nbhkdz.com冰点文库

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步、推理与证明、复数12.4直接证明与间接证明


12.4

直接证明与间接证明

考纲要 求 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过 程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.

1.直接证明中最基本的两种证明方法是______和______. 2.综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、

公理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立.综合法又叫________. 3.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 ).分析法又叫 ________. 4.反证法:假设原命题______(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾,因此说明________,从而证明了_ _________,这样的证明方法叫反证法. 应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步 骤: 第一步,分清命题“p→q”的__________; 第二步,作出与命题结论 q 相矛盾的假设____; 第三步,由 p 与 ? q 出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步,断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设 ? q 不真,于是原结论 q 成立, 从而间接地证明了命题 p→q 为真. 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的( ). A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 2.用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于 60° ”时,应假设( ). A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 3.设 t=a+2b,s=a+b2+1,则下列关于 t 和 s 的大小关系中正确的是( ). A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s 4 .命题“对于任意角 θ , cos4θ - sin4θ = cos 2θ”的证明: cos4θ - sin4θ = (cos2θ - sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ 过程应用了( ). A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合应用 D.间接证明法 5.因为某种产品的两种原料相继提价,所以生产者决定对产品分两次提价,现在有三 种提价方案: 方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%; 方案乙:第一次提价 q%,第二次提价 p%; p+q p+q 方案丙:第一次提价 %,第二次提价 %, 2 2 其中 p>q>0.比较上述三种方案,提价最多的是( ). A.甲 B.乙 C.丙 D.一样多

一、综合法 【例 1】如图,四边形 ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA⊥平面 ABCD,PB=AB =2MA.求证:

[来源:学科网]

(1)平面 AMD∥平面 BPC; (2)平面 PMD⊥平面 PBD. 方法提炼 1.综合法是“由因导果”,它是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列的中间推理, 最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的 逻辑关系是:A?B1?B2?…?Bn?B(A 为已 知条件或数学定义、定理、公理,B 为要证结论),它的常见书面表达是“∵,∴”或“?”. 2.利用综合法证不等式时,是以基本不等式为基础,以不等式的性质为依据,进行推 理论证的.因此,关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质. 3.综合法是一种由因导果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就 是保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确性. 请做演练巩固提升 1 二、分析法 【例 2】已知△ABC 三边 a,b,c 的倒数成等差数列,证明:B 为锐角. 方法提炼 1.分析法是“执果索因 ”,它是从要证的结论出发,倒着分析 ,逐渐地靠近已知. 2.用分析法证“若 P,则 Q”这个命题的模式是: 为了证明命题 Q 为真,这只需证明命题 P1 为真,从而有?? 这只需证明命题 P2 为真,从而有?? ?? 这只需证明命题 P 为真. 而已知 P 为真,故 Q 必为真. 提醒:用分析法证题时,一定要严格按格式书写,否则极易出错. 3.在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用,根据条件的结构特点去 转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P,若由 P 可 以推出 Q 成立,就可以证明结论成立.一般情况下,用分析法寻找思路,用综合法完成证 明. 请做演练巩固提升 4 三、反证法 【例 3】设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? 方法提炼 反证法是间接证明问题的一种常用方法, 它不是从已知条件去直接证明结论, 而是先否 定结论,在否定结论的基础上进行演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.用反证法 证明要把握三点:(1)反设:必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)归谬:必须从否定结 论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.推导出的矛盾可 能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但推导出的矛盾 必须是明显的;(3)结论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于 “反设”的谬误,既然结
[来源:学科网 ZXXK]

