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2.2.2等差数列的概念与通项公式(2)

时间:2017-08-27


等差数列的概念 与通项公式2

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教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.? 教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. ? 教具准备 多媒体及课件?? 三维目标 一、知识与技能? 1.明确等差中项

的概念;? 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图象认识等差数 列的性质;? 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.?? 二、过程与方法? 1.通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通 项公式的运用,渗透方程思想;? 2.发挥学生的主体作用,讲练相结合,作好探究性学习;? 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊 与一般的辩证唯物主义观点;? 2.通过体验等差数列的性质的奥秘,激发学生的学习兴趣.?

复习回顾:
等差数列定义:

an ? an?1 ? d

(n ? 2)

等差数列的通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d
等差数列通项公式的一个变式

an ? am ? (n ? m)d

例1:

梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中 间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中 间各级的宽度。
用{a 解: n}表示梯子自上而下各级宽度成的等

差数列, 由已知条件有 a1=33,a12=110,n=12. 由通项公式,得a12=a1+(12-1)d 即110=33+11d,解得d=7. 因此,a2= 33+7 a3=40+7 a4=54 a5=61 a6=68 a7=75 a8 = 82 a9=89 a10=96 a11=103. 答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82c m,89cm,96cm,103cm.

例2:
已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数, 且p≠0,那么这个数列是否一定是等差数列吗?如 果是,其首项与公差是什么? 分析:由等差数列的定义,要判定是不是等差数 解:取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2) 列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的 an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q] 常数就行了 =pn+q-(pn-p+q) =p 它是一个与n无关的常数,所以是等差数列,且公 差是p 在通项公式中令n=1,得a1=p+q, 所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p,

例如:
首项是1,公差是2的无穷等 差数列的通项公式为

an =2n-1
相应的图象是直线y=2x-1 上均匀排开的无穷多个孤 立的点,如右图

思考:
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b 成等差数列,那么A应满足什么条件?
由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可 得:A-a=b-A,即 a?b

A?

反之,若 则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列. 总之: A ? a ? b ? a, A, b 成等差数列. 2 a?b 也就是说: A ? 是a,A,b成等差数列的充要条件. 2

a?b A? 2

2

等差数列的性质1: 如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的 等差中项.
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末 项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.

如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
5?9 3?7 1? 5 7? 5? 3? 2 2 2 3 ? 7 1? 9 5 ? 9 3 ? 11 1 ? 13 5? ? 7? ? ? 2 2 2 2 2 即: a2 ? a4 ? a1 ? a5 ? 2a3 a3 ? a5 ? a2 ? a6 ? a1 ? a7 ? 2a4

练习:
求下列各题中两个数的等差中项。 (1)、100与180 (2)、-2与6

解:(1)100与180的等差中项是140
(2)-2与6的等差中项为2

例3:在等差数列 ?an ? 中, 为公差,若 d
求证: am

m, n, p, q ? N ? 且 m ? n ? p ? q

? an ? a p ? aq

am ? an ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d a p ? aq ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? (q ? 1)d

证明: 设首项为 a1 ,则

? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d ∵ m?n ? p?q ∴ am ? an ? a p ? aq

等差数列性质2:
在等差数列 ?a n ? 中,m, n, p, q ? N ? 若 m?n ? p?q 则

am ? an ? a p ? aq

求a9, a7+a11 (2)已知等差数列{an}中, a3 +a4+a5 +a6 +a7=150,求a2+a8的值 (1)∵a9是a3和a15的等差中项 解: a3 ? a15 30 ? ? 15 ∴ a9 ? 2 2 ∵7+11=3+15 ∴ a7+a11 =a3 +a15=30

例4: 已知等差数列{an}中, a3 +a15=30, (1)

(2)∵3+7=4+6=5+5 ∴ a3+a7 =a4 +a6=2 a5 ∴ a3 +a4+a5 +a6 +a7=5 a5=150 即a5=30 故a2+a8 =2 a5=60

练习:
(1)在等差数列{an}中, a3 +a9+a15+

a21=8,求a12 =

2

(2)已知等差数列{an}中, a3 和a15是

方程x2-6x-1=0的两个根,则a7 +a8 + 15 a9+a10+a11=
2

例5:
已知等差数列{an}中, a3 +a5= -14, 2a2 +a6 = -15,求a8
解: ∵3+5=2+6, ∴ a3 +a5= a2+a6 则2a2+a6 = a2+ a3 +a5 = a2-14=-15 故a2 = -15+14=-1 ∴ a6 = -15 -2a2 =-15-2×(-1)=-13

故a8 =2a6-a4 =2×(-13)-(-7)=-19

a 2 ? a6 ? 1 ? 13 ? a4 ? ? ? ?7 2 2

例6 已知三个数成等差数列,它们的和是12,积 是48,求这三个数.

小结:
(1)由通项公式如何判定它是等差数列。 (2)等差数列性质1

(3)等差数列性质2

作业:
课本: P.39:6,8,9,10,11.

? 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念,进一步熟练掌握等 差数列的通项公式及其推导的公式,并能通过通项公式与图象认识等 差数列的性质;让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一 次型函数,那么这个数列必定是一个等差数列,使学生学会用图象与 通项公式的关系解决某些问题.? ? 在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探 究.在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽 可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥 他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位,通过等差数列概念 的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新 知的创新意识.? ? 通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系, 从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点,通过等差数列的图象的应 用,通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想,进一步渗透数形 结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究,主动学习,提高学生学 习积极性,也提高了课堂的教学效果.?


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