? 0 , x ? 0 . x

a x3 ? x x3 ? x 成立,只需满足 ? ( x) ? 的最小值大于 a 即可.对 ?0?a? 2 x 2x ? 1 2x 2 ? 1 2x 4 ? x 2 ? 1 2 x3 ? x ? 0 ,故 ? (x) 在 x ? [1,2] 是增函数,? min ( x) ? ? (1) ? ,所以 a 的 求导,? ?( x) ? ? ( x) ? 2 2 2 3 (2 x ? 1) 2x ? 1 2 取值范围是 0 ? a ? . 3 a 1 1 2、设函数 h( x) ? ? x ? b ,对任意 a ? [ ,2] ,都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒成立,求实数 b 的取值范围. x 2 4
简解: (1)由 x 2 ? 2ax ? 1 ? 分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最 值解决. 方法 1:化归最值, h( x) ? 10 ? hmax ( x) ? 10 ;

a ? x) 或 a ? ? x 2 ? (10 ? b) x ; x 1 1 方法 3:变更主元, ? (a ) ? ? a ? x ? b ? 10 ? 0 , a ? [ ,2] x 2 a a ( x ? a )(x ? a ) 简解:方法 1:对 h( x) ? g ( x) ? x ? b ? ? x ? b 求导, h?( x) ? 1 ? 2 ? , x x x2 1 1 由此可知, h(x) 在 [ ,1] 上的最大值为 h ( ) 与 h(1) 中的较大者. 4 4
方法 2:变量分离, b ? 10 ? (

1 ? 1 ? ? 39 1 7 ?h( ) ? 10 ?4a ? ? b ? 10 ?b ? ? 4a ?? 4 ?? ?? 4 4 ,对于任意 a ? [ ,2] ,得 b 的取值范围是 b ? . 2 4 ?h(1) ? 10 ?1 ? a ? b ? 10 ?b ? 9 ? a ? ? ?
3、已知两函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ? ? ? m ,对任意 x1 ? ?0,2? ,存在 x2 ? ?1,2? ,使得 f ( x1 ) ? g ?x2 ? ,则实 数 m 的取值范围为
x 1 ?1? 解析: 对任意 x1 ? ?0,2? , 存在 x2 ? ?1,2?, 使得 f ( x1 ) ? g ?x2 ? 等价于 g ( x) ? ? ? ? m 在 ?1,2? 上的最小值 ? m 4 ?2? 1 1 不大于 f ( x) ? x 2 在 ?0,2? 上的最小值 0,既 ? m ? 0 ,∴ m ? 4 4

?1? ?2?

x

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数) 1、对于满足 p ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。
2

解: 不等式即 ? x ?1? p ? x ? 2x ? 1 ? 0 ,设 f ? p ? ? ? x ?1? p ? x ? 2x ?1 , f ? p ? 在[-2,2]上恒大于 0, 则 故有:
2 2

5

? f ? ?2 ? ? 0 ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? x ? 3或x ? 1 ? ? ? x ? ?1 或 x ? 3 ?? 2 ?? ? ? x ?1 ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ? f ? 2? ? 0 ? ? f ( x) ? ln(e x ? a)(a为常数) 2、已知函数 是实数集 R 上的奇函数,函数 g ? x ? ? ? f ( x) ? sin x 是区间 ? ?1,1? 上的减函数,(Ⅰ) 2 求 a 的值;(Ⅱ)若 g ( x) ? t ? ?t ? 1在x ? ??1,1? 上恒成立,求 t 的取值范围;
(Ⅱ)分析:在不等式中出现了两个字母: ? 及 t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显 然可将 ? 视作自变量, 则上述问题即可转化为在 ? ??, ?1? 内关于 ? 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。 (Ⅱ)略解:
, 1 由(Ⅰ)知: f ( x ) ? x , ? g ( x) ? ? x ? sin x , ? g ( x ) 在 ? ?11? 上单调递减, ? g ?( x) ? ? ? cos x ? 0 ?? ? ?cosx 在 ? ?1 ,? 上恒成

? 立, ?? ? ?1,g ( x)?max ? g (?1) ? ?? ? sin1 , ? 只需 ?? ? sin1 ? t 2 ? ?t ? 1 , ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )恒成立,
? 2 由上述②结论:可令 f ? ? ? ? (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0(? ? ?1) ? ,则 t ?1 ? 0 t ? ?1 ? ,? ? 2 ,而 t 2 ? t ? sin1 ?0 ?t ? 1 ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 t ? t ? sin1 ? 0 ? ?

