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2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第1讲 合情推理与演绎推理练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第 1 讲 合情推理与演绎推理练习 理
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.(2016·西安八校联考)观察一列算式:1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4, 2?3,3?2,4?1,?,则式子 3?5 是第________项. 解析 两数和为 2 的有 1 个,和为

3 的有 2 个,和为 4 的有 3 个,和为 5 的有 4 个,和为 6 的有 5 个,和为 7 的有 6 个,前面共有 21 个,3?5 为和为 8 的第 3 项,所以为第 24 项. 答案 24 2.观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cos x)′=-sin x,由归纳推理得:若定义在 R 上的函 数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=________. 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 答案 -g(x) 1 3.在平面几何中,有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的 ”.拓展到空间,类比平 3 面几何的上述正确结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________. 解析 设正三角形的边长为 a,高为 h,内切圆半径为 r,由等面积法知 3ar=ah,所以 r 1 = h; 3 1 同理,由等体积法知 4SR=HS,所以 R= H. 4 答案 1 4
2 4 3

4.下列推理是归纳推理的是________. ①A,B 为定点,动点 P 满足 PA+PB=2a>AB,则 P 点的轨迹为椭圆; ②由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式;

x2 y2 ③由圆 x +y =r 的面积π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab; a b
2 2 2 2

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 解析 从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以②是归纳推 理. 答案 ② 5.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

1

等于________. 解析 观察规律,归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于 它前面两个式子右端值的和,照此规律,则 a +b =123. 答案 123 6.仔细观察下面○和●的排列规律:○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●??若依此规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前 120 个○和 ●中,●的个数是________. 解析 进行分组 ○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|??, 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)=2+3+4+?+(n+1)=
10 10

n(n+3)
2

,易知 f(14)=119,

f(15)=135,故 n=14.
答案 14 7.(2016·徐州检测)观察下列等式:1 =1 ,1 +2 =3 ,1 +2 +3 =6 ,1 +2 +3 +4 = 10 ,??,根据上述规律,第 n 个等式为________. 解析 观察所给等式左右两边的构成易得第 n 个等式为 1 +2 +?+n =?
3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3

?n(n+1)? = ? 2 ? ?

2

n2(n+1)2
4
3

.
3 3

答案 1 +2 +?+n =

n2(n+1)2
4

8.(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下: 1 5 11 19 29 ? 3 7 13 21 ?

9 15 23 ? ? 17 25 ? ? ? 27 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

则第 30 行从左到右第 3 个数是________. 解析 先求第 30 行的第 1 个数,再求第 30 行的第 3 个数.观察每一行的第一个数,由归 30×(2+60) 纳推理可得第 30 行的第 1 个数是 1+4+6+8+10+?+60= -1=929.又 2 第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n,第 3 个数比第 2 个数大 2n+2,所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60, 第 3 个数比第 2 个数大 62, 故第 30 行从左到右

2

第 3 个数是 929+60+62=1 051. 答案 1 051 二、解答题 9.给出下面的数表序列: 表1 1 表2 1 3 4 表3 1 3 5 4 8 12 ?

其中表 n(n=1,2,3,?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,?,2n-1,从第 2 行起, 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. 写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广 到表 n(n≥3)(不要求证明). 解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32,它们构成首项为 4,公比为 2 的等比数列. 将这一结论推广到表 n(n≥3),即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成 首项为 n,公比为 2 的等比数列. 1 10.f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一 3+ 3 般性结论,并给出证明. 1 1 解 f(0)+f(1)= 0 + 1 3+ 3 3+ 3 1 1 3 1 3 = + = + = , 1+ 3 3(1+ 3) 3(1+ 3) 3(1+ 3) 3 同理可得 f(-1)+f(2)= 3 3 ,f(-2)+f(3)= . 3 3 3 . 3

由此猜想 f(x)+f(1-x)=

1 1 证明 f(x)+f(1-x)= x + 1-x 3+ 3 3 + 3 1 3 1 3 = x + + x= x x 3 + 3 3+ 3·3 3 + 3 3( 3+3 )
x x

3



3+3

x x

3( 3+3 )



3 . 3 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)

11.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)=________. 解析 1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区 域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??;n 条直线最多可将平面 分成 1+(1+2+3+?+n)=1+ 答案

n(n+1) n2+n+2
2 = 2

个区域.

n2+n+2
2

12.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形 数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,?,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数 又是正方形数的是________(填序号). ①289;②1 024;③1 225;④1 378. 解析 观察三角形数:1,3,6,10,?,记该数列为{an},则 a1=1,a2=a1+2,a3=a2 +3, ?an=an-1+n. ∴ a1 + a2 +?+ an = (a1 + a2 +?+ an - 1) + (1 + 2 + 3 +?+ n)? an = 1 + 2 + 3 +?+ n =

n(n+1)
2


2

观察正方形数:1,4,9,16,?,记该数列为{bn},则 bn=n .把四个选项的数字,分别 代入上述两个通项公式,可知使得 n 都为正整数的只有 1 225. 答案 ③ 13.(2016·南通测试)已知点 A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函数 y=a (a>1)的图象上任意不同
x

4

两点, 依据图象可知, 线段 AB 总是位于 A, B 两点之间函数图象的上方, 因此有结论

ax1+ax2
2

x1+x2
>a 2 成立.运用类比思想方法可知,若点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函数 y=sin

x(x∈(0,π ))的图象上任意不同两点,则类似地有________成立.
解析 对于函数 y=a (a>1)的图象上任意不同两点 A,B,依据图象可知,线段 AB 总是 位于 A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论
x

ax1+ax2
2

x1+x2 >a 2 成立;对于函数 y=sin

x(x∈(0,π ))的图象上任意不同的两点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),线段 AB 总是位
于 A,B 两点之间函数图象的下方, sin x1+sin x2 x1+x2 类比可知应有 <sin 成立. 2 2 答案 sin x1+sin x2 x1+x2 <sin 2 2 1

14.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:

AD2 AB2 AC2



1



1

,那么在四面体 ABCD 中,类

比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 证明 如图所示,由射影定理,得

AD2=BD·DC,AB2=BD·BC, AC2=BC·DC,
∴ 1

AD

2



1 BD·DC

BC2 BC2 = = . BD·BC·DC·BC AB2·AC2
又 BC =AB +AC ,
2 2 2

AB2+AC2 1 1 ∴ 2= 2 = + . AD AB ·AC2 AB2 AC2
1 猜想,在四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,

AE⊥平面 BCD,
则 1

AE2 AB2 AC2 AD2



1



1



1

.

证明:如图,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面 ACD, 又 AF? 平面 ACD, ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF,
5



1

AE

2



1

AB

2



1

AF2

,①

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ 1

AF2 AC2 AD2
1 =



1



1

,② 1 + 1 + 1 .

① +②得

AE2 AB2 AC2 AD2

6


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