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第6章 第5节合情推理与演绎推理


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第六章

不等式、推理与证明

第5节 合情推理与演绎推理

第四章 第二单元

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不等式、推理与证明

导航考点目标 考什么 怎样考 1.从高考内容上看,归纳推 理、类比推理、演绎推理

是高考命题的热点. 2.归纳推理、类比推理多以 填空题形式考查.演绎推 理大多出现在解答题中, 为中、高档题目.

1.了解合情推理的含义,能利 用归纳和类比等进行简单的推 理,了解合情推理在数学发现 中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌 握演绎推理的基本模式,并能 运用它们进行一些简单的推理 . 3.了解合情推理和演绎推理之 间的联系和差异.

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整合主干知识

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1.合情推理 (1)归纳推理:根据一类事物中 部分 具有某种属性,推断 该类事物中 每一个 都有这种属性.我们将这种推理方式称为 归纳推理.简言之,归纳推理是由 部分事物 到 整体 , 由 ____ 个别

到 一般 的推理.
归纳推理的基本模式: a 、 b 、 c∈M 且 a 、 b 、 c 具有某属 性,结论:任意d∈M,d也具有某属性.

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(2)类比推理:由于两类不同对象具有某此类似的特征, 在
此基础上,根据 一类对象 的其他特征,推断 另一类对象 也 具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.简 言之,类比推理是由 特殊到特殊 的推理. 类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d;B:具有

属性:a′,b′,c′;
结论:B具有属性d′. (a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相似或相同)

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(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 类比 , 然 后 提 出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
从具体问 观察、分析、 → → 归纳、类比 → 提出猜想 题出发 比较、联想

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2.演绎推理

(1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下
的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是 由一般到 特殊 的推理. (2)“三段论”的演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理;

②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

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1 . ( 教 材 习 题 改 编 ) 数 列 2,5,11,20 , x,47 , ? 中 的 x 等 于
( ) A.28 C.33 B.32 D.27

解析:观察数列易看出an+1-an=3n,

∴x=a5=a4+3×4=20+12=32.
答案:B

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2 .命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,

所 以 整 数是 无 限 循环 小 数 ”是 假 命 题, 推 理 错误 的 原 因是
( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误

D.使用了“三段论”,但小前提错误
解析:在上述三段论中,大、小命题均正确,但推理形式 错误,所得结论是假命题. 答案:C
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3.下面使用类比推理正确的是(

)

A.“若a· 3=b· 3,则a=b”类推出“若a· 0=b· 0,则a= b” a+b a b B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + ” c c c a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + (c≠0)” c c c D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”
解析:由类比推理的特点可知,C正确. 答案:C
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4.(2011·陕西高考)观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律,第五个等式应为________________________.

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解析: 观察每行等式的左边与右边的特点可知,第 n 行等
式的左边:以 n 为首项,公差为 1 的等差数列的前 2n - 1 项的 和,右边为(2n-1)2 ∴第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 答案:5+6+7+8+9+10+11+12+13=81

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5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12- S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的 T16 前n项积为Tn,则T4,________,________, 成等比数列. T12 解析:由等差数列“S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12”中的 T8 T12 T16 “差”,类比到等比数列中的“商”可得T4, , , 成 T4 T8 T12 等比数列.

T8 T12 答案:T T 4 8
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探究考向典例

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归纳推理 (2011·江西高考,7)观察下列各式:55=3 125,56 =15 625,57=78 125,?,则52 011的末四位数字为( A.3 125 B.5 625 )

C.0 625

D.8 125

[解析] 55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59 =1 953 125,可得59与55的后四位相同,?,由此可归纳出 5m+ 4k=5m(k∈N* ,m = 5,6,7,8) ,又 2 011 =4×501 + 7 ,所 以52 011与57后四位数字相同为8 125,故选D.

[答案] D
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[规律方法]????????????????????
所谓归纳,就是由特殊到一般,因此在归纳时就要分析所 给条件之间的变化规律,从而得到一般结论.

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1.(2012· 陕西高考,11)观察下列不等式 1 3 1+22<2, 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+22+32+42<4, ?? 照此规律,第五个 不等式为________. ...

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解析:从几个不等式左边分析,可得出第五个式子的左边 1 1 1 1 1 为:1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ,对几个不等式右边分析,其分母 2 3 4 5 6 依次为:2,3,4,所以第5个式子的分母应为6,而其分子依次 为: 3,5,7,所以第5个式子的分子应为11,所第5个式子应 1 1 1 1 1 11 为:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6

1 1 1 1 1 11 答案:1+22+32+42+52+62< 6

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类比推理
如图,点P为斜三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱 BB1 上 一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N.

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(1)求证:CC1⊥MN;

(2)在任意△DEF中有余弦定理:
DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三 个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系,并予以 证明.

[解析] (1)∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,
∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN. 又CC1∥BB1,∴CC1⊥MN.

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(2) 在斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中,有 S2?ABB1A1 = S2?BCC1B1

+S2?ACC1A1-2S?BCC1B1S?ACC1A1cos α.
其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成角的二面角. ∵CC1⊥平面PMN. ∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN中 ,

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PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP

?PM2·CC



PN2·CC



MN2·CC



2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP, 由于S?BCC1B1=PN·CC1, S?ACC1A1=MN·CC1, S?ABB1A1=PM·BB1=PM·CC1,

∴ 有 S2?ABB1A1 = S2?BCC1B1 + S2?ACC1A1 -
2S?BCC1B1· S?ACC1A1· cos α.

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[规律方法]????????????????????

(1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步骤为:
①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个 明确的命题(猜想). (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的 一些定理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似 的结论.当然类比时有可能出现错误,如:在平面内,直线 a、b、c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c;在空间内,三个平面α、β、

γ,若α⊥β,β⊥γ,但α与γ之间可能平行,也可能相交.