恒成立, ?t ? ?1 。 题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来) 1、当 x ? ?1, 2? 时,不等式 x2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 解析: 当 x ? (1, 2) 时,由 x2 ? mx ? 4 ? 0 得 m ? ? .

y
y ?| x |

y ?| x |

y ? ax

y ? ax

x2 ? 4 .∴ m ? ?5 . x

x
O

题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) ) | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是________ 1、若对任意 x ? R ,不等式 解析:对 ? x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立、则由一次函数性质及图像知 ?1 ? a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 1 。
2 2、已知函数 f ? x ? ? x ? 2kx ? 2 ,在 x ? ?1 恒有 f ? x ? ? k ,求实数 k 的取值范围。

分析:为了使 f ? x ? ? k 在 x ? ??1, ?? ? 恒成立,构造一个新函数 F ? x ? ? f ? x ? ? k ,则把原题转化成左边二次函数在区 间 ? ?1, ?? ? 时恒大于等于 0 的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。
2 解:令 F ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 2kx ? 2 ? k ,则 F ? x ? ? 0 对 x ? ??1, ?? ? 恒成立,而 F ? x ? 是开口向上的抛物线。

2 ①当图象与 x 轴无交点满足 ? ? 0 ,即 ? ? 4k ? 2 ? 2 ? k ? ? 0 ,解得 ?2 ? k ? 1 。

②当图象与 x 轴有交点,且在 x ? ??1, ?? ? 时 F ? x ? ? 0 ,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得:
? ?? ? 0 ? ? ? F ? ?1? ? 0 解得 ?3 ? k ? ?2 ,故由①②知 ?3 ? k ? 1 。 ? ?2k ?? ? ?1 ? 2 ?

? 2 小结:若二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 大于 0 恒成立,则有 ?

a?0 2 ,同理,若二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 小于 0 ??0 ?

恒成立,则有 ?

?a ? 0 。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识 ?? ? 0

求解。 题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ;
2 1、存在实数 x ,使得不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 有解,则实数 a 的取值范围为______。 2 2 解:设 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 1 ,由 f ? x ? ? a ? 3a 有解, ? a ? 3a ? f ? x ?min ,

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B .

又 x ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 3? ? ? x ? 1? ? 4 ,∴ a 2 ? 3a ? 4 ,解得 a ? 4或a ? ?1 。 2、已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ? a ? 0 ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围 2
2

1 ax ? 2 x ? 1 解: 因为函数 f ? x ? 存在单调递减区间,所以 f ' ? x ? ? ? ax ? 2 ? ? ?0 x 2 1 2 ?0,??? 有解.即 a ? 2 ? x ? x ? ? 0, ?? ? ? 能成立, 设 u ? x ? ? 2 ? x . x x
1
6

x

2 ?1 ? ? ? ? ? 1? ? 1得, umin ? x ? ? ?1.于是, a ? ?1 , x2 x ? x ? 由题设 a ? 0 ,所以 a 的取值范围是 ?? 1,0? ? ?0,???
由 u ? x? ?

1

2

小结: 恒成立与有解的区别: 恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体。 ①不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? f max ( x) ? M?, x ? I 。即 f ? x ? 的上界小于或等于 M ; ②不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ? f min ( x) ? M?, x ? I 。 或 f ? x ? 的下界小于或等于 M ; ③不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? f min ( x) ? M?, x ? I 。即 f ? x ? 的下界大于或等于 M ; ④不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ? f max ( x) ? M , x ? I .。 或 f ? x ? 的上界大于或等于 M ;

课后作业:
1、 a ? 1 , 设 若对于任意的 x ? [a, 2a] , 都有 y ?[a, a 2 ] 满足方程 loga x ? loga y ? 3 , 这时 a 的取值集合为 ( (A) {a |1 ? a ? 2} (B) {a | a ? 2} (C) {a | 2 ? a ? 3}
3



(D) {2,3}

答案:B。解析:由方程 loga x ? loga y ? 3 可得 y ?

a a 2 a3 ,对于任意的 x ? [a, 2a] ,可得 ? ? a 2 ,依题意 x 2 x

? a2 ?a ? 得? 2 ? a ? 2。 ?a 2 ? a 2 ?
?x ? y ? 0 ? 2 2 2 2、若任意满足 ? x ? y ? 5 ? 0 的实数 x , y ,不等式 a( x ? y ) ? ( x ? y) 恒成立,则实数 a 的最大值是___。 ?y ? 3 ? 0 ?

2 a ? 1? y 3 25 2 2 2 x y ,由线性规划可得1 ? ? 。 答案: 。解析:由不等式 a( x ? y ) ? ( x ? y) 可得 ? 13 x 2 y x
3、不等式 sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? a ? 0 有解,则 a 的取值范围是
2 解:原不等式有解 ? a ? sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? ?sin x ? 2? ? 3 ? ?1 ? sin x ? 1? 有解,而 ?? sin x ? 2? ? 3? min ? ?2 ,所以 a ? ?2 。 ? ?