论的反面不成立,从而肯定了结论成立. 请做演练巩固提升 2 证明类问题中的新情景问题 【典例】 设 f(x),g(x),h(x)是 R 上的任意实数函数, 如下定义两个函数(f?g)(x)和(f· g)(x): 对任意 x∈R,(f?g)(x)=f(g(x)),(f· g)(x)=f(x)g(x).则下列等式恒成立的是( A.((f?g)· h)(x)=((f· h)?(g· h))(x) B.((f· g)?h)(x)=((f?h)· (g?h))(x) C.((f?g)?h)(x)=((f?h)?(g?h))(x) D.((f· g)· h)(x)=((f· h)· (g· h))(x) 解析:((f· g)?h)(x)=(f· g)(h(x))=f(h(x))g(h(x)) =(f?h)(x)(g?h)(x)=((f?h)· (g?h))(x). 答案:B 答题指导:对于此类新情景下的新定义问题需要做好以下几点: 1.充分理解题意,理解定义是解题的关键. 2.若是选择、填空题建议以特例理解 新定义,可以化难为易、化繁为简. 3.“按规则要求办事”,即新定义如何要求就如何去做,此法虽然可能会繁琐,但只 要理解透彻,运算得当也能解决问题. ).

1.(2012 浙江绍兴模拟)设 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a 与 b 的大小关系为( ). A.a>b B.a<b C.a=b D.a≤b 2.(2012 山师大附中模拟)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有 一个偶数”正确的反设为( ). A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c 都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 3.若函数 F(x)=f(x)+f(-x)与 G(x)=f(x)-f(-x),其中 f(x)的定义域为 R,且 f(x)不恒 为零,则( ). A.F(x)、G(x)均为偶函数 B.F(x)为奇函数,G(x)为偶函数 C.F(x)与 G(x)均为奇函数 D.F(x)为偶函数,G(x)为奇函数
[来源:学科网 ZXXK]

4.已知 a,b∈(0,+∞) ,求证: (a3 +b3 ) 3 <(a 2 ? b2 ) 2 .

1

1

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.综合法 分析法 2.顺推证法或由因导果法 3.递推证法或执果索因法 4.不成立 假设错误 原命题成立 条件和结论 ? q 基础自测 1.A 2.B 3.D 解析:∵s-t=a+b2+1-a-2b=(b-1)2≥0, ∴s≥t. 4.B 解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件?结论. 5. C 解析: 设产品的原价为 a, 则按方案甲可得提价后的价格为 A=a(1+p%) · (1+q%); 按方案乙可得提价后的价格为 B=a(1+q%)(1+p%)=A;按方案丙可得提价后的价格为 p+q ?? p+q ? C=a?1+ % 1+ % 2 2 ? ?? ? p+ q ? 2 =a?1+ % , 2 ? ? p+q ?2 a 则 C-B=a?1+ % -a(1+p%)(1+q%)=4(p%-q%)2>0,故应选 C. 2 ? ? 考点探究突破 【例 1】证明:(1)因为 PB⊥平面 ABCD,MA⊥平面 ABCD, 所以 PB∥MA. 因为 PB?平面 BPC,MA ? 平面 BPC, 所以 MA∥平面 BPC. 同理,DA∥平面 BPC. 又 MA?平面 AMD,AD?平面 AMD,MA∩AD=A, 所以平面 AMD∥平面 BPC. (2)连接 AC,设 AC∩BD=E,取 PD 的中点 F,连接 EF,MF.

因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 E 为 BD 的中点. 因为 F 为 PD 的中点, 1 所以 EF PB. 2 1 又 AM∥ PB, 2 所以四边形 AEFM 为平行四边形. 所以 MF∥AE. 因为 PB⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD, 所以 PB⊥AE. 所以 MF⊥PB. 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 AC⊥BD.

学 &科&网 Z&X&X&K]

所以 MF⊥BD. 所以 MF⊥平面 PBD. 又 MF?平面 PMD, 所以平面 PMD⊥平面 PBD. 【例 2】证明:要证明 B 为锐角,根据余弦定理, a2+c2-b2 也就是证明 cos B= >0, 2ac 即需证 a2+c2-b2>0. 由于 a2+c2-b2≥2ac-b2, 要证 a2+c2-b2>0. 只需证 2ac-b2>0. ∵a,b,c 的倒数成等差数列, 1 1 2 ∴ + = ,即 2ac=b(a+c). a c b ∴要证 2ac-b2>0, 只需证 b(a+c)-b2>0, 即证 b(a+c-b)>0. 上述不等式显然成立. ∴B 必为锐角. 【例 3】(1)证明:若{Sn}是等比数列,则 S22=S1· S3,即 a12(1+q)2=a1· a1(1 +q+q2),
[来源:Z&xx&k.Com]

