nbhkdz.com冰点文库

高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型精讲精析 新人教A版必修1

时间:2016-01-12


课题:3.2.1 几类不同增长的函数模型 精讲部分
学习目标展示 1.熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 2.应用数学理论解决实际问题 衔接性知识 我们学习了哪几种初等函数?请画出它们的图象 基础知识工具箱 项目 直线模型 定义 可以用直线模型表示 能用指数函数表示的函数模型. 指数 函数增长的特点是随着自变量的增大, 函数值增大的速度越来越快(底数 a> 1) ,常形

象地称为“指数爆炸” 能用对数函数表达的函数模型叫对数 函数模型. 对数增长的特点是随着自 变量的增大(底数 a>1) ,函数值增大 的速度越来越慢 能用幂函数表达的函数模型,叫做幂函 数模型 符号

f ( x) ? kx ? b (k ? 0)

常 见 函 数 模 型

指数函数模型

f ( x) ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1)

对数函数模型

f ( x) ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1)

幂函数模型

f ( x) ? x? (? 为常数 )

(1) 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较

性质

函数

y ? ax (a ? 1)

y ? log a x (a ? 1)

y ? xn (n ? 0)

在 (0 , ? ?) 上的增减性 增长的速度

增函数 先慢后快

增函数 先快后慢

增函数 相对平稳

随着 x 的增大, 图象的变化 图象上升的速度逐渐

随着 x 的 增大, 图象上升 的速度逐渐变 随着 n 值的不 同而不同

变快 慢

(2) 指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较

1

性质

函数

y ? ax (0 ? a ? 1)
减函数 先快后慢

y ? log a x (0 ? a ? 1)

y ? xn (n ? 0)

在 (0 , ? ?) 上的增减性 衰减的速度

减函数 先慢后快

减函数 相对平稳 随着 n 值的不 同而不同

随着 x 的增 图象的变化 大,图象下降的速 度逐渐变慢

随着 x 的增 大, 图象下降的速 度逐渐变

典例精讲剖析 例 1.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家电商场均有销售. 甲 商场用如下的方法促销,买一台单价为 780 元,买二台单价为 760 元,依次类推,每多买一 台单价均减少 20 元,但每台最低不低于 440 元;乙商场一律按原价的 75%销售,某单位需 购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费最小. 【解析】设单位购买 x 台影碟机,在甲商场购买,每台的单价为 800 – 20x,则总费 用

?800 x ? 20 x 2 , (1 ? x ? 18) y?? ,在乙商场购买,费用 y = 600x. ( x ? 18) ?440 x,
(1)当 0<x<10 时,(800x – 20x )>600x ∴购买影碟机低于 10 台,在乙商场购买. 2 (2)当 x = 10 时,(800x – 20x ) = 600x ∴购买 10 台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样. 2 (3)当 10<x≤18 时,(800x – 20x )<600x ∴购买影碟机多于 10 台且不多于 18 台,在甲商场购买. (4)当 x≥18 时,600x>440x ∴购买影碟机多于 18 台,在甲商场购买. 答: 若购买小于 10 台, 去乙商场购买; 若购买 10 台, 在甲商场或在乙商场费用一样多; 若购买多于 10 台,在甲商场购买. 例 2.为了尽快改善职工住房困难,鼓励个人购房和积累建房基金,决定住房的职工必 须按基本工资的高低交纳建房积金,办法如下: 每月工资 1000 元以下 1000 元至 2000 元 2000 元至 3000 元 公积金 不交纳 交纳超过 1000 元部分的 5% 1000 元至 2000 元部分交纳 5%, 超过 2000 元部分交纳 10%
2

2

3000 元以上

1000 元至 2000 元部分交 5%,2000 元至 3000 元交 10%,3000 元以上部分交 15%

【解析】设职工每月工资为 x 元,交纳公积金后实得数为 y 元,则 当 0<x<1000 时,y=x; 当 1000≤x<2000 时, y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50; 当 2000≤x<3000 时, y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%)=0.9x+150; 当 x≥3000 时, y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+(x-3000)(1-15%)=0.85x+300. 因此 y 与 x 的关系可用分段函数表示如下

例 3.(1)某种储蓄的月利率是 0.36%,今存入本金 100 元,求本金与利息的和(即本息 和)y(元)与所存月数 x 之间的函数关系式,并计算 5 个月后的本息和(不计复利). (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x,写 出本利和 y 随存期 x 变化的函数式.如果存入本金 1 000 元,每期利率 2.25%,试计算 5 期 后的本利和是多少? 【解析】(1)利息=本金×月利率×月数. y=100+100×0.36%·x=100+0.36x, 当 x=5 时, y=101.8, ∴5 个月后的本息和为 101.8 元. 5.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使 用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月(30 天)的通话时间 x(分) ,与通话费 y(元) 的关系如图所示.

