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1.2.2 组合


1.2.2

组合

整体设计 教材分析 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素, 或排成一排或并成一组, 并求有多少 种不同方法的问题. 排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关. 与顺序有关的是排列问题, 与顺序无关的是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从 定义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感

到困惑,分不清到底与顺序有无关 系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度,学的 真谛在于悟,只有学生真正理解了,才能举一反三、融会贯通. 学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合 问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先要考虑如何选出符合题意 要求的元素来, 选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队, 即第一步仅从组合的角度考虑, 第二步则考虑元素是否需全排列,如果不需要,是组合问题;否则是排列问题. 排列、 组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景, 解题思路通常是依据具 体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、 知识经验、具体情景出发,正确领会问题的实质,抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据 笔者观察, 有些同学之所以在学习中感到抽象, 不知如何思考, 并不是因为数学知识跟不上, 而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是 有悖于常理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情况, 怎么做事就怎么分析, 若能借助适当的工具, 模拟做事的过程, 则更能说明问题. 久而久之, 学生的逻辑思维能力将会大大提高. 课时分配 3 课时 第一课时 教学目标 知识与技能 理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合.明确组合与排列的联系与区别,能 判断一个问题是排列问题还是组合问题. 过程与方法 m 通过具体实例,体会组合数的意义,总结排列数 Am与组合数 Cn 之间的联系,掌握组合 n 数公式,能运用组合数公式进行计算. 情感、态度与价值观 能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力. 重点难点 教学重点:组合的概念和组合数公式. 教学难点:组合的概念和组合数公式. 教学过程 引入新课 提出问题 1:回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理,排列的概念和排列数公式. 活动设计:教师提问. 活动成果: 1.分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1

种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同 的方法那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同 的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这 件事有 N=m1× 2×…×mn 种不同的方法. m 3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按 照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做 m 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 An 表示. m 5.排列数公式:An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N?,m≤n). 6.阶乘:n!表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘.规定 0!=1. n! m 7.排列数的另一个计算公式:An = . (n-m)! 设计意图:检查学生的掌握情况,为新知识的学习奠定基础. 提出问题 2:分析下列两个问题是不是排列问题,为什么? 问题(1):从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参 加上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 问题(2):从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 活动设计:学生自己分析,教师提问. 活动成果:问题(1)中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而问 题(2)只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的,不是排列.我们把这样的问题称为组合问题. 设计意图:引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同,引出组合的概念. 探索新知 提出问题 1:结合上述问题(2),试总结组合和组合数的概念. 活动设计:学生小组讨论,总结概念. 活动成果: 1.组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 Cm表示. n 设计意图:培养学生的类比和概括能力. 理解新知 提出问题 1:判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同 的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信? (5)10 个人互通电话一次,共打了多少个电话? 活动设计:小组交流,共同分析. 活动成果:(1)(3)(4)是排列;(2)(5)是组合. 设计意图:通过具体实例比较排列和组合,加深对组合的理解. 提出问题 2:试找出排列和组合的区别和联系. 活动设计:小组交流,教师提问,学生补充.

活动成果: 1.区别:(1)排列有顺序,组合无顺序.(2)相同的组合只需选出的元素相同,相同的排 列则需选出的元素相同,并且选出元素的顺序相同. 2.联系:(1)都是从 n 个不同的元素中选出 m(m≤n)个元素; (2)排列可以看成先组合再全排列. 设计意图:加深对排列组合的理解,为推导组合数公式奠定基础. 提出问题 2: 你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从 4 个不同元素 a, b,c,d 中取出 3 个元素的组合数 C3是多少吗? 4 活动设计:小组交流,共同推导. 活动成果: 由于排列是先组合再排列,而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A3可以求得, 4 3 故我们可以考察一下 C3和 A4的关系,如下: 4 组合 排列 abc→abc,bac,cab,acb,bca,cba abd→abd,bad,dab,adb,bda,dba acd→acd,cad,dac,adc,cda,dca bcd→bcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb 由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A3,可以分如下两步:①考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共 4 3 有 C4个;②对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列,各有 A3种方法.由分步乘法计数原 3
3 A4 3 理得:A3=C3· 3,所以,C4= 3. A3 4 4 A3

设计意图:从具体实例出发,探索组合数的求法. 提出问题 3:你能想出求 Cm的方法吗? n 活动设计:小组交流,共同推导. 活动成果: 一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 Cm,可以分如下两步: n m ①先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An ; m ②求每一个组合中 m 个元素的全排列数 Am,根据分步乘法计数原理得:Am=Cn · m. Am m n 得到组合数的公式: Am n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n m Cn = m= Am m! n! 或 Cm= (n,m∈N?,且 m≤n). n m!(n-m)! 规定:C0=1. n 设计意图:引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式. 运用新知 类型一:组合数公式的应用 1 计算:(1)C4; (2)C7 . 7 10
4 解:(1)C7=

7× 5× 6× 4 =35; 4!

10× 8× 6× 4 9× 7× 5× (2)解法 1:C7 = =120. 10 7!

