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二元一次不等式(组)与简单的线性规划知识点和典型题


二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一 侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系 中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画 成实线. (

2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所 得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0 +C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示的直线是 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 3.应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. (2)不等式 x2-y2<0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成 的含有 y 轴的两块区域. ( √ ) 意义 由变量 x,y 组成的一次不等式 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3x-y-6<0, ? ? 1.不等式组?x-y+2>0, ? ?x≥0,y≥0

表示的平面区域是下图中的阴影部分.

( ×

)

2.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的是 A.(0,0) 答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选 C. x-y≥-1, ? ? 3.若实数 x,y 满足不等式组?x+y≥1, ? ?3x-y≤3, A.3 答案 C 解析 因为直线 x-y=-1 与 x+y=1 互相垂直, 所以如图所示的可行域为直角三角形,易得 A(0,1),B(1,0),C(2,3), 1 故|AB|= 2,|AC|=2 2,其面积为 ×|AB|×|AC|=2. 2 y≤2x, ? ? 4.(2013· 湖南)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, 5 A.- 2 答案 C 解析 画出可行域如图. B.0 5 C. 3 5 D. 2 B. 5 2 C.2 D.2 2 B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3)

(

)

则该约束条件所围成的平面区域的面积是(

)

则 x+2y 的最大值是(

)

1 2? 1 1 1 z 5 设 z=x+2y,平行移动直线 y=- x+ z,当直线 y=- x+ 过点 M? ?3,3?时,z 取最大值3, 2 2 2 2 5 所以(x+2y)max= . 3 x+y-2≥0, ? ? 5.(2013· 浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. =________. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示:

x-4y≤-3 ? ? 例 2 设 x,y 满足约束条件:?3x+5y≤25 ? ?x≥1

,求 z=x+y 的最大值与最小值.

思维启迪 作可行域后,通过平移直线 l0:x+y=0 来寻找最优解,求出目标函数的最值. 若 z 的最大值为 12,则实数 k 解 先作可行域,如图所示中△ABC 的区域,且求得 A(5,2)、

22 B(1,1)、C(1, ),作出直线 l0:x+y=0,再将直线 l0 平移,当 5 l0 的平行线 l1 过点 B 时,可使 z=x+y 达到最小值;当 l0 的平 行线 l2 过点 A 时,可使 z=x+y 达到最大值.故 zmin=2,zmax=7. 思维升华 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得.

1 由图可知当 0≤-k< 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k 2 1 =2(舍去);当-k≥ 时,直线 y=-kx+z 经过点(0,2)时 z 最大,此时 z 的最大值为 2,不合 2 题意;当-k<0 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k=2,符 合题意.综上可知,k=2. 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 练习:如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 三个顶点的坐 标分别为 A(0,1),B(-2,2), C(2,6),试写出△ABC 及其内部区域所对应的二元一次不等式组. 解 由已知得直线 AB、BC、CA 的方程分别为直线 AB:x+2y-2 =0,直线 BC:x-y+4=0,直线 CA:5x-2y+2=0, ∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不等式 x-y+4≥0 ? ? 组为?x+2y-2≥0 ? ?5x-2y+2≤0

(2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,明确和直线的纵 截距的关系.

(1)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D

?0≤x≤ 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y

2, 给定.若

→ → M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· OA的最大值为 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

(

)

x≥1, ? ? (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知 a>0, x, y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 则 a 等于 1 A. 4 1 B. 2 (1)B (2)B C.1 D.2

若 z=2x+y 的最小值为 1,

(

)

.

答案

题型二 求线性目标函数的最值

解析

?0≤x≤ (1)由线性约束条件?y≤2, ?x≤ 2y

2,

→ → 画出可行域如图阴影部分所示,目标函数 z=OM· OA= 2x+y,将其化为 y=- 2x+z,结合 图形可知,目标函数的图象过点( 2,2)时, 、z 最大,将点( 2,2)的坐标代入 z= 2x+y 得 z 的最大值为 4. (2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分). 易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值,
?x=1, ?x=1, ? ? 1 由? 得? ∴zmin=2-2a=1,解得 a= ,故选 B. 2 ? ? y = a ? x - 3 ? , y =- 2 a , ? ?