便民卡

如意卡

(1)分别求出通话费 y1, y2 与通话时间 x 之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】 (1)由图象可设 y1 = k1x +29,y2 = k2x,把点 B (30, 35),C (30, 15)分别代 入 y1,y2 得 k1 ? , k2 ?
1 5 1 5 1 . 2 1 2

∴ y1 ? x ? 29, y2 ? x . (2)令 y1 = y2,即 x ? 29 ?
1 5
2 1 x ,则 x ? 96 . 3 2
3

2 当 x = 96 时,y1 = y2,两种卡收费一致; 3 2 当 x<96 时,y1>y2,即如意卡便宜; 3 2 当 x>96 时,y1<y2,即便民卡便宜. 3

6.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数 n 是羊毛衫标价 x 的一次函数,标价越高,购买 人数越少.已知标价为每件 300 元时,购买人数为零.标价为每件 225 元时,购买人数为 75 人, 若这种羊毛衫的成本价是 100 元/件, 商场以高于成本价的相同价格(标价)出售, 问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下, 获取最大利润只是一种 “理想结果” , 如果商场要获得最大利润的 75%, 那么羊毛衫的标价为每件多少元? [解析] (1)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元,则 n=kx+

b(k<0),
? ?0=300k+b ∴? ?75=225k+b ?

,∴?

? ?k=-1 ?b=300 ?

,∴n=-x+300.

y=-(x-300)·(x-100)=-(x-200)2+10000,x∈(100,300]
∴x=200 时,ymax=10000 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (2)由题意得,-(x-300)·(x-100)=10000×75% ∴x -400x+30000=-7500,∴x -400x+37500=0, ∴(x-250)(x-150)=0,∴x1=250,x2=150 所以当商场以每件 150 元或 250 元出售时,可获得最大利润的 75%. B 类试题(尖子班用) 1.某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件 40 元,当售价为 50 元时, 一个月能卖出 500 件.通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高 1 元,则商品一个月的 销售量会减少 10 件.商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为( A.45 元 [答案] D [解析] 设每件商品定价为 x 元,则一个月的销量为 500-(x-50)×10=1000-10x 件, 故月利润为 y=(x-40)·(1000-10x)=-10(x-40)(x-100), B.55 元 C.65 元 D.70 元 )
2 2

4

?x>40 ? ∵? ?1000-10x>0 ?

,∴40<x<100,

∴当 x=70 时,y 取最大值,故选 D. 2.某厂原来月产量为 a,一月份增产 10%,二月份比一月份减产 10%,设二月份产量为 b, 则( ) A.a=b [答案] B [解析] 一月份产量为 a(1+10%),二月份产量 b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-1%), ∴b<a,故选 B. 3.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示,则下列说法正确的是 ( ) B.a>b C.a<b D.a、b 的大小无法确定

A.甲比乙先出发 [答案] D

B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点

[解析] 从图可以看出,甲、乙两人同时出发(t=0),跑相同多的路程(S0),甲用时(t1)比 乙用时(t2)较短,即甲比乙的速度快,甲先到达终点. 4.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 OA=1m,水从喷头 A 喷出后呈抛物线状,先向 上至最高点落下,若最高点距水面 2m,A 离抛物线对称轴 1m,则在水池半径的下列可选值 中,最合算的是( )

A.3.5m [答案] C

B.3m

C.2.5m

D.2m

[解析] 建立如图坐标系,据题设 y 轴右侧的抛物线方程为 y=a(x-1) +2.

