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广东省广州市增城市新塘中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷


广东省广州市增城市新塘中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={﹣1,0,1},则 A∩B 等于() A.{1} B.{﹣1,0,2} C.{﹣1,0,1,2} D.? 2. (5 分)cos120°是() A.﹣
2
<

br />B. ﹣

C.

D.

3. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集是() A.(﹣3,1) B.(﹣1,3) C.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) D. (﹣∞, ﹣ 3)∪(1,+∞) 4. (5 分)已知直线 l1:2x+y﹣2=0,l2:ax+4y+1=0,若 l1∥l2,则 a 的值为() A.8 B. 2 C. ﹣ D.﹣2

5. (5 分)函数 y=sin2x 是() A.最小正周期为 2π 的偶函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数

B. 最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

6. (5 分)在等比数列{an}中,若 a3a6=9,a2a4a5=27,则 a2 的值为() A.2 B. 3 C. 4 D.9

7. (5 分)如果实数 x、y 满足条件

,则 2x+y 的最大值为()

A.1

B.

C. 2

D.3

8. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰梯形(较短的底长为 2) ,则 该几何体的体积为()

A.

B.
x

C.

D.

9. (5 分)函数 f(x)=2 +x 的零点所在的区间为() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)

D.(1,2)

10. (5 分)已知向量 =(1,n) , =(n,1) ,其中 n≠±1,则下列结论中正确的是() A.( )∥( ) D. B. ( ( ) ⊥ C. ( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. (5 分)函数 y=ln(2x﹣1)的定义域是. 12. (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,点(1,﹣2,3)关于原点 O 的对称点的坐标为. 13. (5 分)某公司生产 A、B、C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为 2:3:4,为了检验 该公司的产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆,那么 n=. 14. (5 分)已知函数 y=a >0)上,则
1﹣x

(a>0 且 a≠1)的图象恒过点 A.若点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn

的最小值为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. (12 分)编号分别为 A1,A2,A3,…,A12 的 12 名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分 记录如下: 运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12 得分 5 10 12 16 8 21 27 15 6 22 18 29 (1)完成如下的频率分布表:

得分区间 频数频率 [0,10) 3 [10,20) [20,30) 合计 12 1.00 (2)从得分在区间[10,20)内的运动员中随机抽取 2 人,求这 2 人得分之和大于 25 的概率. 16. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 已知 (1)求 sinB 的值; (2)求 c 的值. 17. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB=5,BC=4,AC=3,点 D 是线段 PB 的中点, 平面 PAC⊥平面 ABC. (1)在线段 AB 上是否存在点 E,使得 DE∥平面 PAC?若存在,指出点 E 的位置,并加以 证明;若不存在,请说明理由; (2)求证:PA⊥BC. .

18. (14 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=10,S4=24. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn= ,求证:Tn< .

19. (14 分)已知圆 C 的圆心坐标为(1,2) ,直线 l:x+y﹣1=0 与圆 C 相交于 M、N 两点, |MN|=2. (1)求圆 C 的方程; (2)若 t≠1,过点 A(t,0)作圆 C 的切线,切点为 B,记 d1=|AB|,点 A 到直线 l 的距离为 d2,求 的取值范围.

20. (14 分)已知 ≤a≤1,若函数 f(x)=ax ﹣2x 在[1,3]上的最大值为 M(a) ,最小值为 N (a) ,令 g(a)=M(a)﹣N(a) . (1)求 g(a)的表达式;

2

(2)若关于 a 的方程 g(a)﹣t=0 有解,求实数 t 的取值范围.

广东省广州市增城市新塘中学 2014-2015 学年高二上学期 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={﹣1,0,1},则 A∩B 等于() A.{1} B.{﹣1,0,2} C.{﹣1,0,1,2} D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 要求 A∩B,即求由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合. 解答: 解:∵集合 A={1,2},B={﹣1,0,1}, ∴A∩B={1}, 故选 A. 点评: 本题主要考查集合交集的概念,是简单的基础题. 2. (5 分)cos120°是() A.﹣ B. ﹣ C. D.

