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二次函数的有关概念

时间:2014-06-26


二次函数的有关概念
课标解读:
考点归纳 考试内容 用配方法把抛物线的解析式化为 目标要求 题型 选择题 理解 填空题 选择题 根据已知条件用待定系数法确定二次函数 掌握 解析式 解答题 二次函数与一 元二次方程的 联系 根据函数求一元二次方程的根, 由一元二次 灵活运用 方程根的情况判断抛物线与 x 的交点; 根据图象判断一元二次不等式的解集 填空题 解答题 选择题 填空题

y ? a( x ? h)2 ? k 形式
二次函数的 概念

〖核心知识点梳理〗 : 一、二次函数概念:
2 b, c 是常数, a ? 0 )的 1.二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax ? bx ? c ( a ,

函数,叫做二次函数。
c 可以为零。二次函数 [注意]:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b ,

的定义域是全体实数. 2. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的结构特征:
2

(1)等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2.
b, c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. (2) a ,

考点: (1)关于 x 的代数式一定是整式, (2)a,b,c 为常数,且 a≠0. (3)等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.

[考点例题精解]: (1)下列函数中,是二次函数的为_______. A. y ? 2 x ? 1 C. y ?
2 x2

B. y ? (x ? 2)2 ? x2 D. y ? 2 x(x ? 1)
m2 ?m?4

(2)函数 y ? (m? 2) x A.1 或-6 C.-2 或 3

? (m? 3) x? m 是二次函数,则 m 的值为_______.

B.1 D.3

二、二次函数的三种解析式
1. 一般式: y ? ax ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ;
2

2. 顶点式: y ? a( x ? h) ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ;
2

3. 两根式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐 标). [注意]:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二
2 次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b ? 4ac ? 0 时,

抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以 互化.

三、待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立条 件,根据不同条件选择不同设法(具体问题具体分析)。 1、设一般式:y=ax?+bx+c(a≠0) 若已知三个点,代入解析式,得到关于 a、b、c 的三元一次方程组,解方程 组求出 a、b、c 的值,得出解析式。 2、设顶点式 y ? a(x? h)2 ? k (a ? 0) : 若已知二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)将已知代入, 求出待定系数,得出解析式。 3、设两根式: y ? a(x? x1 )(x? x 2 )(a ? 0)

若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标为 ? x1,0? , ? x2 ,0? ,将第三点(m,n)的 坐标或其他条件代入,求出待定系数,得到解析式。 [考点例题精解]: 1、已知某二 次 函 数 的图象如图所示,则这个二 次 函 数 的解 析 式 为( )

A.y=2 ( x+1 ) 2 +8
C. y ? 2 (x ? 1) 2 ? 8 9

B.y=18 ( x+1 ) 2 -8 D.y=2 ( x-1 ) 2 -8

2、已知二 次 函 数 的图象如图所示,求 它的解 析 式 .

3、写出一个开口向上,且对称轴为直线 x=2 的二 次 函 数 解 析 式 _______. 4、请写出一个顶点在 x 轴上的的二次函数解析式_______. 5、已 知 一 个 二 次 函 数 的 图 象 经 过 A ( 4 , 3 ) , B( 1, 0) , C ( -1 , 8 ) 三 点 , 求 这 个 二 次 函 数 解 析 式 _______. 6 、 已 知 二 次 函 数 的 图 象 经 过 点 ( -1 , 3 ) ,且它的顶点是原点,那么这 个 二 次 函 数 的 解 析 式 为 ______. 7 、已知:二 次 函 数 的图象经过原点,对称轴是直线 x=-2,最高点的纵坐标为4, 求 :该二 次 函 数 解 析 式 ______. 四、二次函数与一元二次方程的关系 (一)抛物线与 x 轴的交点 求抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴的交点问题,实质上是求一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0 的根的问题。

1、当 b2 ? 4ac ? 0

抛物线与 x 轴有两个不同的交点,

?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac ,0) , 0 ). 坐标是( 、 ( 2a 2a
2 2、当 b ? 4ac ? 0

抛物线与 x 轴有唯一交点,坐标为( ?
2 3、当 b ? 4ac ? 0

b , 0 ). 2a

抛物线与 x 轴没有交点 (二)一元二次方程与二次函数间的关系
2 2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 之间的区

别与联系。 以下以 a ? 0 为例加以说明. 内容
b2 ? 4ac ? 0 b2 ? 4ac ? 0 b2 ? 4ac ? 0

结 果 判别式 一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0
2

有两个不等实根

有两个相等实 根
x1 ? x2 ? ? b 2a

?b ? b 2 ? 4ac x? 2a
y
x1 x2

没有实根

二次函数

y
x

y x x 抛物线与 x 轴没 有交点

y ? ax2 ? bx ? c 图象
二次函数

抛物线与 x 轴有两个 交点 ? x1,0? 、 ? x2 ,0?