2

4、不等式 ax ?

x ? 4 ? x ? 在 x ??0,3? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 x ? 4 ? x ? 在 x ??0,3?

y

y ? ax

解:画出两个凼数 y ? ax 和 y ?

上的图象如图知当 x ? 3 时 y ? 3 , a ?

3 3

3 x ? 0,3 当a ? , ? ? 时总有 ax ? x ? 4 ? x ? 所以 a ? 3 3 3 f ? x ? ? 7 x 2 ? 28 x ? c , g ? x ? ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 40 x 。 5、已知两函数 (1)对任意 x ? ??3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c 的取值范围; (2)存在 x ? ??3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c 的取值范围; (3)对任意 x1 , x2 ? ??3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围; (4)存在 x1 , x2 ? ??3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围; 3 2 解析: (1)设 h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ? 3x ? 12x ? c ,问题转化为 x ? ??3,3? 时, h ? x ? ? 0 恒成立,故 hm i n? x ? ? 0 。令 h? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ,得 x ? ?1或 2 。由导数知识,可知 h ? x ? 在 ? ?3, ?1? 单调递增,在 ? ?1, 2? 单调递减, h h h 4 在 ? 2,3? 单调递增, h ? ?3? ? c ? 45 , ? x ?极大值 ? h ? ?1? ? c ? 7 , ? x ?极小值 ? h ? 2? ? c ? 20 , ? 3? ? c ? 9 , him x ?h ? 3c ? 5 , 且 ∴ n ? ? ? ??
由 c ? 45 ? 0 ,得 c ? 45 。 (2)据题意:存在 x ? ??3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,即为: h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? 0 在 x ? ??3,3? 有解,故 hmax ? x ? ? 0 ,由
7

0

3

x

(1)知 hmax ? x ? ? c ? 7 ? 0 ,于是得 c ? ?7 。 (3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意 x1 , x2 ? ??3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立, 不等式的左右两端函数的自变量不同, x1 , x 2 的取值在 ? ?3,3? 上具有任意性,∴要使不等式恒成立的充要条件是:
f max ( x) ? g min ( x), x ? [?3,3] 。∵ f ? x ? ? 7 ? x ? 2?2 ? c ? 28, x ? ??3,3? ∴ f ? x ?max ? f ? ?3? ? 147 ? c ?? ?
2



∵ g ? ? x ? ? 6 x ? 8x ? 40 ? 2 ? 3x ? 10?? x ? 2? ,∴ g ? ? x ? ? 0 在区间 ? ?3,3? 上只有一个解 x ? 2 。 ∴ g ? x ?min ? g ? 2? ? ?48 ,∴ 147 ? c ? ?48 ,即 c ? 195 . (4)存在 x1 , x2 ? ??3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,等价于 fmin ? x1 ? ? gmax ? x2 ? ,由(3)得 fmin ? x1 ? ? f ? 2? ? ?c ? 28 ,

gmax ? x2 ? ? g ? ?3? ? 102 , ?c ? 28 ? 102 ? c ? ?130
点评:本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使 用其成立的充要条件。 6、设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b (0 ? a ? 1 , b ? R) . 3 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ? ? x ? ? a 成立,求 a 的取值范围。

解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 (1 分) 令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a) 令 f ?( x) ? 0, 得 f (x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? ) (4 分) ∴当 x=a 时, f (x) 极小值= ? 当 x=3a 时, f (x) 极小值=b.

3 3 a ? b; 4
(6 分)

(Ⅱ)由| f ?(x) |≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①(7 分) ∵0<a<1, ∴a+1>2a. ∴ f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 在[a ? 1, a ? 2] 上是减函数. 于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于

(9 分)

∴ f ?( x) max ? f ?(a ? 1) ? 2a ? 1. f ?( x) min ? f (a ? 2) ? 4a ? 4.

?? a ? 4a ? 4, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ?a ? 2a ? 1. 又 0 ? a ? 1, 4 ∴ ? a ? 1. 5
→ → → 7、已知 A、B、C 是直线 ? 上的三点,向量OA,OB,OC满足: OA ? ?y ? 2f ??1?? ? OB ? ln?x ? 1? ? OC ? 0 . (1)求函数 y=f(x)的表达式; 2x (2)若 x>0,证明:f(x)>x+2; 1 2 2 2 (3)若不等式 x ? f x ? m ? 2bm ? 3 时, x ? ?? 1 , 1? 及 b ? ?? 1 , 1?都恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 → → → → → → 解:(1)∵OA-[y+2f /(1)]OB+ln(x+1)OC=0,∴OA=[y+2f /(1)]OB-ln(x+1)OC 由于 A、B、C 三点共线 即[y+2f /(1)]+[-ln(x+1)]=1…………………2 分 ∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f /(1) 1 1 f /(x)=x+1,得 f /(1)=2,故 f(x)=ln(x+1)…………………………………4 分

? ?