思维升华 常见代数式的几何意义有 (1) x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离; y (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; x y-b (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a x≥1, ? ? 设不等式组?x-2y+3≥0, ? ?y≥x,

题型四 求非线性目标函数的最值 x-y-2≤0, ? ? 例 4 (1)设实数 x,y 满足?x+2y-4≥0, ? ?2y-3≤0, y 则 的最大值为________. x

所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 是与 Ω1 关于

直线 3x-4y-9=0 对称的区域,对于 Ω1 中的任意一点 A 与 Ω2 中的任意一点 B,|AB|的最小 值等于 → 上的一个动点, 则|OA 28 A. 5 答案 B 解析 由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域 Ω1 中的点到直 线 3x-4y-9=0 的距离的最小值的两倍, 画出已知不等式表示的 平面区域,如图所示, 可看出点(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离最小,故|AB|的最小值 |3×1-4×1-9| 为 2× =4,选 B. 5 方法与技巧 1.平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线). 2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式: a z z y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值.最优解在顶点或边界取得. b b b 3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出 线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题. 失误与防范 B.4 12 C. 5 D.2 ( )

x+y≥2, ? ? (2)已知 O 是坐标原点, 点 A(1,0), 若点 M(x, y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2, → +OM|的最小值是________. 思维启迪

与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解

一般要结合给定代数式的几何意义来完成. 答案 解析 3 (1) 2 3 2 (2) 2

y 3 (1) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,在点(1, )处取到最大值. x 2

→ → → → (2)依题意得,OA+OM=(x+1,y),|OA+OM|= ?x+1?2+y2可视为点 (x,y)与点(-1,0)间的距离,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的 平面区域,结合图形可知,在该平面区域内的点中,由点(-1,0)向直线 → → x+y=2 引垂线的垂足位于该平面区域内,且与点(-1,0)的距离最小,因此|OA+OM|的最 |-1+0-2| 3 2 小值是 = . 2 2

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. z z 2.在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z b b z z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小值; b b z 截距 取最小值时,z 取最大值. b A 组 专项基础训练 一、选择题 y≤x+1 ? ? 1.在直角坐标平面内,不等式组?y≥0 ? ?0≤x≤t A.- 3或 3 答案 C y≤x+1 ? ? 解析 不等式组?y≥0 ? ?0≤x≤t B.-3 或 1 3 所表示的平面区域的面积为 ,则 t 的值为( 2 C.1 D. 3

的公共点有 1 个. 3x+y-6≥0, ? ? 3.(2013· 天津)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ? ?y-3≤0,

则目标函数 z=y-2x 的最小值为

( A.-7 答案 A 解析 可行域如图阴影部分(含边界) 令 z=0,得直线 l0:y-2x=0,平移直线 l0 知,当直线 l 过 A 点时, )
? ?y=3, z 取得最小值.由? 得 A(5,3).∴zmin=3-2×5=-7,选 A. ? ?x-y-2=0

)

B.-4

C.1

D.2

4.O 为坐标原点, 点 M 的坐标为 (1,1) , 若点 N(x , y) 的坐标满 足 x +y ≤4, ? ? ?2x-y≥0, ? ?y≥0, A. 2 答案 B → → 解析 如图,点 N 在图中阴影区域内,当 O、M、N 共线时,OM· ON最大,此时 N( 2, 2), → → OM· ON=(1,1)· ( 2, 2)=2 2,故选 B. 2x-y-2≥0, ? ? 5.(2013· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 ?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 动点,则直线 OM 斜率的最小值为 ( A.2 答案 C B.1 ) 1 C.- 3 1 D.- 2
2 2

→ → 则OM· ON的最大值为 (

)

所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

B.2 2

C. 3

D.2 3

?y=x+1 ? 由? 解得交点 B(t,t+1),在 y=x+1 中,令 x=0 得 y=1, ? ?x=t

?1+t+1?×t 3 即直线 y=x+1 与 y 轴的交点为 C(0,1),由平面区域的面积 S= = ,得 t2+2t-3 2 2 =0,解得 t=1 或 t=-3(不合题意,舍去),故选 C. x≥0, ? ?y≥0, 2.直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20 A.0 个 答案 B 解析 在坐标平面内画出直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域,易知直线与此区域 B.1 个 C.2 个

所表示的区域上 一

表示的平面区域的公共点有

(

)

D.无数个

解析 画出图形,数形结合得出答案. 2x-y-2≥0, ? ? 如图所示,?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0

所表示的平面区域为图中的阴影部分.

