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高一数学(1.3.2-2函数奇偶性的性质)

时间:2017-07-18


1.3.2

奇偶性

第二课时

函数奇偶性的性质

问题提出

1.奇函数、偶函数的定义分别是什么?

2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有

何特征?

3.函数的奇偶性有那些基本性质?

知识探究(一)

思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 函数?若存在,这样的函数有何特征? f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形?

思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数,那么 f(0)的值如何? f(0)=0

思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常 数,那么函数af(x),f(ax)的奇偶性如何?

思考5:常数函数 f ( x) ? a(a ? 0) 具有奇偶性吗?

知识探究(二)

思考1:如果函数f(x)和g(x)都是奇函数,那 么f(x) + g(x),f(x) - g(x), f(x)×g(x) ,f(x)÷g (x)的奇偶性如何?

思考2:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数, 那么f(x) + f(-x),f(x) - f(-x)奇偶性如 何? f(x) + f(-x)是偶函数

f(x) - f(-x)是奇函数

思考3:二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 是偶函 数的条件是什么? 一次函数 f ( x) ? kx ? b 是奇函数的条 件是什么?
2

b=0

理论迁移

例1 已知f(x)是奇函数,且当 x ? 0时, 2 ,求当 x ? 0 时f(x)的解析 f ( x) ? x ? 3 x 式. 2

f ( x) ? ? x ? 3x( x ? 0)
2

例2 设函数 f ( x) ? 2 x ? mx ? 3,已知 f ( x ? 1) 是 偶函数,求实数m的值. m=-4

例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任 意实数x都有 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 0 ,若当 x ? [?3, ?2] 1 时, f ( x) ? 2 x ,求 f ( ) 的值. 2
1 f( )?5 2

例4 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,f(-2)=0,求不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集.

(?2, 0) ? (2, ??)


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