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos60°,从而求得结果. 解答: 解:cos120°=cos(180°﹣60°)=﹣cos60°=﹣ , 故选 A. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的 易错点,属于基础题. 3. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集是() A.(﹣3,1) B.(﹣1,3) C.(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) D. (﹣∞, ﹣ 3)∪(1,+∞) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 把不等式 x ﹣2x﹣3<0 化为(x+1) (x﹣3)<0,求出解集即可. 2 解答: 解:不等式 x ﹣2x﹣3<0 可化为 (x+1) (x﹣3)<0,
2

解得﹣1<x<3, ∴不等式的解集是(﹣1,3) . 故选:B. 点评: 本题考查了求一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目. 4. (5 分)已知直线 l1:2x+y﹣2=0,l2:ax+4y+1=0,若 l1∥l2,则 a 的值为() A.8 B. 2 C. ﹣ D.﹣2

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线平行的性质求解. 解答: 解:∵直线 l1:2x+y﹣2=0,l2:ax+4y+1=0,l1∥l2, ∴ ,

解得 a=8. 故选:A. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线平行的性质的灵 活运用. 5. (5 分)函数 y=sin2x 是() A.最小正周期为 2π 的偶函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数 考点: 专题: 分析: 答案. 解答:

B. 最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性. 计算题;三角函数的图像与性质. 根据三角函数的周期公式算出最小正周期 T=π, 结合正弦函数的奇偶性即可得到本题 解:∵函数 y=sin2x 中 ω=2 =π

∴最小正周期为 T=

又∵y=sin2x 满足 f(﹣x)=﹣f(x) ∴函数 y=sin2x 是奇函数 因此,函数 y=sin2x 是最小正周期为 π 的奇函数 故选:D 点评: 本题给出三角函数式,求函数的周期与奇偶性.着重考查了三角函数的周期公式和 函数奇偶性判断等知识,属于基础题. 6. (5 分)在等比数列{an}中,若 a3a6=9,a2a4a5=27,则 a2 的值为() A.2 B. 3 C. 4 D.9 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设公比为 q,可得 =9, =27,两式相除可得答案.

解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, 由题意可得 a3a6= a2a4a5= 可得 a2=3 故选 B 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题. = = =27,② =9,①

7. (5 分)如果实数 x、y 满足条件

,则 2x+y 的最大值为()

A.1

B.

C. 2

D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代 入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 B(1,1) ,

令 z=2x+y,得 y=﹣2x+z,由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 B 时直线在 y 轴上的截距最大,z 最大为 2×1+1=3. 故选:D. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

8. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是等腰梯形(较短的底长为 2) ,则 该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 根据三视图画出其直观图,利用三视图的数据求出底面等腰梯形的面积,代棱柱的 体积公式计算即可. 解答: 解:由三视图判断几何体为直四棱柱,其直观图如图:

其底面为等腰梯形,由侧视图知梯形的高为 由正视图知棱柱的高为 4, ∴V= =12 .



故选 C. 点评: 本题考查由三视图求面积问题,解决的关键是利用三视图的数据求底面梯形的面积. 9. (5 分)函数 f(x)=2 +x 的零点所在的区间为() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将选项中区间的两端点值分别代入 f(x)中验证,若函数的两个值异号,由零点存 在定理即可判断零点必在此区间. 0 解答: 解:当 x=0 时,f(0)=2 +0=1>0, 当 x=﹣1 时,f(﹣1)= <0,

由于 f(0)?f(﹣1)<0,且 f(x)的图象在[﹣1,0]上连续, 根据零点存在性定理,f(x)在(﹣1,0)上必有零点, 故答案为 B. 点评: 本题主要考查了函数的零点及零点存在性定理,关键是将区间的端点值逐个代入函 数的解析式中,看函数的两个值是否异号,若异号,则函数在此开区间内至少有一个零点.

