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1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)


1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

稽山中学 骆永明 1

基本初等函数的导数公式

c' ? 0 (sin x) ' ? cos x
x x

( x ) ' ? nx
n

n ?1

(cos

x) ' ? ? sin x
x x

(a ) ' ? a ln a
1 (log a x) ' ? x ln a

(e ) ' ? e

1 (ln x) ' ? x

导数的运算法则 ? ? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)
? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x)? 稽山中学

? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

骆永明 2

【例 1】 求下列函数的导数: (1)y=xe ;
x

(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);

2x 2 (3)y= 2 ;(4)y=xsin x; x ?1 cos x
【思维激活】 (2014高考江西卷)
若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0, 则点P的坐标是 .
稽山中学 骆永明 3

问题
如何求函数

y ? ln( x ? 2) 的导数?

复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如 果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这 个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记 作y=f(g(x)).

稽山中学 骆永明 4

复合函数求导法则 复合函数y ? f ( g ( x))的导数和函数
y ? f (u ), u ? g ( x)的导数间的关系为 y x ' ? yu '?u x '
例1 求下列函数的导数
(2) y ? ln(2 x 2 ? x) (4) y ? 1 ? 2 x
2

1 (1) y ? 4 (1-3 x) (3) y ? x ? 2 x ? 1 (5) y ? e
sin x

(6) y ? sin(2 x ? ) 3 稽山中学

?

骆永明 5

切线问题
例2 已知函数f(x)=x3+x -16.

(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,

求直线l的方程及切点坐标.

稽山中学 骆永明 6

切线问题
例 4 已知函数 f(x) = ax3+lnx 存在垂直于 y 轴

的切线,则实数a的取值范围是

.

1 3 2 例5 已知函数 y ? x ? x ? ax ? b 的图像在 3

点x=0处的切线方程为y=3x-2,求实数a,b

的值.

稽山中学 骆永明 7


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