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高二立体几何家教


第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的,无大小,无厚薄。 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 450,且 横边画成邻边的 2 倍长 (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用 表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对

的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平 面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A?l ? ? B?l ? 符号表示为 ?? l?? A?? ? B ?? ? ?

公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α ,使 A∈α 、B ∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 补充 3 个推论: 推论 1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过 该点的公共直线。 符号表示为: p ? ? ? ? ? ? ? ? ? l , 且 p ? l 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线,
a // b ? ? ? a // c c // b ?

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成 的锐角(或直角)相等. 4 异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此 点的直线是异面直线 符号表示: A ? ? , B ? ? , l ? ? , B ? l ? 直 线 A B 与 直 线 l 异 面 。 5 注意点: ① 异面直线 a1与 b1 所成的角的大小只由它们的相互位置来确定,与选择的位置 无关,为简便一 般取在两直线中的一条上;
0 ② 两条异面直线所成的角: ? ? ? 0 , 9 0 ] 0

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记 作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 特别指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a ? ? 来表 示

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面 平行。简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:
a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行。

a?? b??

符号表示 :

a?b ? a // ? b // ?

? ? ? ? A ? ? ? // ? ? ? ? ?

简记为:线线平行,则面面平行。

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理;

? (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行。 符号表示为: ? a , ? ? a ? ? // ?
2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。 简记为:线面平行,则线线平行。符号表示:
? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ? a // ?

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示:
? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ,简记为:面面平行,则线线平行 ? ? ? ? b? ?

? // ?

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 3、两个平面平行具有如下的一些性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行 ⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直,记作 l ? ? , 直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面。直线与平面垂直 时,它们唯一公共点 P,点 P 叫做垂足。 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直。 符号表示: l ? a , l ? b, a ? ? , b ? ? , a ? b ? A ? l ? ? , 简记为:线线 垂直,则线面垂直。

注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化 的数学思想。 3、补充性质: a // b , a ? ? ? b ? ?
4、直线与平面所成的角的范围为: [0 , 9 0 ]
0 0

2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β ,平面之间二面角范围是 [0 0 ,180 0 ] 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平 面垂直。 符号表示: l ? ? , l ? ? , ? ? ? ? ,简记为:线面垂直,则面面垂直。 4、线面角的求法,在直线上任找一点作平面的垂线,则直线和射影所成的角就 是了。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示: β

a ? ? ,b ? ? ,? a ? b
补充性质: (1) a ? ? , b // ? ? a ? b , (2) a ? ? , b // a ? b ? ? ,

(3) a ? ? , a ? ? , ? ? // ? , (4) a ? ? , ? // ? , ? a ? ?
2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂 直。 符号表示: a ? ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? l , ? a ? ? ,面面垂直,则线面垂直。
1 (06 广州市高一质量抽测) 如右图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:B1D1⊥平面 CAA1C1

D1 A1 B1

C1

E A

D F B

C

例 2.如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (Ⅰ)求证: B C ? A1 D ; (Ⅱ)求证:平面 A1 B C ? 平面 A1 B D ; ( Ⅲ ) 求 三 棱 锥 A1 ? B C D 的 体 积 ( 答 案 :
V A1 ? B C D ? 4 8 )

3、计算题。包括空间角(异面直线所成的角,线面角,二面角)和 1.如图,正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,棱长为 a (1)求证:直线 A1 B // 平面 ACD (2)求证:平面 ACD
1

1

? 平面 BD 1 D ;

2. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1) 求证:AC⊥平面 B1D1DB; (2) 求证:BD1⊥平面 ACB1 (3) 求三棱锥 B-ACB1 体积. A

D B

C

D1 C1 A1 B1

3.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。 求证: (1)PA∥平面 BDE ; (2)BD ? 平面 PAC

1、已知四边形 A B C D 是空间四边形, E , F , G , H 分别是边 A B , B C , C D , D A 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 证明:在 ? A B D 中,∵ E , H 分别是 A B , A D 的中点∴ E H // B D , E H ? 同理, F G // B D , F G ? (2) 90° 30 °
1 2 1 2 B D ∴ E H // F G , E H ? F G ∴四边形 E F G H 是平行四边形。 BD

A

E B F A
1

H D G C D1

考点:线面平行的判定 3、如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, E 是 A A1 的中点, 求证: A1 C // 平面 B D E 。 证明:连接 A C 交 B D 于 O ,连接 E O , ∵ E 为 A A1 的中点, O 为 A C 的中点 ∴ E O 为三角形 A1 A C 的中位线 ∴ E O // A1C 又 E O 在平面 B D E 内, A1C 在平面 B D E 外 B ∴ A1 C // 平面 B D E 。 B1

C E
1

A

D

C

5、已知正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 , O 是底 A B C D 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 A B1 D 1 ;(2) A1C ? 面 A B1 D 1 . 证明: (1)连结 A1 C 1 ,设
A1C 1 ? B1 D1 ? O1
A1

D1 B1

C1

,连结 A O 1
D O A B C

∵ A B C D ? A1 B1C 1 D 1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 A1C 1 ? A C

? A1 A C C 1 是平行四边形

又 O 1 , O 分别是 A1C 1 , A C 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C 1 ? A O
? A O C 1O1 是平行四边形 ? C 1O∥ A O1 , A O1 ? 面 A B1 D 1 , C 1 O ? 面 A B1 D 1

∴C1O∥面 A B1 D 1

(2)? C C 1 ? 面 A1 B1C 1 D 1 又
∵ A1C 1 ? B1 D 1

? C C1 ?