10. (5 分)已知向量 =(1,n) , =(n,1) ,其中 n≠±1,则下列结论中正确的是() A.( )∥( ) D. B. ( ( ) ⊥ C. ( )

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量平行或垂直的坐标表示,对选项中的平行或垂直进行判断即可. 解答: 解:∵向量 =(1,n) , =(n,1) ,其中 n≠±1, ∴ ﹣ =(1﹣n,n﹣1) , + =(1+n,n+1) ; ∴(1﹣n) (n+1)﹣(n﹣1) (1+n)=2﹣2n ≠0, ∴( ﹣ )∥( + )不成立,A 错误; 又∵(1+n)×1﹣(n+1)n=1﹣n ≠0, ∴( + )∥ 不成立,B 错误; 又∵(1﹣n) (1+n)+(n﹣1) (n+1)=0, ∴( ﹣ )⊥( + )成立,C 正确; 又∵(1+n)n+(n+1)?1=n +2n+1≠0, ∴( + )⊥ 不成立,D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查了根据平面向量的坐标表示判断两个向量平行与垂直的应用问题,是基础 题目. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. (5 分)函数 y=ln(2x﹣1)的定义域是{x|x> }.
2 2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据负数和 0 没有对数得到 2x﹣1 大于 0,求出不等式的解集即为函数的定义域. 解:由对数函数的定义域可得到:2x﹣1>0,

解得:x> , 则函数的定义域为{x|x> }. 故答案为:{x|x> }. 点评: 本题考查对数函数的定义域的求法,解题时注意负数和 0 没有对数. 12. (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,点(1,﹣2,3)关于原点 O 的对称点的坐标为(﹣ 1,2,﹣3) . 考点: 空间中的点的坐标. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 直接利用中点坐标公式,求出点(1,﹣2,3)关于原点的对称点的坐标即可. 解答: 解:由中点坐标公式可知,点(1,﹣2,3)关于原点的对称点的坐标是: (﹣1,2, ﹣3) . 故答案为: (﹣1,2,﹣3) . 点评: 本题考查对称知识的应用,考查中点坐标公式的应用,考查计算能力. 13. (5 分)某公司生产 A、B、C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为 2:3:4,为了检验 该公司的产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆,那么 n=72. 考点: 专题: 分析: 解答: 则 分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. 解:设样本中 A 型号车 x,则 B 型号为 x+8, ,解得 x=16,

即 A 型号车 16 辆, 则 ,

解得 n=72, 故答案为:72 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基 础. 14. (5 分)已知函数 y=a >0)上,则
1﹣x

(a>0 且 a≠1)的图象恒过点 A.若点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn .

的最小值为 3+2

考点: 基本不等式. 专题: 函数的性质及应用;直线与圆.

分析: 根据题意, 求出点 A 的坐标, 得出 m+n=1 且 m>0, n>0, 利用基本不等式求 最小值即可. 解答: 解:函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象恒过点 A, 0 即 1﹣x=0 时,y=a =1,∴A(1,1) ; 又点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn>0)上, ∴m+n﹣1=0,即 m+n=1; 又∵mn>0,∴m>0,n>0, ∴ =3+ + = + ≥3+2 =3+2 ,即 n= m= . , ﹣1 时“=”成立;
1﹣x



当且仅当 = ∴

的最小值为 3+2

故答案为: . 点评: 本题考查了函数的图象与性质的应用问题,也考查了基本不等式的应用问题,是基 础题目. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. (12 分)编号分别为 A1,A2,A3,…,A12 的 12 名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分 记录如下: 运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12 得分 5 10 12 16 8 21 27 15 6 22 18 29 (1)完成如下的频率分布表: 得分区间 频数频率 [0,10) 3 [10,20) [20,30) 合计 12 1.00 (2)从得分在区间[10,20)内的运动员中随机抽取 2 人,求这 2 人得分之和大于 25 的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频数、频率的定义可直接得到答案; (2)利用列举法写出从区间[10,20)内的 5 名运动员中随机抽取 2 人的所有基本事件,计算 这 2 人得分之和大于 25 的个数,根据古典概型概率公式计算. 解答: (1)解:频率分布表: 得分区间 频数频率 [0,10) 3