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2.在Rt△ABC中,两直角边分别为a、b,设h为斜边上的 1 1 1 高,则 h2 = a2 + b2 ,由此类比:三棱锥S-ABC中的三条侧棱 SA、SB、SC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面 ABC上的高为h,则________.

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解析: 过 S 作 SH⊥ 平面 ABC 于 H ,连接 AH 交 BC 于 D ,连接
SD,∵SA⊥面SBC,∴SA⊥BC.

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由三垂线逆定理,AH⊥BC,∴SD⊥BC,在Rt△SBC中, bc SD= 2 2.在Rt△SAD中,AD= b +c 11 h= ·abc, ABC· 32 11 11 ∴3· AD· h=3· 2BC· 2abc,
2 2 2 2 2 2 a b + b c + c a 2 2 b +c · h=abc, 2 2 b +c 2 2 b c 1 2 a + 2 2 ,VS-ABC=3S△ b +c

1 1 1 1 ∴h2=a2+b2+c2. 1 1 1 1 答案:h2=a2+b2+c2
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演绎推理
a 已知函数f(x)=- x (a>0且a≠1), a+ a
?1 1? (1)证明:函数y=f(x)的图像关于点?2,-2?对称; ? ?

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. [解析] a (1)因为函数f(x)=- x (a>0且a≠1)的定义域 a+ a

?1 1? 为R,故可任取一点(x,y),它关于点 ?2,-2? 对称的点的坐标 ? ?

为(1-x,-1-y).
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a 由已知得y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a a a· ax f(1-x)=- 1-x =- a =- =- a + a a+ a· ax ax+ a ax , x a+ a ∴-1-y=f(1-x),
?1 1? 即函数y=f(x)的图像关于点?2,-2?对称. ? ?
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(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),

∴f(x)+f(1-x)=-1,
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, ∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =-3.

[规律方法]????????????????????
演绎推理的一般模式为三段论,应用三段论解决问题时, 首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论.

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3 .如图所示, D , E , F 分别是 BC , CA , AB 上的点, ∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理

的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表
示出来).

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解析:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以DF∥EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA且DF∥EA,(小前提)

所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)

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(3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED和AF为平行四边形的对边,(小前提) 所以ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成: ∠BFD=∠A?DF∥EA? ? ??四边形AFDE是平行四边形? ? DE∥BA ? ED=AF.

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突破疑难要点

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高考中归纳推理与类比推理问题的求解策略

从近两年新课标高考试题可以看出高考对归纳推理与类比
推理的考查主要以填空题的形式出现,难度为中等,常常以不 等式、立体几何、解析几何、函数、数列等为载体来考查归纳 推理与类比推理.

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(2012·湖北高考,17)传说古希腊毕达哥拉斯学派

的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.它们研究过如
图所示的三角形数:

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将三角形数 1,3,6,10 ,?记为数列 {an} ,将可被 5 整除的三

角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:
(1)b2012是数列{an}中的第________项; (2)b2k-1=________.(用k表示)

[解析]

通过观察可知三角形数1,3,6,10,?,的一个通

n?n+1? 项公式为an= ,写出其若干项来寻找规律: 2

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1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,其中能被5整 除的为10,15,45,55,105,110,即b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4= a10,b5=a14,b6=a15,由上述规律可猜想:b2k=a5k= 5k?5k+1? ?5k-1??5k-1+1? (k为正整数),b2k-1=a5k-1= = 2 2 5k?5k-1? ,故b2012=a2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an} 2 中的第5030项.

[答案]

5k?5k-1? (1)5030;(2) 2
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(2013· 青岛模拟)在平面上,设ha、hb、hc是三角形 ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距 Pa Pb Pc 离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论: h + h + h =1.把 a b c 它类比到空间,写出三棱锥中的类似结论________. [解析] 设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上 的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分 别为Pa,Pb,Pc,Pd,于是我们可以得到结论: Pa Pb Pc Pd ha + hb + hc + hd =1. Pa Pb Pc Pd [答案] h + h + h + h =1 a b c d
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1.(2011·福建高考,16)观察下列等式: ① cos 2α=2cos2α-1;

② cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;
③ cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④ cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32 cos2α+1; ⑤ cos 10α= mcos10α-1 280cos8α+ 1 120cos6α+ncos4α+ pcos2α-1. 可以推测,m-n+p =________________.

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解析:观察等式可知,cos α的最高次的系数2,8,32,128构 成了公比为4的等比数列,故m=128×4=512;取α=0,则 cos α=1,cos 10α=1,代入等式⑤,得 1=m-1 280+1 120+n+p-1,即n+p=-350 (1); π 1 1 1 取α= ,则cos α= ,cos 10α=- ,代入等式⑤,得- 3 2 2 2
? 1? =m?2?10-1 ? ? ? 1? 280×?2?8+1 ? ? ?1? ?1? ?1? 6 4 120×?2? +n×?2? +p×?2?2-1,即n ? ? ? ? ? ?

+4p=-200

(2).

联立(1)(2),得n=-400,p=50.∴m-n+p=512-(- 400)+50=962. 答案:962
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2. (2012·福建高考, 16) 某地区规划道路建设,考虑道路

铺设方案.方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两
城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费 用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总 费用最小.例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道 路的线路图如图1,则最优设计方案如图 2,此时铺设道路的最

小总费用为 10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3,则铺
设道路的最小总费用为______________________.

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图1

图2

图3
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解析:铺设道路的线路为

时费用最小,最小值为16. 答案:16

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课时提能冲关

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第五讲 合情推理与演绎推理

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