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平面向量高考经典测试题含答案

时间:2014-02-06


平面向量测试题
1.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及所在平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与△ABC 的关系为( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在 AB 边所在直线上 D. P 在△ABC 的 AC 边的一个三 等分点上 2.已知向量 OP ? (1,1), OP1 ? (4,?4) ,且 P2 点分有向线段 PP 1 所成的比为-2,则 OP2 的坐标是 ( )

5 3 5 3 B.( ,? ) C. (7,-9) D. (9,-7) , ) 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 3.设 i , j 分别是 x 轴, y 轴正方向上的单位向量, OP ? 3 cos?i ? 3 sin?j ,? ? (0, ), OQ ? ?i 。 2 若用?来表示 OP 与 OQ 的夹角,则?等于
A.( ? A. ? B.

(

)

?
2

??

C.

?
2

??

D. ? ? ?

4 . 若 向 量 a=(cos ? ,sin ? ) , b=(cos ? ,sin ? ) , 则 a 与 b 一 定 满 足 ( ) A.a 与 b 的夹角等于?-? B.(a+b)⊥(a-b) C.a∥b D.a⊥b 5.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB ? DC ? 2 DA) ? ( AB ? AC ) ? 0, 则△ABC 的形 状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 6.设非零向量 a 与 b 的方向相反,那么下面给出的命题中,正确的个数是 ( ) (1)a+b=0 (2)a-b 的方向与 a 的方向一致 (3)a+b 的方向与 a 的方向一致 (4)若 a+b 的方向与 b 一致,则|a|<|b| A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知|p|= 2 2 ,|q|=3,p、q 的夹角为 45°,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边形过 a、 b 起点的对角线长为 A.14 8.下列命题中:
3





B. 15

C.15

D.16

① a ∥ b ? 存在唯一的实数 ? ? R , 使得 b ? ? a ; ② e 为单位向量, 且a ∥e , 则 a =±| a |?e ; ③ | a ? a ? a |?| a | ; ④ a 与 b 共 线 , b 与 c 共 线 , 则 a 与 c 共 线 ; ⑤ 若

a ? b ? b ? c则b ? c,当且仅当a ? 0时成立
其中正确命题的序号是 A.①⑤ B.②③④ ( ) C.±4 C.②③ D.①④⑤ ( ( ) )

9.在△ABC 中,已知 | AB |? 4, | AC |? 1, S ?ABC ? A.-2 B.2

3, 则 AB ? AC 的值为
D.±2

10.已知,A(2,3) ,B(-4,5) ,则与 AB 共线的单位向量是

3 10 10 3 10 10 3 10 10 , )或( ,? ) C . e ? (?6,2) , ) B . e ? (? 10 10 10 10 10 10 D. e ? (?6,2)或(6,2) 3 11.设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为 ,则点 P1 分 P2 P 所成的比为 4 3 7 7 4 A. ? B. ? C. ? D. ? 7 4 3 7 12.已知 a ? (1,2), b ? (?3,2), k a ? b与a ? 3b 垂直时 k 值为
A .

e ? (?









A.17

B.18

C.19

D.20 .

13.已知向量 a, b 的夹角为

? , | a |? 2, | b |? 1, 则 | a ? b | ? | a ? b |? 3
?
3

14.把一个函数图像按向量 a ? ( ,?2) 平移后,得到的图象的表达式为 y ? sin(x ? 则原函数的解析式为
? ?

?
6

)?2,

15. 已知| a |= 5 ,| b |=5, | c |=2 5 ,且 a ? b ? c ? 0 ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a =_______ 16.已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y =-4x 运动,则使 AP ? BP 取得最小值的点 P 的 坐标是
2

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

17 . 设 向 量 OA ? (3,1), OB ? (?1,2) , 向 量 OC 垂 直 于 向 量 OB , 向 量 BC

平 行 于 OA , 则

OD ? OA ? OC时, OD 的坐标为_________
18.已知 M=(1+cos2x,1),N=(1, 3 sin2x+a)(x,a∈R,a 是常数),且 y= OM ? ON (O 是坐 标原点) ⑴求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x); ⑵若 x∈[0,