[10,20)5 [20,30)4 合计 12 1.00 (2)解:得分在区间[10,20)内的 5 名运动员的编号为:A2,A3,A4,A8,A11, 从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{A2,A3},{A2,A4},{A2,A8}, {A2,A11},{A3,A4},{A3,A8},{A3,A11},{A4,A8},{A4,A11}, {A8,A11},共 10 种. 记“从得分在区间[10,20)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 25” 为事件 B,则 B 包含的所有可能结果有:{A2,A4},{A2,A11},{A3,A4},{A3,A8}, {A3,A11},{A4,A8},{A4,A11},{A8,A11},共 10 种. 所以 P(B)= ,

故从得分在区间[10,20)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 25 的概率为 . 点评: 本题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力. 16. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 已知 (1)求 sinB 的值; (2)求 c 的值. 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: (1)根据余弦函数在(0,π)的符号,结合 cosA= >0,可得 A 是锐角,再由同角 三角函数关系求出 sinA 的值,最后利用正弦定理列式,可得 sinB 的值; 2 2 2 (2)根据余弦定理,列出等式:a =b +c ﹣2bccosA,代入已知数据可得关于边 c 的一元二次 方程,然后解这个一元二次方程,可得 c 的值. 解答: 解: (1)∵△ABC 中,cosA= >0, ∴A 为锐角,sinA= 根据正弦定理,得 ∴ ,…(4 分) = , …(2 分)





…(6 分)
2 2 2

(2)根据余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA, ∴9=4+c ﹣2×2c× ,
2

∴3c ﹣4c﹣15=0…(9 分) 解之得:c=3 或 c=﹣ (舍去) , ∴c=3…(12 分) 点评: 本题在已知三角形两边和其中一边余弦的情况下,求未知的边和角,着重考查了正、 余弦定理及其应用,考查了解三角形的一般方法,属于基础题. 17. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB=5,BC=4,AC=3,点 D 是线段 PB 的中点, 平面 PAC⊥平面 ABC. (1)在线段 AB 上是否存在点 E,使得 DE∥平面 PAC?若存在,指出点 E 的位置,并加以 证明;若不存在,请说明理由; (2)求证:PA⊥BC.

2

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取线段 AB 的中点 E,连结 DE,证明 DE∥PA 即可. (2)根据线面垂直的性质证明 BC⊥平面 PAC 即可. 解答: 证明: (1)在线段 AB 上存在点 E,使得 DE∥平面 PAC,则 E 是线段 AB 的中点. 下面证明 DE∥平面 PAC, 取线段 AB 的中点 E,连结 DE, ∵D 是 PB 的中点, ∴DE 是△ PAB 的中位线, ∴DE∥PA, ∵PA?平面 PAC,DE?平面 PAC, ∴DE∥平面 PAC.…(6 分) (2)证明:∵AB=5,BC=4,AC=3, 2 2 2 ∴AB =BC +AC . ∴AC⊥BC.…(10 分) ∵平面 PAC⊥平面 ABC,且平面 PAC∩平面 ABC=AC,BC?平面 ABC, ∴BC⊥平面 PAC.…(12 分) ∵PA?平面 PAC, ∴PA⊥BC.…(14 分)

点评: 本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识,考查空间想象能力、推理论证 能力和运算求解能力. 18. (14 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3=10,S4=24. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn= ,求证:Tn< .

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 由已知条件利用等差数列通项公式和前 n 项和公式列方程组, 求出首项和公差, 由此能求出 an=2n+1. (2)由 Sn= = =n(n+2) ,利用裂项求和法能证明 Tn< .

解答: (1)解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1+a3=10,S4=24, ∴ ,

解得 a1=3,d=2, ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1. (2)证明:由(1)得 Sn= ∴ = = = = …(12 分) …(10 分) = =n(n+2) ,

.…(14 分) 点评: 本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识,考查运算求解能力和推 理论证能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,解题时要裂项求和法的合理运用. 19. (14 分)已知圆 C 的圆心坐标为(1,2) ,直线 l:x+y﹣1=0 与圆 C 相交于 M、N 两点, |MN|=2. (1)求圆 C 的方程; (2)若 t≠1,过点 A(t,0)作圆 C 的切线,切点为 B,记 d1=|AB|,点 A 到直线 l 的距离为 d2,求 的取值范围.