7x-5y-23≤0 ? ? 10.已知 x,y 满足条件?x+7y-11≤0 ? ?4x+y+10≥0 7x-5y-23≤0 ? ? 解 不等式组?x+7y-11≤0 ? ?4x+y+10≥0

,求 4x-3y 的最大值和最小值.

? ?x+2y-1=0, 1 由? 得 A(3,-1).当 M 点与 A 重合时,OM 的斜率最小,kOM=- . 3 ? ?3x+y-8=0,

表示的区域如图所示.

二、填空题 y≤x, ? ? 6.已知 z=2x-y,式中变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x≤2, 答案 5 解析 在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线 2x -y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,-1)时, 相应直线在 x 轴上的截距最大,此时 z=2x-y 取得最大值,最大值 是 z=2×2-(-1)=5. x+y≥0 ? ? 7.设 z=2x+y, x,y 满足?x-y≤0 ? ?0≤y≤k 答案 2 -2 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x +y=6,结合图形分析可知,要使 z=2x+y 的最大值是 6,直线 y=k 必过直线 2x+y=6 与 x-y=0 的交点,即必过点(2,2),于是有 k=2; 平移直线 2x+y=6,当平移到经过该平面区域内的点(-2,2)时,相应 直线在 y 轴上的截距达到最小,此时 z=2x+y 取得最小值,最小值是 z=2×(-2)+2=-2. 三、解答题 可观察出 4x-3y 在 A 点取到最大值,在 B 点取到最小值.
? ? ?7x-5y-23=0 ?x=-1 解方程组? ,得? ,则 A(-1,-6). ?4x+y+10=0 ?y=-6 ? ? ?x+7y-11=0 ?x=-3 ? ? 解方程组? ,得? .则 B(-3,2), ? ? ?4x+y+10=0 ?y=2

则 z 的最大值为________.

,若 z 的最大值为 6,则 k 的值为_____,z 的最小值为___.

因此 4x-3y 的最大值和最小值分别为 14,-18. B 组 专项能力提升 1.(2012· 课标全国)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在 △ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) 答案 A 解析 如图,根据题意得 C(1+ 3,2). 作直线-x+y=0,并向左上或右下平移,过点 B(1,3)和 C(1+ 3,2)时,z=-x+y 取范围的边界值,即-(1+ 3) +2<z<-1+3,∴z=-x+y 的取值范围是(1- 3,2). B.(0,2) D.(0,1+ 3) ( )

x+2y-3≤0, ? ? 3.已知变量 x, y 满足条件?x+3y-3≥0, ? ?y-1≤0, 大值,则 a 的取值范围是__________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞?

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最

解析 画出 x、y 满足条件的可行域如图所示,要使目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取得最大 1 1 值,则直线 y=-ax+z 的斜率应小于直线 x+2y-3=0 的斜率,即-a<- ,∴a> . 2 2 x≥0, ? ? 4.当 x,y 满足约束条件?y≤x, ? ?2x+y+k≤0, k 的值. 解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图). 1 1 当直线 y=- x+ z 经过区域中的点 A 时,截距最大. 3 3
?y=x ? k k k 由? 得 x=y=- .∴点 A 的坐标为(- ,- ). 3 3 3 ?2x+y+k=0, ?

(k 为负常数)时,能使 z=x+3y 的最大值为 12,试求

k k 4 4k 则 z 的最大值为- +3(- )=- k,令- =12,得 k=-9.∴所求实数 k 的值为-9. 3 3 3 3


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