10! 10× 8 9× 7 解法 2:C10= = =120. 7!3! 3! 【巩固练习】 m+1 m+1 求证:Cm= · C . n n-m n
m 证明:∵Cn =

n! , m!(n-m)! m+1 n! m+1 n! · = · = n-m (m+1)!(n-m-1)! (m+1)! (n-m)(n-m-1)!

m+1 · C n-m

m+1 n



n! , m!(n-m)! m+1 m+1 ∴Cm= · C . n n-m n 【变练演编】 -1 2x- 设 x∈N*,求 Cx -3+Cx+13的值. 2x
?2x-3≥x-1, ? 解:由题意可得:? 解得 2≤x≤4, ? ?x+1≥2x-3,

∵x∈N*,∴x=2 或 x=3 或 x=4. 当 x=2 时原式的值为 4;当 x=3 时原式的值为 7;当 x=4 时原式的值为 11. ∴所求的值为 4 或 7 或 11. 类型二:简单的组合问题 例 2 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足 球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人.问: (1)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做 这件事情? 思路分析:对于(1),根据题意,17 名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一 个从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题;对于(2),守门员的位置是特殊的,其余 上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题. 解:(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案种数为 C11=12 376. 17 (2)教练员可以分两步完成这件事情: 第 1 步,从 17 名学员中选出 11 人组成上场小组,共有 C11种选法; 17 第 2 步,从选出的 11 人中选出 1 名守门员,共有 C1 种选法. 11 所以教练员做这件事情的方式种数为 11 C17× 11=136 136. C1 【巩固练习】 (1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? (2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条? 解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从 10 个不同的元素中 取出 2 个元素的组合数,即线段条数为
2 C10=

10× 9 =45. 1× 2

(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点,以平面内 10 个点中每 2 个 点为端点的有向线段的条数,就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数,即有向线段 条数为 A2 =10× 9=90. 10 【变练演编】 (1)凸五边形有多少条对角线? (2)凸 n(n>3)边形有多少条对角线? 解答:(1)凸五边形的五个顶点中,任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是 一条边,所以,凸五边形的对角线条数为 C2-5=5. 5 (2)凸 n 边形的 n 个顶点中,任意两个顶点的连线是凸 n 边形的一条对角线或是一条边, n(n-3) 所以,凸 n 边形的对角线条数为 C2-n= . n 2 【达标检测】 1.判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题: (1)从 4 个风景点中选出 2 个安排游览,有多少种不同的方法? (2)从 4 个风景点中选出 2 个, 并确定这 2 个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 2.7 名同学进行乒乓球擂台赛,决出新的擂主,则共需进行的比赛场数为( ) A.42 B.21 C.7 D.6 3.如果把两条异面直线看作“一对”,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直线有( ) A.15 对 B.25 对 C.30 对 D.20 对 答案:1.(1)是组合问题 (2)是排列问题 2.B 3.A 课堂小结 1.知识收获:组合概念、组合数公式. 2.方法收获:化归. 3.思维收获:分类讨论、化归思想. 补充练习 【基础练习】 1.A,B,C,D,E 5 个足球队进行单循环比赛,(1)共需比赛多少场?(2)若各队的得 分互不相同,则冠、亚军的可能情况共有多少种? 2.空间有 10 个点,其中任何 4 点不共面, (1)过每 3 个点作一个平面,一共可作多少个平面? (2)以每 4 个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面体? 3.壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张,一共可以组成多少种币值? 4.写出从 a,b,c,d,e 这 5 个元素中每次取出 4 个的所有不同的组合. 答案:1.(1)10 (2)20 2.(1)C3 =120 (2)C4 =210 3.C1+C2+C3+C4=24-1=15. 10 10 4 4 4 4 4.a,b,c,d a,b,c,e a,b,d,e a,c,d,e b,c,d,e. 【拓展练习】 5.第 19 届世界杯足球赛于 2010 年夏季在南非举办,共 32 支球队有幸参加,他们先分 成 8 个小组进行循环赛, 决出 16 强(每队均与本组其他队赛一场, 各组一、 二名晋级 16 强), 这 16 支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠亚军,此外还要决出第三名、第四名, 问这次世界杯总共将进行多少场比赛? 解:可分为如下几类比赛: (1)小组循环赛:每组有 C2=6 场,8 个小组共有 48 场; 4 (2)八分之一淘汰赛:8 个小组的第一、二名组成 16 强,根据赛制规则,每两个队比赛

一场,可以决出 8 强,共有 8 场; (3)四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8 强中每两个队比赛一次,可以决出 4 强,共有 4 场; (4)半决赛:根据赛制规则,4 强每两个队比赛一场,可以决出 2 强,共有 2 场; (5)决赛:2 强比赛 1 场确定冠亚军,4 强中的另两支队比赛 1 场决出第三、四名,共有 2 场. 2 综上,共有 8C4+8+4+2+2=64 场比赛. 设计说明 本节课是组合的第一课时,主要目标是学习组合的概念,探究组合数公式,并利用组合 数公式解决简单的计数问题.主要特点是:类比排列数公式的推导方法,抓住排列和组合的 区别和联系, 利用排列数公式推导出组合数公式. 本节课的设计充分体现教师所提问题的主 导作用和学生根据问题自主探究的主体地位,学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学 习、自主探究. 备课资料 在判断一个问题是排列还是组合问题时, 主要看元素的组成有没有顺序性, 有顺序的是 排列,无顺序的是组合. 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球, 排成一排, 共有多少种不同的排列方 法? 误解:因为是 8 个小球的全排列,所以共有 A8种方法. 8 错因分析: 误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的, 个白色小球也是完全相同的, 5 同色球之间互换位置是同一种排法. 正解:8 个小球排好后对应着 8 个位置,题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置 给红球,剩下的位置给白球,由于这 3 个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样 共有:C3=56 种排法. 8 (设计者:殷贺)


1.2.2组合

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