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成都市树德中学高2014届

时间:2014-05-28


2014 届高考模拟考试数学试题
一、选择题( 每小题只有一个正确选项,每小题 5 分,共 50 分) x?2 ? 0, x ? N }, B ? {x | x ? 2, x ? Z } ,则满足条件 A ? C ? B 的集合 C 的 1.已知集合 A ? {x | x
个数为( A. 1 ) B. 2 C. 4 D. 8

2.已知直线

a 和平面 ? , ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? ? ,且 a 在 ? , ? 内的射影分别为直线 b, c ,则直 线 b, c 的位置关系为( A.相交或平行 ) B.相交或异面 C.平行或异面
?

D.相交、平行或异面
?

3.设复数 z ? ?1 ? i(i 是虚数单位) , z 的共轭复数为 z ,则 (1 ? z ) ? z ? ( )

A. 10

B. 2

C. 2

D. 1 )

4. {an } 为各项都是正数的等比数列, Sn 为前 n 项和,且 S10 ? 10, S30 ? 70 ,那么 S 40 ? ( A. 150 5.当 x ? B. ? 200 C. 150 或 ? 200 D. 400 或 ? 50

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin(x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

A.奇函数且图象关于 (

?
2

3? ? x ) 是( ) 4

,0) 对称

B.偶函数且图象关于 (? ,0) 对称 D.偶函数且图象关于 (

C.奇函数且图象关于直线 x ?

?
2

对称

?
2

,0) 对称

6. 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图 如图所示,则该截面的面积为( A. ) C.

3 10 2

B. 4

9 2

D. 5

7.对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算规则如下图的程序 框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是( A. 0 B. ) D. 9

1 2
2

C.

3 2

8.已知 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,过点 F 的直线与抛物线 交于 A, B 两点,且 AF ? 3 BF ,则线段 AB 的中点到该抛物线准线的距离为( A. )

5 3

B.

8 3

C. 10

D.

10 3

9.

A. (1,5)

B. (0, ) ? [5,?? )

1 5

C. (0, ] ? [5,?? )

1 5

D. [ ,1) ? (1,5]

1 5

10.(文科)设 m, n 分别是先后投一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有 5 的条件下, 方程 x ? mx ? n ? 0 有实根的概率是(
2

) D.

11 7 7 B. C. 11 36 36 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
A.

7 10

11.(文科)某高中共有学生 900 人,其中高一年级 240 人,高二年级 260 人,为做某项调查,拟采 用分层抽样法抽取容量为 45 的样本,则在高三年级抽取的人数是 ______. 12.已知向量 a ? (2,?1), b ? (? ,?2) ,若 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是
? ?
? ?

? x ? 0, ? 13. 点 P ( x, y ) 在不等式组 ? x ? y ? 3, 表示的平面区域内,若点 P ( x, y ) 到直线 y ? kx ? 1 的最大距离 ? y ? x ?1 ?
为 2 2 ,则 k ? 14. 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交 7 9

点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为 15. 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d (b, c, d为常数),当 k ? (??,0) ? (4,??) 时
3 2

f ( x) ? k ? 0 只有一个实根;当 k ∈(0,4)时, f ( x) ? k ? 0 有 3 个相异实根,
现给出下列四个命题: ① f ( x) ? 4 ? 0 和 f ?( x) ? 0 有一个相同的实根; ② f ( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 有一个相同的实根; ③ f ( x) ? 3 ? 0 的任一实根大于 f ( x) ? 1 ? 0 的任一实根; ④ f ( x) ? 5 ? 0 的任一实根小于 f ( x) ? 2 ? 0 的任一实根. 其中正确命题的序号是

三、解答题(请把解答过程详细书写在答题卡上,共 75 分)
16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? m 在区间 ? 0, (Ⅰ)求常数 m 的值;
2

? ?? 上的最大值为 2. ? 2? ?