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)求出圆心到直线的距离,利用|MN|=2,结合勾股定理,求出半径,即可求圆 C 的方程; (2)表示出 ,利用换元法,即可得出结论.

解答: 解: (1)圆心到直线的距离 d= 设半径为 R,则 ∵弦长|MN|=2, ∴R =d +( MN) =2+1=3 ∴圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =3; (2)d1 =(t﹣1) +4﹣3=(t﹣1) +1,d2=
2 2 2 2 2 2 2 2

=



设 t﹣1=x≠0,则 设 =a>0,原式= ﹣a<1

=



﹣a)

由于 0<

所以原式的取值范围为(0, ) . 点评: 本题考查圆的方程,考查距离的计算,考查换元法,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 20. (14 分)已知 ≤a≤1,若函数 f(x)=ax ﹣2x 在[1,3]上的最大值为 M(a) ,最小值为 N (a) ,令 g(a)=M(a)﹣N(a) . (1)求 g(a)的表达式;
2

(2)若关于 a 的方程 g(a)﹣t=0 有解,求实数 t 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 分类讨论;函数思想;方程思想;函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)解析式,讨论 a 的取值范围,求出 f(x)的最值,得出 g(a)的表 达式; (2)先用定义判断函数 g(a)在定义域上的单调性,再求出 g(a)的值域,把方程 g(a) ﹣t=0 有解转化为 t=g(a)有解,求出 t 的取值范围即可. 解答: 解: (1)f(x)=ax ﹣2x=a ∵ ≤a≤1,∴1≤ ≤3; ①当 1≤ ≤2,即 ≤a≤1 时,则 x=3 时,函数 f(x)取得最大值; x= 时,函数 f(x)取得最小值; ∴M(a)=f(3)=9a﹣6,N(a)=f( )=﹣ ; ∴g(a)=M(a)﹣N(a)=9a+ ﹣6;…(3 分) ②当 2< ≤3,即 ≤a≤ 时,则 x=1 时,函数 f(x)取得最大值; x= 时,函数 f(x)取得最小值. ∴M(a)=f(1)=a﹣2,N(a)=f( )=﹣ . ∴g(a)=M(a)﹣N(a)=a+ ﹣2;…(5 分)
2

﹣ ,…(1 分)

综上,得 g(a)=

; …(6 分)

(2)任取 a1,a2∈[ , ) ,且 a1<a2,

g(a1)﹣g(a2)=(a1+

﹣2)﹣(a2+

﹣2)=

;…(7 分)

∵a1a2∈[ , ) ,且 a1<a2, ∴a1﹣a2<0,a1a2>0,a1a2﹣1<0; ∴ ∴g(a1)>g(a2) . >0,即 g(a1)﹣g(a2)>0;

∴函数 g(a)在[ , )上单调递减;…(8 分) 任取 a3,a4∈[ ,1],且 a3<a4,

g(a3)﹣g(a4)=(9a3+ 分)

﹣6)﹣(9a4+

﹣6)=

;…(9

∵a3,a4∈[ ,1],且 a3<a4, ∴a3﹣a4<0,a3a4>0,9a3a4﹣1>0; ∴ ∴g(a3)<g(a4) ; ∴函数 g(a)在[ ,1]上单调递增;…(10 分) 当 a= 时,g(a)取得最小值,其值为 g( )= ,…(11 分) 又 g( )= ,g(1)=4. ∴函数 g(a)的值域为[ ,4]; .…(12 分) ∵关于 a 的方程 g(a)﹣t=0 有解等价于 t=g(a)有解, ∴实数 t 的取值范围为函数 g(a)的值域; …(13 分) ∴实数 t 的取值范围为[ 4,].…(14 分) 点评: 本题考查了函数的图象与性质的应用问题,也考查了函数与方程思想的应用问题, 考查了分类讨论思想的应用问题,是综合性题目. <0,即 g(a3)﹣g(a4)<0;


广东省广州市增城市新塘中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

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