抛物线与 x 轴 有一个交点
b ( ? 2a , 0 ) b x?? 2a

y ? ax ? bx ? c
2

y ? 0 时, x 的取值
y ? 0 时, x 的取值

x ? x2或x ? x1 x1 ? x ? x2

x 是任一实数解
无解

无解

[考点例题精解]:
1、已知二 次 函 数 的图象如图所示,那么此函 数 的解 析 式 可能是(



A . y=-x 2 +2x+1 C . y=-x 2 -2x+1

B . y=-x 2 -2x-1 D . y=x 2 +2x+1

2、若一元二次方程 x2-2x-k=0实数根,则二次函数 y=x2+(k+1)x+k 的图象的顶 点在( ) B.第三象限
2

A.第四象限

C.第二象限
2

D.第一象限

3 、 二 次 函 数 y=ax +bx 的图象如图,若一 元 二 次 方 程 ax +bx+m=0 有实数根, 求 m 的最大值______.

4 、 二 次 函 数 y=ax2 +bx 的图象如图,若一 元 二 次 方 程 ax2 +bx+k=0 有实数解, 则 k 的最小值为______.

已知二次函数 y=-x2+4x+m 的部分图象如图, 则关于 x 的一元二次方程-x2+4x+m=0 的解是______.

[巩固练习]: 1、下 列 二 次 函 数 中 , 顶 点 坐 标 是 ( 2 , -3 ) 的 函 数 解 析 式 为 (
A . y= ( x-2 ) 2 +3 B . y= ( x+2 ) 2 +3 C . y= ( x-2 ) 2 -3



D . y= ( x+2 ) 2 -3

2、一个二 次 函 数 的图象经过(-3,0) 、 (2,0) 、 (1,-4)三点,则这个二 次 函 数 的解 析 式 是______. 3、已知:如图,二 次 函 数 y=ax2 +bx-2 的图象经过 A、B 两点,求 出这个二 次 函 数 解 析 式 ______.

4、二 次 函 数 的 图 象 经 过 点 ( 1 , 2 ) 和 ( 0 , -1 ) 且 对 称 轴 为 x=2 , 求 二 次 函 数 解 析 式 ______. 5、已知二 次 函 数 的图象经过点(-1,3) ,且它的顶点是原点,那么这个二 次 函 数 的解 析 式 为______. 6、已知抛物线 y=x2 +x+p(p≠0)与 x 轴有且只有一个交点,则 p=______,该抛 物线的对称轴方程是______,顶点的坐标是______. 7、若二次函数 y=x2 -3x+k 的图象与 x 轴有公共点, 则实数 k 的取值范围是______. 8、抛物线 y=ax2 +bx+c 过(2,6) , (4,6)两点,一元二次方程 ax2 +bx+c=k,当 k>7 时无实数根,当 k≤7 时有实数根,则抛物线的顶点坐标是______. 9、若抛物线 y=-4x2 +16x-15 的顶点为 A,与 x 轴的交点为 B、C,则△ABC 的面积 是______. 10、二 次 函 数 y=ax2 +bx+c 和 一 次 函 数 y=mx+n 的 图 象 如 图 所 示 , 则 ax2 +bx+c≤mx+n 时,x 的取值范围是______.

11、抛物线 y=2x2 -5x+3 与坐标轴的交点共有______个. 12、二次函数 y=x2 +kx+1 与 y=x2 -x-k 的图象有一个公共点在 x 轴上, 则 k=______. 13、已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示,当 y<0 时,x 的取值
A . -1 < x < 3 B. x> 3 C . x < -1

范围是(



D . x > 3 或 x < -1

14、现定义某种运算 a⊕b=a(a 那么 x 的 取值范围 是( )
A . -1 < x < 2 B . x > 2 或 x < -1

>b) , 若 (x+2) ⊕x2 =x+2,
C. x> 2 D . x < -1

15、抛物线 y ? x 2 ? 4 x ?

m 与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0) ,则此抛物线与 x 2

轴的另一个交点的坐标是______. 16、已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示,则关于 x 的不等式 bx+a>0 的 解集是( )
a A、x ? ? . b

B、x ?

a b

C、x ? ?

a b

D、x ?

a b

17、抛物线 y=a(x-1)2 +c 的图象如图所示,该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,B

0 )则 A 点的坐标为______. 的坐标为( 2,

18、二次函数 y=ax2 +bx+c (a>0) 的图象与坐标轴分别交于点(-1, 0)和(0, -1), 顶点在第四象限,若 n=a+b+c,则 n 的取值范围是______.


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