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拉格朗日乘数法


拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法,该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问 题,不失为一种既实用又简便的方法。 拉格朗日乘数法:求在约束条件 H x, y, z = 0 ,下 f(x,y,z)的极值时,拉格朗日函数 G x, y, z = 0

L(x,y,z)= f(x,y,z)-λ H x, y, z

?μ G x, y, z ,可由 Lx=0, Ly=0, Lz=0, H x, y, z = 0, G x, y, z = 0,解出函数可能的极值 点,求出目标函数 f(x,y,z)的极值。这里 Lx=0, Ly=0, Lz=0 可以理解为关于 x,y,z 求偏导数,λ ,μ 称为拉格朗日 乘数。 例.已知 x2 ? y 2 ? xy ? 3 ,求 x2 ? y 2 ? xy 的最大值和最小值。

1.已知正实数 x ,

y 满足 xy +2 x+ y =4 ,则 x+ y +1 的最小值为__________.

2.若正实数 x, y ,满足

x? y?

1 1 ? ? 5 ,则 x ? y 的最大值是 x y



3.若实数 x ,

y 满足 x2 ? y 2 ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值_________.

4.设正实数 x,y,z 满足 x -3xy+4y -z=0,则当

2

2

z 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( xy

)

5.设 a,b,c 为实数,且满足 a+2b+3c=6,则 a2+4b2+9c2 的最小值为__________

6.已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0, a2+b2+c2=1,则 a 的最大值为___________.

2 2 7 .对于 c ? 0 ,当非零实数 a , b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时,

3 4 5 ? ? 的最小值 a b c



.

[来源:学#科#网]

8.已知 a,b∈[0,1],a+b=1,求1+b +1+a +(1-a)(1-b)的取值范围。 (若去掉条件 a+b=1 呢)

a

b


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