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2013届北京市房山区高三4月第一次模拟考试理科数学试题及答案


一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把正确答案填入答题卡上的相应空格内) 1.已知集合 为( )

A. (1,2) B. C. D. 2.―非空集合 M 不是 P 的子集‖的充要条件是( ) A. C. 又 D. 3. 函数 的零点个数为( A. 0 B. 1 ). C. 2

D. 3 ) B.

4.设函数 ,若 时,有 ,则实数 的取值范围是( A. B. C. D. )

5. 已知 ,则下列函数的图象错误的是(

6.若关于 的不等式 有实数解,则实数 的取值范围为( ) A. C. B. D.

7.已知函数: ,其中: ,记函数 满足条件: 为事件为 ,则事件 发生的概率为( ) A. B. C. D.

8.2012 年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别 从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲、乙只能从事前三项工作,其余三人均能 从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) A.18 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 9.已知定义在 上的函数 满足 ,且 的导函数 则不等式 的解集为( ) A. B. C. D.

10.设函数 ,其中 表示不超过 的最大整数,如 ,若 有三个不同的根,则实数 的取值范围是( ) A. 第Ⅱ 卷 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填入答题卡上)。 11.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且 a1+a2+…+a6=63,则实数 m 的值为 ________. 12.若 是 上的奇函数,则函数 的图象必过定点 . B. C. D.

13.若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数,则实数 k 的取值范围

.

14.设 , ,…, 是 1,2,…, 的一个排列,把排在 的左边且比 小的数的个数称为 的顺序数 () .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在由 1、2、3、4、 5、6、7、8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序 数为 3 的不同排列的种数为_________ ___(结果用数字表示) . 15. 给出定义:若 (其中 为整数),则 叫做离实数 x 最近的整数,记作 ,即 . 在此基础上给出下列 关于函数 的四个命题: ① 函数 的定义域是 R,值域是[0, ];② 函数 的图像关于直线 对称;③ 函数 是周期函数,最小正 周期是 1;④函数 在 上是增函数. 则其中真命题是__ . (请填写序号)

三、解答题:(本大题 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 16. (本小题满分 12 分)设命题 ; 命题 是方程 的两个实根,且不等式 ≥ 对任意的实数 恒成立,若 p q 为真,试求实数 m 的取值范围.

17. (本题满分 12 分) 某品牌电视生产厂家有 A、B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动,若厂家 A、B 对两种型号 的电视机的投放金额分别为 p、q 万元,农民购买电视机获得的补贴分别为 p、 lnq 万元,已知 A、 B 两种型号的电视机的投放总额为 10 万元,且 A、B 两种型号的电视机的投放金额均不低于 1 万 元,请你制定一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出最大值(精确到 0.1, 参考数据: ).

18. (本小题满分 12 分)吉安电视台的一个智力游戏节目中,有一道将中国四大名著 A、B、C、 D 与它们的作者 连线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能与一本名著连 线.每连对 一个得 3 分,连错得 分,一名观众随意连线,将他的得分记作 ξ. (Ⅰ )求该观众得分 ξ 为正数的概率; (Ⅱ )求 ξ 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分 12 分)已知幂函数 为偶函数,且在区间 上是单调增函数. ⑴ 求函数 的解析式;⑵ 设函数 ,若 的两个实根分别在区间 内,求实数 b 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分)已知定义在区间[-1,1]上的函数 为奇函数。

(1)求实数 b 的值。 (2)判断函数 (-1,1)上的单调性,并证明你的结论。 (3) 在 x [ m,n ]上的值域为[ m,n ] ( –1 m < n 1 ),求 m+n 的值。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 为实常数) .(I)当 时,求函数 在 上的最小值;(Ⅱ )若方程 (其中 )在区间 上有解,求 实数 的取值范围;(Ⅲ )证明: (参考数据: ) 数学参考答案(理科) 一、选择题:1—5 ADDCD 6—10 ABDCD 二、填空题:11. 1 或-3 14. 144 15. ① ③ ② . 三、解答题: 16.解:解:对命题 又 故 对命题 对 有 ∴ 若 为真,则 假 真 ∴ 17.解:设 B 型号电视机的投放金额为 万元 ,A 型号的电视机的投放金额为 万元,农民得到的 补贴为 万元,则由题意得 …………5 分 ,令 得 …………7 分 当 时, ;当 ,时, …………9 分 所以当 时, 取得最大值, …………11 分 故厂家投放 A、B 两种型号的电视机的金额分别是 6 万元和 4 万元,农民得到的补贴最多,最多 补贴约 1.2 万元。 …………12 分 12. 13.

18. 解: (1) 的可能取值为 . , .该同学得分正数的概率为 . (2) , . 的分布列为:

数学期望 . 19.解: (1)幂函数 为偶函数,且在区间 上是单调增函数

,又 ,函数 为偶函数

(2) 由题, (2)函数 (-1,1)上是增函数………………4 分 证明:∵ ∴ ………………6 分 ,∴ ………………7 分

∴ 函数 (-1,1)上是增函数 …………8 分 证法二:用定义证明 (3)由(2)知函数 [m,n]上是增函数∴ 函数 的值域为[ , ] ∴ 即 …………………………9 分 由① m = –1 或 0 或 1 得 由② n = –1 或 0 或 1…………………………………………11 得 又∵ ≤ m < n ≤ 1∴ –1 m=–1,n=0;或 m=–1,n=1;或 m=0,n=1…………………12 ∴ m+n=–1;或 m+n=0;或 m+n=1………13 21、解: )当 时, , ,令 ,又 , 在 上单调递减,在 上单调递增. 当 时, (Ⅰ . 的最小值为 . ….4 分 (Ⅱ 在 上有解 在 上有解 在 上有解.令 , , ) 令 ,又 ,解得: . 在 上单调递增, 上单调递减,又 . .即 .故 .……9 分 (Ⅲ , )设 由(Ⅰ , , . . ) . . 构造函数 , 当 时, . 在 上单调递减,即 . 当 时, . .即 . . 故 . …14 分


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