B D 1 ! 即 A1 C ? B D 1 1

, ? B1 D1 ? 面 A1 C 1 C

同理可证

A1C ? A D 1

, 又

D 1 B1 ? A D 1 ? D 1

? A1 C ? 面 A B1 D 1

考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定 A1 7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. A E

D1 B1

C1 F

D

G B

C

从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平 面 EB1D1∥平面 FBD. 考点:线面平行的判定(利用平行四边形) 10、如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, E 、 F 、 G 分别是 A B 、 A D 、 C 1 D 1 的中点. 求证:平面 D 1 E F ∥平面 B D G . 证明:∵ E 、 F 分别是 A B 、 A D 的中点,? E F ∥ B D 又 E F ? 平面 B D G , B D ? 平面 B D G ? E F ∥平面 B D G ∵ D 1G
E B ? 四边形 D1G B E 为平行四边形, D 1 E ∥ G B

又 D1 E ? 平面 B D G , G B ? 平面 B D G ? D 1 E ∥平面 B D G
E F ? D1 E ? E

,? 平面 D 1 E F ∥平面 B D G
S

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) 4、已知 ? A B C 中 ? A C B ? 9 0 , S A ? 面 A B C , A D ? SC ,求证: A D ? 面
SB C . 证明:∵ ? A C B ? 90 °
D
?

? BC ? AC
? S A? BC
A

又 SA ? 面 ABC
? B C ? 面 SA C ? BC ? AD

B C

又 SC ? A D , SC ? B C ? C ? A D ? 面 SB C 考点:线面垂直,面面垂直的判定 正方体 A B C D ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) A C ? 平 面 B ' D ' D B ; (2) B D ' ? 平 面 A C B ' .

考点:线面垂直的判定 8、四面体 A B C D 中, A C ? B D , E , F 分别为 A D , B C 的中点, 且 E F ?
? B D C ? 9 0 ,求证: B D ? 平面 A C D
?

2 2

AC ,

// 1 证明:取 C D 的中点 G ,连结 E G , F G ,∵ E , F 分别为 A D , B C 的中点,∴ E G ? A C
2

// FG ?

1 2

B D , AC ?BD , ∴ F G ? 又

1 2

AC , ∴在 ? E F G 中,E G ? F G
2
?

2

?

1

AC

2

? EF

2

2 AC ? CD ? C ∴ E G ? F G ,∴ B D ? A C ,又 ? B D C ? 9 0 ,即 B D ? C D , ∴ B D ? 平面 A C D

考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形 11、如图,在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, E 是 A A1 的中点. (1)求证: A1 C // 平面 B D E ; (2)求证:平面 A1 A C ? 平面 B D E . 证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 A A1 、 A C 的中点,? A1C ∥ E O 又 A1C ? 平面 B D E , E O ? 平面 B D E ,? A1C ∥平面 B D E (2)∵ A A1 ? 平面 A B C D , B D ? 平面 A B C D , A A1 ? B D 又 BD ? AC , 平面 A1 A C 考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定 13 、 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是 ? D A B ? 6 0 且边长为 a 的菱形,侧
0

A C ? A A1 ? A

,? B D ? 平面 A1 A C , B D ? 平面 B D E ,? 平面 B D E ?

面 P A D 是等边三角形,且平面 P A D 垂直于底面 A B C D . (1)若 G 为 A D 的中点,求证: B G ? 平面 P A D ; (2)求证: A D ? P B ; (3)求二面角 A ? B C ? P 的大小.

证明: (1) ? A B D 为等边三角形且 G 为 A D 的中点,? B G ? A D 又平面 P A D ? 平面 A B C D ,? B G ? 平面 P A D (2) P A D 是等边三角形且 G 为 A D 的中点,? A D ? P G 且 A D ? B G , P G ? B G ? G ,? A D ? 平面 P B G ,
P B ? 平面 P B G ,? A D ? P B

(3)由 A D ? P B , A D ∥ B C ,? B C ? P B 又 B G ? A D , A D ∥ B C ,? B G ? B C
? ? P B G 为二面角 A ? B C ? P 的平面角

在 R t ? P B G 中, P G ? B G ,? ? P B G ? 4 5

0

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法) 16、证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D
D1 C1

证明:连结 AC
A1 B1

∵B D ⊥ A C AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影 ∴

? B D ? A1 C

? ? ? A1 C ? 平 面 B C 1 D 同 理 可 证 A1 C ? B C 1 ?
A

D

C

考点:线面垂直的判定,三垂线定理

B

15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ A C ? B C ,∴ C F ? A B . ∵ A D ? B D ,∴ D F ? A B . 又 C F ? D F ? F ,∴ A B ? 平面 CDF. ∵ C D ? 平面 CDF,∴ C D ? AB . 又 C D ? BE , BE ? AB ? B , ∴ C D ? 平面 ABE, C D ? A H . ∵ AH ? C D , AH ? BE ,CD ? BE ? E , ∴ A H ? 平面 BCD. 考点:线面垂直的判定


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