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C ,

?ABC 面积为

3 3 ,求边长 a . 4

17.(文科)袋内有 6 个球,这些球一次被编号为 1,2,3,......, 6 ,设编号为 n 的球重 n ? 6n ? 12 (单
2

位:克) ,这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响) 。 (Ⅰ)从袋中任意取出一个球,求其重量大于编号的概率; (Ⅱ)如果不放回地任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率。 18. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为平行四边形,且 BC ? 平面 PAB , PA ? AB , M 为 PB 的中点, PA ? AD ? 2 。 (Ⅰ )求证: PD ∥ 平面 AMC ; (Ⅱ )若 AB ? 1 ,求二面角 B ? AC ? M 的余弦值.
D

P

M A

1 1 7 19. 已知数列 {bn } 满足 bn+ 1 = bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 4 2 1 (Ⅰ)求证:数列 {bn - } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2
(Ⅱ)如果对任意 n ? N ? ,不等式

C

B

12k ? 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 ? n ? 2Tn

20.(理科) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1 (?1,0) , P 为椭 圆 G 的上顶点,且 ?PFO ? 45? . 1 (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 : y ? kx ? m1 与椭圆 G 交于 A , B 两点,直线 l2 : y ? kx ? m2 ( m1 ? m2 )与椭圆 G 交于 C , D 两点,且 | AB |?| CD | ,如图所示. ①证明: m1 ? m2 ? 0 ;②求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值。
O B C l1 A y l2 D

x

(文科)已知平面内与两定点 A(2, 0) , B(?2, 0) 连线的斜率之积等于 ?

1 的点 P 的轨迹为曲线 C1 , 4

椭圆 C2 以坐标原点为中心,焦点在 y 轴上,离心率为

5 . 5

(Ⅰ )求 C1 的方程; (Ⅱ )若曲线 C1 与 C2 交于 M 、 N 、 P 、 Q 四点,当四边形 MNPQ 面积最大时,求椭圆 C2 的方 程及此四边形的最大面积. 21.(理科)已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln(x ? 1) 。 (Ⅰ )求函数 g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? x 的单调区间及最大值; (Ⅱ )当 x ? [0,??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

1 1 1 )(1 ? 2 ) ? ......? (1 ? 2 ) ? e ,其中 n ? N * 。 2 2 3 n 1 2 (文科)已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? (1 ? a ) x( x ? 0) , 2
(Ⅲ)求证: (1 ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若 f ( x) ? 0 在 (0,??) 内恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 n ? N , 求证:
*

1 1 1 n 。 ? ?? ? ? ln 2 ln 3 ln(n ? 1) n ? 1

16.解: (1) f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m ? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6
∵ 函数 y ? sin t 在区间 ?

?

∵ x ? ? 0,

? ?? ? ? 2?

∴ 2x ?

?

? ? 7? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

?? ? ? ? ? 7? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
时,函数 f ( x) 在区间 ? 0,

∴当 2 x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
6

? ?? 上取到最大值. ? 2? ?

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

6

……………………6 分

(2)∵ f ( A) ? 1

6 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C
∵ ?ABC 面积为

∴ 2sin(2 A ?

?

) ? 1 ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ?
∴ b ? 3c ①

?
3

…8 分

3 3 1 1 ? 3 3 ∴ S ?ABC ? bc sin A ? bc sin ? 4 2 2 3 4

即 bc ? 3

…………②

由①和②解得 b ? 3, c ? 1

…………………………10 分

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos

?
3

∴ a?

7

……12 分

17.(理科)解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的 2 个同学中,1 个是 男同学,1 个为女同学”为事件 A ,“从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组内选出的 2 个同学 中 1 个 是 男 同 学 , 1 个 为 女 同 学 ” 为 事 件 B , 由 于 事 件 A ? B 互 斥 , 且

P( A) ?