2

∵抛物线过点 A(0,1) ∴将(0,1)点代入方程得 a=-1,∴y=-(x-1) +2.
5
2

令 y=0,得 x=1+ 2,x=1- 2(舍),故落在水面上的最远点 B 到 O 点距离为(1+ 2)m,考虑合算,须达到要求条件下用料最少,∴选 C. 5.英语老师准备存款 5000 元.银行的定期存款中存期为 1 年的年利率 1.98%.试计算五年 后本金和利息共有________元. [答案] 5514.99 [解析] 根据题意,五年后的本息共 5000(1+1.98%) =5514.99(元). 6.设物体在 8∶00 到 16∶00 之间的温度 T 是时间 t 的函数:T(t)=at +bt+c(a≠0),其 中温度的单位是°C,时间的单位是小时,t=0 表示 12∶00,t 取正值表示 12∶00 以后, 若测得该物体在 8∶00 的温度为 8°C,12∶00 的温度为 60°C,13∶00 的温度为 58°C,则
2 5

T(t)=________.
[答案] -3t +t+60 [解析] 将 t=-4,T=8;t=0,T=60;t=1,T=58 分别代入函数表达式中即可解出 a =-3,b=1,c=60. 7.等腰三角形周长为 20,则底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式是 [解析] ∵2x+y=20,∴y=20-2x 0<x<20 ? ? 由?20-2x>0 ? ?x+x>20-2x 得:5<x<10,故 y=20-2x (5<x<10)
2

8.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的 “便民卡”与“如意卡”在某市范围每月(30 天)的通话时间 x(分) ,与通话费 y(元)的 关系如图所示.

便民卡

如意卡

(1)分别求出通话费 y1, y2 与通话时间 x 之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】 (1)由图象可设 y1 = k1x +29,y2 = k2x,把点 B (30, 35),C (30, 15)分别代 入 y1,y2 得 k1 ? , k2 ?
1 5 1 5 1 . 2 1 2

∴ y1 ? x ? 29, y2 ? x . (2)令 y1 = y2,即 x ? 29 ?
1 5
2 1 x ,则 x ? 96 . 3 2

6

2 当 x = 96 时,y1 = y2,两种卡收费一致; 3 2 当 x<96 时,y1>y2,即如意卡便宜; 3 2 当 x>96 时,y1<y2,即便民卡便宜. 3 9.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数 n 是羊毛衫标价 x 的一次函数,标价越高,购买人

数越少.已知标价为每件 300 元时,购买人数为零.标价为每件 225 元时,购买人数为 75 人,若这种羊毛衫的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售,问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下, 获取最大利润只是一种 “理想结果” , 如果商场要获得最大利润的 75%, 那么羊毛衫的标价为每件多少元? [解析] (1)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元,则 n=kx+

b(k<0),
? ?0=300k+b ∴? ? ?75=225k+b

,∴?

? ?k=-1 ? ?b=300

,∴n=-x+300.

y=-(x-300)·(x-100)=-(x-200)2+10000,x∈(100,300]
∴x=200 时,ymax=10000 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (2)由题意得,-(x-300)·(x-100)=10000×75% ∴x -400x+30000=-7500,∴x -400x+37500=0, ∴(x-250)(x-150)=0,∴x1=250,x2=150 所以当商场以每件 150 元或 250 元出售时,可获得最大利润的 75%. 10.学校请了 30 名木工,要制作 200 把椅子和 100 张课桌.已知制作一张课桌与制作 一把椅子的工时数之比为 10∶7,问 30 名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子), 能使完成全部任务最快? [分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间, 只要它最小, 即完成 任务最快. [解析] 设 x 名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制 7 张课桌或 10 把椅子, 100 ∴制作 100 张课桌所需时间为函数 P(x)= , 7x 200 制作 200 把椅子所需时间为函数 Q(x)= , 10(30-x)
2 2

7

完成全部任务所需的时间 f(x)为 P(x)与 Q(x)中的较大值. 欲使完成任务最快,须使 P(x)与 Q(x)尽可能接近(或相等). 100 200 令 P(x)=Q(x),即 = , 7x 10(30-x) 解得 x=12.5,∵人数 x∈N,考察 x=12 和 13 的情形有 P(12)≈1.19,Q(12)≈1.111,

P(13)≈1.099,Q(13)≈1.176,∴f(12)=1.19,f(13)=1.176,
∵f(12)>f(13),∴x=13 时,f(x)取最小值,∴用 13 名工人制作课桌,17 名工人制作 椅子完成任务最快. [点评] 本题有几点需特别注意,人数 x 必须是自然数,故 P(x)与 Q(x)不相等,f(x) 是 P(x)与 Q(x)中的较大者,完成任务最快的时间是 f(x)的最小值.

8