[来源 :

∵a1≠0,∴(1+q) =1+q+q ,解得 q=0,这与 q≠0 相矛盾, 故数列{Sn}不是等比数列. (2)解:当 q=1 时,{Sn}是等差数列. 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列.假设 q≠1 时,S1,S2,S3 成等差数列,即 2S2=S1+S3, 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2). 由于 a1≠0, ∴2(1+q)=2+q+q2,即 q=q2, ∵q≠1,∴q=0,这与 q≠0 相矛盾. 综上可知,当 q=1 时,{Sn}是等差数列;当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列. 演练巩固提升 1.A 解析:∵a=lg 2+lg 5=lg 10=1, 而 b=ex<e0=1,故 a>b. 2.B 解析:“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”. 3.D 解析:由 F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x)知 F(x)=F(-x),G(-x)+G(x) =0. 4.证明:因为 a,b∈(0,+∞),要 证原不等式成立, 只需证 [(a3 ? b3 ) 3 ]6 <[(a 2 ? b2 ) 2 ]6 , 即证(a3+b3)2<(a2+b2)3, 即证 a6+2a3b3+b6<a6+3a4b2+3 a2b4+b6, 只需证 2a3b3<3a4b2+3a2b4. 因为 a,b∈(0,+∞), 所以即证 2ab<3(a2 +b2). 而 a2+b2≥2ab,3(a2+b2)≥6ab>2ab 成立, 所以 (a3 ? b3 ) 3 <(a 2 ? b2 ) 2 .
1 1

2

2

1

1


2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步、推理与证明、复数12.4直接证明与间接证明

2014年高考理科数学北京... 2014届高考数学(山东专用... 2014届高考数学(山东...经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立.综合法又叫___. 3.分析...

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步、推理与证明、复数12.2基本算法语句

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步推理与证明复数12.2基本算法语句_高考_高中教育_教育专区。12.2 基本算法语句 考纲要求 理解几种...

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步、推理与证明、复数12.5数学归纳法

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步推理与证明复数12.5数学归纳法_数学_高中教育_教育专区。12.5 数学归纳法 考纲要求 1.了解数学...

2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图教学案 理 新人教A版

2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步推理与证明复数12.1算法与程序框图教学案 理 新人教A版_高考_高中教育_教育专区。第十二章 算法初步推理与证明、...

2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.5数学归纳法教学案 理 新人教A版

2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步推理与证明复数12.5数学归纳法教学案 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。12.5 数学归纳法 考纲要求 1.了解数...

2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.2基本算法语句教学案 理 新人教A版

2014年高考语文北京卷真... 2014年高考理科数学新课... 2014年高考理科数学北京...12.2 基本算法语句 考纲要求 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、...

2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.3合情推理与演绎推理教学案 理 新人教A版

2014届高考数学一轮复习 第十二章算法初步推理与证明复数12.3合情推理与演绎推理教学案 理 新人教A版_高考_高中教育_教育专区。12.3 合情推理与演绎推理 ...

版走向高考数学第一轮复习阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)

版走向高考数学第一轮复习阶段性测试题十二(算法初步复数推理与证明)_数学_...3 1 13. (2014· 洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式: ×2= 1×2 1 ...

高中知识点归纳之算法初步、推理与证明、复数

算法初步推理与证明复数知识点 算法初步、推理与...·山东理,13) .(注:框中的赋值符号“←” ,也...2012届高考数学第一轮基... 51页 2下载券 步步高...

阶段性测试题十二 算法初步 推理与证明 复数

推理与证明复数与算法初... 37页 免费 高考第一轮复习数学:12.1... 8页...《志鸿优化设计》第十二章... 暂无评价 4页 1财富值 专题七学案 算法初步、...

相关文档

更多相关标签