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数列概念

时间:2016-10-09


数列

概念形成

◆按一定次序排列的一列数叫数列
如:2, 7, 2, 9, 3,15, 6, 8, 432,… ◆数列中的每一个数叫做这个数列的项

◆各项依次叫做这个数列的第1项(或首项), 第2项,· · · · · · , 第n项,· · · · · ·
◆数列的一般形式可以写成: a1,a2,…,an,…简记为{an},其中an是数列 的第n项。

概念形成

1.数列“ 1,2,3,4,5 ”与 数列“ 5 ,4, 3,2,1 ”是否为同一个数列? 2.设数列{an } 为“-5,-3,-1,1,3,5,…” ,指出其中
a 3、a6 各是什么数?

将正整数从小到大排成一列数为
1,2,3,4,5,…,n
a1 a 2 a3 a 4 a5
an

(1 )

an ? n (n ? N )

*

一个数列的第n项 a n 如果能够用关于项数n

将2的正整数指数幂从小到大排成排成一列数为
2, 2 , 2 , 2 , 2 ,?
an ? 2n (n ? N* )
2 3 4 5

的一个式子来表示,那

么这个式子叫做这个数 . (2 ) 列的通项公式.

概念形成

例1 根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项: ( 1)

n an ? n ?1

1 1 1 1 a1 ? ? ; a2 ? ? ; 1?1 2 2 ?1 3

1 1 1 1 1 1 a3 ? ? ; a4 ? ? ; a5 ? ? . 3 ?1 4 4 ?1 5 5 ?1 6

( 2)

an ? ??1? ? n
n

a1 ? ?1; a2 ? 2; a3 ? ?3; a4 ? 4; a5 ? ?5.

例2 根据下列各无穷数列的前4项, 写出数列的一个通项公式.

(1)5,10,15,20,… ;
解 (1)数列的前4项与其项数的关系如下表: 项数n an
关系 1 5 2 10 3 15 4 20

5 ? 5 ? 1 10 ? 5 ? 2 15 ? 5 ? 3 20 ? 5 ? 4

由此得到,该数列的一个通项公式为

an ? 5n.

1 1 1 1 ?; (2) , , ,, 2 4 6 8
解: (2) 数列前4项与其项数的关系如下表:
序号 1 2 3 4

an
关系

1 2

1 4

1 6

1 8

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 2 ?1 4 2 ? 2 6 2 ? 3 8 2 ? 4

由此得到,该数列的一个通项公式为

1 an ? . 2n

检测与反馈 思考题:试问第20排圆圈的数目是多少?

7---6---5---4---3---2---1----

a1 ? 4, a2 ? 5, a3 ? 6, a4 ? 7, a1 ? 8,?, an ? n ? 3 ?a20 ? 20 ? 3 ? 23

5 4

10 9 8 7 6

例3

判断16和45是否为数列{3n+1}中的项, 如果是,请指出是第几项.
, 解 数列的通项公式为 an ? 3n ? 1
将16代入数列的通项公式有 16 ? 3n ? 1

解得 n ? 5 ? N*.
所以,16是数列 {3n ? 1} 中的第5项. 将45代入数列的通项公式有 45 ? 3n ? 1 解得 n ?

所以,45不是数列 {3n ? 1} 中的项.

44 ? N* 3

例4

设数列{an}的第2项a2=2,且满足an=3an-1(n=2,3,…) , 则a5的数值是_____.

解:由an ? 3an ?1得 a3 ? 3a2 ? 6 a4 ? 3a3 ? 18 a5 ? 3a4 ? 54
练习 设数列{an}的第2项a2=5,且满足an+1=an+2(n=1,2,…) , 则a1+a2+a3+a4+a5=_____. 45

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ??? ? ???? ?

S5

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ??? ? ???? ?

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ???? ? ????? ?

S5(前5项和)

S6(前6项和)

a1 ? a2 ? ? ? an ?? ? ??? ?

Sn(前n项和)

?a1 ? S1 , * an与S n之间的关系: ? ?an ? S n ? S n ?1 , n ? 2.


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