? ? ],f(x)的最大值为 4,求 a 的值,并说明此时 f(x)的图象可由 y=2sin(x+ )的图象 2 6

经过怎样的变换而得到.(8 分) 19.已知 A(-1,0) ,B(1,0)两点,C 点在直线 2x ? 3 ? 0 上,且 AC ? AB, CA ? CB , BA ? BC 成 等差数列, 记θ 为 CA与CB 的夹角,求 tanθ .(8 分) 20.已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ (8 分) 2

21.已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2 3 ⑴ a ? b及 | a ? b | ;⑵若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? , 求?的值; (8 分) 2

参考答案 1.D 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.C 12.C 13. 21 14. y ? cos x 15.-25 16.(0,0)

17.解:设 OC ? ( x, y ),? OC ? OB ,∴ OC ? OB ? 0 ,∴ 2 y ? x ? 0 ① 又? BC // OA, BC ? ( x ? 1, y ? 2)

????

????

??? ?

???? ??? ?

3( y ? 2) ? ( x ? 1) ? 0

即: 3 y ? x ? 7 ②

???? ???? ???? ??? ? x ? 14, 联立①、②得 ? ∴ OC ? (14, 7), 于是 OD ? OC ? OA ? (11, 6) . ? ?y ? 7
18.解:⑴y= OM ? ON =1+cos2x+ 3 sin2x+a,得 f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a; ⑵f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a 化简得 f(x) =2sin(2x+

? ? )+a+1,x∈[0, ]。 6 2

? ? 时,f(x)取最大值 a+3=4,解得 a=1,f(x) =2sin(2x+ )+2。 6 6 ? 将 y=2sin(x+ )的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再向上平移 2 6 ? 个单位长度可得 f(x) =2sin(2x+ )+2 的图象。 6
当 x= 19.解:设 c( , y), 则 AC ? AB ? 5

3 2

? CA ? CB ? y 2 ?

5 4

BA ? BC ? ?1

又∵三者 AC ? AB, CA ? CB , BA ? BC 成等差数列.
5 3 3 ? ? 2 y 2 ? 4,? y 2 ? ,? y ? ? 2 4 2 3 3 ? c ( ,? ) 2 2

3 3 5 3 1 3 当 c( , )时, CA ? (? ,? ), CB ? (? ,? ) 2 2 2 2 2 2

cos? ?

2 7

,? 0? ? ? ? 90? ,? tan? ?

3 2

同理 c( 3 ,? 3 )时, tan? ? 3 2 2 2

2 2 2 2 20.解:⑴设 c ? ( x, y ),?| c | ? 2 5 ,? x ? y ? 2 5 ,? x ? y ? 20

? c // a, a ? (1,2),? 2 x ? y ? 0,? y ? 2 x
由?

? y ? 2x
2 2 ? x ? y ? 20

∴?

?x ? 2 ?y ? 4

或 ?

? x ? ?2 ? y ? ?4

∴ c ? (2,4), 或c ? (?2,?4) ⑵? (a ? 2b) ? (2a ? b),? (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0 ……(※)

2

2

?| a | 2 ? 5, | b | 2 ? (

5 2 5 ) ? , 代入(※)中, 2 4

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2
? 5 2 ? ?1,

?| a |? 5 , | b |?

5 a ?b ,? cos? ? ? 2 | a |?|b|

5 5? 2

?? ? [0, ? ] ?? ? ?
21.解:⑴ a ? b ? cos

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2

3 3 3 x | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos2 x 2 2 2 2

? x ? [0, ],? cos x ? 0,? | a ? b |? 2 cos x 2
⑵ f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x,即f ( x) ? 2(cos x ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2
? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2

?

?

①当 ? ? 0 时,当县仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得
2

3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得? ? ; 2 2

③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得1 ? 4? ? ? 3
2

解得 ? ?

5 1 ,这与 ? ? 1 相矛盾,综上所述, ? ? 为所求. 8 2


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