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1.5定积分的概念导学案

时间:2013-05-05


高二数学备课组

古交一中导学案

1.5 定积分的概念
1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,了解定积分的背景;
学 生 明 确 内 容 学习 目标

2.借助于几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用 定积分法求简单的定积分. 3.理解掌握定积分的几何意义和性质;
<

br />重点 难点
易混淆 知识点

教学重点:定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义. 教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义.

1、求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步: .在区间 ? a , b ? 中任意插入 n ? 1 各分点,将它们等分成 n 个小

区间 ? x i ? 1 , x i ? ? i ? 1 , 2 , ? , n ? ,区间 ? x i ? 1 , x i ? 的长度 ? x i ? x i ? x i ? 1 , 第二步: . “以直代取” ,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求

出每个小曲边梯形面积的近似值. 教 师 编 制 内 容 第三步: 生成 问题 预习 提纲 第四步: . 。

2、汽车行驶的路程
一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v ? v ? t ? ,那么我们也可以采 用 、 、 、 的方法,利用“ 求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 S . ”的方法及无限逼近的思想,

3、定积分的概念
⑴ 定积分的概念 如果函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续,用分点
a ? x 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x i ?1 ? x i ? ? ? x n ? b

1

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古交一中导学案

将区间 [ a , b ] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ? x ( ? x ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) ,在 每个小区间 ? x i ? 1 , x i ? 上取一点,作和式: S n ?
n

?
i ?1

f ( ? i )? x ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

【问题】如果 n ? ? ? 时,上述和式 S n 无限趋近于一个常数,那么称该常数为 ______,记为: _,即:_______________。

注意:① f ( x ) 称为______________, x 叫做_____________, [ a , b ] 为 _____________, a 与 b 分别叫做________________与________________。 ②定积分 ? f ( x ) d x 是一个常数,只与积分上、下限的大小有关, 与积分
a b

变量的字母无关, ? f ( x ) d x ?
a

b

?

b a

f ( t )d t ?

?

b a

f ( y )d y 。

探究一:在求积分时要把 [ a , b ] 等分成 n 个小区间,是否一定等分? 探究二: 在每个小区间 ? x i ? 1 , x i ? 上取一点 ? i ? i ? 1 , 2 , ? , n ? ,? i 是否一定选左端点? 探究三:分组讨论定积分的几何意义是什么?

探究四:分组讨论根据定积分的几何意义,用定积分表示图中阴影部分的面积 y

A y ? f1 ( x )

B

D y ? f ( x) C 2 b x O a
⑵ 定积分的性质

根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 ? a
b

kf ( x ) dx ? k

?

b

f ( x ) dx

(定积分的线性性质)
f1 ( x ) d x ?

a
b a b a

性质 2 ? [ f 1 ( x ) ? a

b

f 2 ( x ) ]d x ?

?

?

f 2 ( x ) d x (定积分的线性性质)

2

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思考(用定积分的概念解释): 性质 3

?

b a

f ( x)dx ? ?

c a

f ( x)dx ?

?

b

f ( x )dx
c

(其中 a

? c ? b



(定积分对积分

区间的可加性)

思考(用定积分的几何意义解释):

1、计算定积分 (1) ? ( x ? 1) d x
1 2

(2) ? ( x ? 1) d x
?2

2

(3) 教 师 精 选 编 制 内 容 针对 目标 训练 (用 时 10-2 0分 钟) (5)

?

2

x dx
1

3

0
2

(4) ?

2

?2

4 ? x dx
2

?

(1 ? x ) dx ?

0

?

( x ? 1 ) dx

1

2、用定积分表示阴影部分的面积(不要求计算)
y

y ?
4

2x

2

O

2

4

8

x

师 生 共 同 完 成 内 容
学生 自主 完成

【归纳小结】
1、 问 1、知识:定积分概念、几何意义 题梳 理 2、 2、题型:定义求定积分,几何意义的应用 归纳 3、思想:以直代曲 小结

听 课 所 3

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4


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