1 1 1 2 C32C2 C4 4 C3 C4 1 ? , P ( B ) ? ? 2 2 2 2 C4 C6 15 C4 C6 5

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? (2) X 可能的取值为 0,1,2,3,
1 7 3 1 P( X ? 0) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 5 15 10 30

4 1 7 ? ? ……5 分 15 5 15

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 5

7 15

3 10

1 30
…………10 分

7 3 1 7 ∴ X 的数学期望 EX ? ? 2 ? ? 3? ? 15 10 30 6
18.

…………………………12 分

1 1 1 1 1 bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 1 则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? ? 3 ,公比为 2 2 2
* 19. (Ⅰ) 对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ?

所以 bn ?

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 , bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? 2 2 2 2

(Ⅱ) 因为 bn ? 3 ? ( )

1 2

n ?1

?

1 2

1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n 所以 Tn ? 3(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 2n ? 7 12k * 因为不等式 对任意 n ? N 恒成立 ? 2n ? 7 ,化简得 k ? n 2 (12 ? n ? 2Tn )
设 cn ?

2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ? ? n ?1 ,则 cn ?1 ? cn ? n 2 2n ?1 2n 2

当 n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递增数列

1 3 3 ? c4 ? c5 ? ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 , 16 32 32

所以, 要使 k ? 20.(理科)

2n ? 7 3 * 对任意 n ? N 恒成立, k ? 。 n 2 32

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

? y ? kx ? m1 , ? 2 (ⅰ)证明:由 ? x 2 消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4km1x ? 2m1 ?2 ? 0. 2 ? ? y ? 1. ?2
2 则 ? ? 8(2k 2 ? m1 ? 1) ? 0 ,

同理 | CD |? 2 2 1 ? k

2

2 2k 2 ? m2 ?1 . 因为 | AB |?| CD | , 2 1 ? 2k 2 2k 2 ? m2 ?1 . 1 ? 2k 2

所以 2 2 1 ? k

2

2k 2 ? m12 ? 1 ? 2 2 1? k 2 2 1 ? 2k

? m1 ? m2

? m1 ? m2 ? 0

( ii )由题意得四边形 ABCD 是平行四边形,设两平行线 AB,CD 间的距离为 d , 则d ?

m1 ? m2 1? k 2

。因为 m1 ? m2 ? 0 ,所以 d ?

2m1 1? k 2



所以 S ?| AB | ?d ? 2 2 1 ? k 2

2k 2 ? m12 ? 1 2m1 ? 1 ? 2k 2 1? k2

2k 2 ? m12 ? 1 ? m12 (2k ? m ? 1)m 2 ?4 2 ?4 2 ?2 2 . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2 2 1 2 1

所以 当 2k 2 ? 1 ? 2m12 时, 四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为 2 2 . (文科)

y2 x2 ? ? 1 ,此时四边形 MNPQ 的最大面积为 4. 故椭圆 C2 的方程为 3 12 5
21.(理科)

( ii )当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ? 0 ,因为 x ? [0,??) ,所以 x ? ?1 。 x ?1 2a

(文科)解: f ?( x) ?

x 2 ? (1 ? a) x ? a ( x ? 1)(x ? a) ? x x

(1)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 递减,在 (1,??) 递增; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (a,1) 递减,在 (0, a), (1,??) 递增; 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0,??) 递增; 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1, a)递减,在 (0,1), (a,??)递增。 (2)? f (1) ? ?

1 ? a 当 a ? 0 时, f (1) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 不成立。 2 1 当 a ? 0 时,由(1) f ( x) 在(0,+ ? )上的最小值为 f (1) ? ? ? a ? 0 2

1 ? a ? (?? ,? ] 2 1 1 1 2 1 (3)由(2)知 a ? ? 时, f ( x) ? ? ln x ? x ? x ? 0 2 2 2 2 ?a??
即 ln x ? x 2 ? x( x ? 1取等号) ?当x ? 1时

1 2

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ln x x ? x ( x ? 1) x x ? 1 x

令 x ? 2,3,? n 则有

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? 1? ; ? ? ? ? ? ? ln 2 2 ln 3 2 3 ln(n ? 1) n n ? 1 n ? 1


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