2x 1 2(x+2)-2x x2 (2)令 g(x)=f(x)-x+2,由 g/(x)=x+1- (x+2)2 =(x+1)(x+2)2 ∵x>0,∴g/(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数………………6 分 故 g(x)>g(0)=0
8

2x 即 f(x)>x+2………………………………………………………………8 分 1 (3)原不等式等价于2x2-f(x2)≤m2-2bm-3 1 1 2x x3-x 令 h(x)=2x2-f(x2)=2x2-ln(1+x2),由 h/(x)=x-1+x2=1+x2……………10 分 当 x∈[-1,1]时,h(x)max=0,∴m2-2bm-3≥0 ?Q(1)=m2-2m-3≥0 令 Q(b)=m2-2bm-3,则?Q(-1)=m2+2m-3≥0 ? 得 m≥3 或 m≤-3……………12 分 8、设 f ?x ? ? px ?

q p ? 2 ln x ,且 f ?e? ? qe ? ? 2 (e 为自然对数的底数) x e (I) 求 p 与 q 的关系; (II)若 f ?x ? 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; 2e (III)设 g?x ? ? ,若在 ?1 , e? 上至少存在一点 x 0 ,使得 f ?x 0 ? ? g?x 0 ? 成立, 求实数 p 的取值范围. x

q p 1 ? 1? ? 2ln e ? qe ? ? 2 ? ? p ? q ? ? e ? ? ? 0 而 e ? ? 0 ,所以 p ? q … 3 分 e e e? e ? 2 p p 2 px ? 2 x ? p (II) 由 (I) 知 f ? x ? ? px ? ? 2 ln x , f ? ? x ? ? p ? 2 ? ? …… 4 分 x x x x2 2 令 h ? x ? ? px ? 2x ? p ,要使 f ? x ? 在其定义域 (0,+?) 内为单调函数,只需 h(x) 在 (0,+?) 内满足:h(x)
解:(I) 由题意得 f ? e ? ? pe ? ≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5 分
2 ① 当 p ? 0 时, px ? 0 , ? 2x ? 0 ? h ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 (0,+?) 内为单调递减,故 p ? 0 ;
2 ② 当 p ? 0 时, h ? x ? ? px ? 2x ? p ,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为 x ?

1 ? ?0 , ?? , ? p

∴ hmin ? x ? ? h ?

1 ?1? 1 ? ? p ? ,只需 p ? p ? 0 ,即 p≥1 时, h(x)≥0, f ? ? x ? ? 0 , p ? p?

∴ f (x) 在 (0,+?) 内为单调递增,故 p≥1 适合题意. 综上可得,p≥1 或 p≤0 ………… 9 分 p 另解:(II) 由 (I) 知 f (x) = px-x -2ln x p 2 1 2 f’(x) = p + x 2 -x = p (1 + x 2 )-x ………… 4 分 要使 f (x) 在其定义域 (0,+?) 内为单调函数, 只需 f’(x) 在 (0,+?) 内满足: f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒 成立. ………… 5 分 1 2 2 2 由 f’(x)≥0 ? p (1 + x 2 )-x ≥0 ? p≥ 1 ? p≥( 1 )max,x > 0 x + x x + x 2 2 2 ∵ ≤ = 1,且 x = 1 时等号成立,故 ( 1 1 )max = 1 1 x + x x + x 2 x· x ∴ p≥1 ………… 7 分 1 2 2x 2x 由 f’(x)≤0 ? p (1 + x 2 )-x ≤0 ? p≤ x 2 + 1 ? p≤(x 2 + 1 )min,x > 0 2x 2x 而 x 2 + 1 > 0 且 x → 0 时,x 2 + 1 → 0,故 p≤0 ………… 8 分 综上可得,p≥1 或 p≤0 ………… 9 分 2e (III) ∵ g(x) = x 在 [1,e] 上是减函数
9

∴ x = e 时,g(x)min = 2,x = 1 时,g(x)max = 2e 即 g(x) ? [2,2e] ………… 10 分 ① p≤0 时,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2,不合题意。 1 ② 0 < p < 1 时,由 x ? [1,e] ? x-x ≥0

…… 11 分

1 1 ∴ f (x) = p (x-x )-2ln x≤x-x -2ln x 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式,故在 [1,e] 递增 1 1 1 ∴ f (x)≤x-x -2ln x≤e-e -2ln e = e-e -2 < 2,不合题意。 ………… 12 分 ③ p≥1 时,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增,f (1) = 0 < 2,又 g(x) 在 [1,e] 上是减函数 ∴ 本命题 ? f (x)max > g(x)min = 2,x ? [1,e] 1 ? f (x)max = f (e) = p (e-e )-2ln e > 2 4e ? p > e 2-1 ………… 13 分 4e 综上,p 的取值范围是 (e 2-1 ,+?) ………… 14 分

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